海南省海口市海南中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题含答案

    海南中学2019—2020学年第一学期期中考试

高一数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填涂在答题卡相应位置.）

1.下列关系中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据元素与集合的关系判断出各选项中元素与集合关系的正误.

【详解】由题意可知，，，，，因此，C选项正确.

故选：C.

【点睛】本题考查元素与集合关系正误的判断，考查推理能力，属于基础题.

2.函数的定义域是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出的不等式组，求解即可．

【详解】解：要使原式有意义只需：

，解得且，

故函数定义域为．

故选：B．

【点睛】求函数定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．

3.函数与的图象（    ）

A. 关于轴对称 B. 关于轴对称

C. 关于原点对称 D. 关于直线轴对称

【答案】A

【解析】

【分析】

设，得，根据函数与函数之间的对称性可得出正确选项.

【详解】设，得，由于函数与函数的图象关于轴对称，因此，函数与的图象关于轴对称.

故选：A.

【点睛】本题考查函数图象之间对称性的判断，熟悉两函数关于坐标轴、原点对称的两个函数解析式之间的关系是关键，考查推理能力，属于基础题.

4.已知命题：、，，则该命题的否定是（    ）

A. 、，

B. 、，

C. 、，

D. 、，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定可得出正确选项.

【详解】由全称命题的否定可知，命题：、，的否定为：、，.

故选：D.

【点睛】本题考查全称命题的否定，解题时要熟悉量词与结论的变化，考查推理能力，属于基础题.

5.下列各对函数中，图象完全相同的是（　　）

A. 与 B. 与

C. 与 D. 与

【答案】C

【解析】

【分析】

先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．

【详解】解：对于A、∵的定义域为，的定义域为．两个函数的对应法则不相同，∴不是同一个函数．

对于B、∵的定义域，的定义域均为．∴两个函数不是同一个函数．

对于C、∵的定义域为且，的定义域为且．对应法则相同，∴两个函数是同一个函数．

对于D、的定义域是，的定义域是，定义域不相同，∴不是同一个函数．

故选：C．

【点睛】本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数，需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足．

6.设函数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用分段函数的解析式即可计算出的值.

【详解】，，，

因此，.

故选：A.

【点睛】本题考查分段函数值的计算，计算时要结合自变量的取值选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题.

7.下列命题中，不正确的是（    ）

A. 若，，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质、特殊值法可判断出各选项中不等式的正误.

【详解】对于A选项，，，又，由不等式的性质得，A选项中的不等式正确；

对于B选项，若，则，，B选项中的不等式正确；

对于C选项，取，则，C选项中的不等式不成立；

对于D选项，，，则，则，

，D选项中的不等式正确.

故选：C.

【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的方法有：不等式的基本性质、特殊值法、比较法，在判断时可根据不等式的结构选择合适的方法，考查推理能力，属于中等题.

8.下列函数中，在区间上单调递减的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

分析各函数在区间上的单调性，可得出合乎题意的选项.

【详解】对于A选项，函数是偶函数，该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

对于B选项，当时，，则该函数在区间上单调递减；

对于C选项，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，

所以，该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

对于D选项，当时，，

所以，该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

故选：B.

【点睛】本题考查利用解析式直接判断函数的单调性，熟悉基本初等函数的单调性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.

9.若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

将、、均化为的指数幂，然后利用指数函数的单调性得出三个实数的大小关系.

【详解】，，，

由于指数函数是上的增函数，且，因此，.

故选：A.

【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较大小，解题的关键就是将三个实数化为同一底数的指数幂，考查推理能力，属于中等题.

10.已知，若定义在上的函数满足对、，都有，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可知，函数是上的减函数，则函数的两支函数均为减函数，且有，由此可得出关于实数的不等式组，解出即可.

【详解】定义在上的函数满足对、，都有，

所以，函数是上的减函数，

则函数和均为减函数，且有，

即，解得，因此，实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，求解时不仅要求分段函数的每支函数都保持原函数的单调性外，还应注意各支函数在分界点处函数的值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

11.若直角三角形的周长为定值，则的面积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设直角三角形的两条直角边分别为、，由题意得出，利用基本不等式求出的最大值，即可得出面积的最大值.

【详解】设直角三角形的两条直角边长分别为、，由题意得，

由基本不等式得，

，即，

当且仅当时等号成立，则，

因此，面积的最大值为.

故选：D.

【点睛】本题考查利用基本不等式求三角形面积的最值，解题时要结合已知条件构造出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.

12.正实数、满足，若不等式对任意正实数、以及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由参变量分离法得出，将代数式和相乘，利用基本不等式求出的最小值，并利用配方法求出的最小值，由此可求出实数的取值范围.

【详解】由参变量分离法可得，

由基本不等式得，

当且仅当时等号成立，

又，所以，，则.

因此，实数的取值范围是.

故选：C.

【点睛】本题考查利用基本不等式、二次函数的最值求解不等式恒成立问题，解题时可充分利用参变量分离法转化为最值来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若幂函数的图象过点，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

设，将点代入函数的解析式，求出实数的值，即可求出的值.

【详解】设，则，得，，因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查幂函数值的计算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，考查运算求解能力，属于基础题.

