北京第四中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷含解析

北京四中2018－2019学年上学期高中一年级期中考试

数学试卷

卷（I）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.的值为（  ）

A.     B.     C. 1    D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据对数的运算法则及性质即可求解.

【详解】因为 ，故选D.

【点睛】本题主要考查了对数的性质和运算法则，属于容易题.

2.集合，则下列关系正确的是