14.计算：______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用根式的性质、指数幂的运算律可计算出所求代数式的结果.

【详解】原式.

故答案为：.

【点睛】本题考查指数幂的计算，考查计算能力，属于基础题.

15.某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为______；并写出该函数的一个性质（比如：单调性，奇偶性、最值等）：______.

【答案】    (1). ，且    (2). 最大值为

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得，变形后可得出答案，分析函数的值域，即可得出函数的最大值.

【详解】根据题意，该同学计划第一天记忆个单词，第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量，

则，且.

所以，该函数的值域为，该函数的最大值为.

故答案为：，且；最大值为.

【点睛】本题考查函数解析式的求法，在求解时注意求出函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

16.已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2⇒g（x+1）＞g（x+2），由函数奇偶性的定义分析可得g（x）为偶函数，结合函数的单调性分析可得g（x+1）＞g（x+2）⇒|x+1|＞|x+2|，解可得x的取值范围，即可得答案．

【详解】根据题意，g（x）＝f（x）+x2，

则f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2⇒g（x+1）＞g（x+2），

若f（x）为偶函数，则g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即可得函数g（x）为偶函数，

又由当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x）在[0，+∞）上递减，

则g（x+1）＞g（x+2）⇒|x+1|＜|x+2|⇒（x+1）2＜（x+2）2，解可得x，

即不等式的解集为（，+∞）；

故答案为：（，+∞）．

【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g（x）的奇偶性与单调性，属于中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解签应写出文字说明，证明过程或演算步驟.）

17.设全集，集合，.

（1）求；

（2），求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求出集合，然后利用补集和并集的定义可求出集合；

（2）求出集合，然后利用交集的定义可求出集合.

【详解】（1），，

又，因此，；

（2），，因此，.

【点睛】本题考查交集、补集与并集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.

18.已知函数是定义在上的偶函数，且时，.

（1）求时的解析式；

（2）在如图坐标系中作出函数的大致图象；写出函数的单调区间并指出函数在这些区间上的单调性（不需要证明）.

【答案】（1）（x<0）；（2）图象见解析，减区间和，增区间为和.

【解析】

【分析】

（1）设，得，求出的表达式，再利用偶函数的定义可求出函数在上的解析式；

（2）作出函数的图象，结合图象写出函数的单调递减区间和递增区间.

【详解】（1）设，则，则.

由于函数为偶函数，此时；

（2），函数的图象如下图所示：

由上图可知，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为和.

【点睛】本题考查偶函数解析式的求解，函数图象的作法以及利用图象得出函数的单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

19.已知集合，.

（1）若集合，求此时实数的值；

（2）已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意知，方程的两根分别为和，然后利用韦达定理可求出实数的值；

（2）求出集合，分、、三种情况讨论，结合题中条件得出，可列出关于实数的不等式组，解出即可.

【详解】（1），

所以，方程的两根分别为和，

由韦达定理得，解得；

（2），由于是的充分条件，则.

当时，，此时不成立；

当时，，

，则有，解得；

当时，，

，则有，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查一元二次不等式解集与方程之间的关系，同时也考查了利用充分条件关系求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

20.定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数．

（1）求，的值；

（2）证明：函数是偶函数；

（3）解不等式

【答案】解：(1) f(1)=0, f(－1)=0 (2)见解析(3) 或

【解析】

【详解】试题解析：解：（1）令，则

令，则

（2）令，则

，

∴为定义域上的偶函数．

（3）据题意可知，函数图象大致如下：

，

或，

或

考点：1函数奇偶性；2函数的单调性．

21.如图所示，是一个矩形花坛，其中米，米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求：在上，在上，对角线过点，且矩形的面积小于150平方米．

（1）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并确定函数的定义域；

（2）当长度是多少时，矩形的面积最小？并求最小面积．

【答案】（1）,;（2）,.

【解析】

试题分析：（1）根据三角形的相似性，列出函数关系式，通分化成标准形式，求分式不等式的解集；（2）通过换元，令，则得到关于的函数，根据均值不等式，有的最小值.

试题解析：（1）由可得，

，∴．

由，且，解得，∴函数的定义域为．

（2）令，则，，

当且仅当时，取最小值，故当的长度为米时，矩形花坛的面积最小，最小面积为96平方米．

考点：1.分式不等式；2.均值不等式.

22.已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；

（2）设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由奇函数的定义得出可得出，再由可求出实数的值，从而得出函数的解析式，然后任取、且，作差，通分、因式分解后判断出的符号，即可证明出函数在区间上的单调性；

（2）根据题意得出，分析两个函数的单调性，求出两个函数的最大值和，解出该不等式即可.

【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，

即，即，得，则，

又，解得，.

任取、且，即，

则.

，，，则，，

因此，函数在区间上为增函数；

（2）由题意可知.

由（1）知，函数在区间上单调递增，.

，函数在区间上为增函数，.

，解得，所以，.

因此，正实数的取值范围为.

【点睛】本题考查利用奇偶性求参数、利用定义证明函数的单调性，同时也考查了任意性、存在性问题的处理，一般转化为与函数的最值相关的问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.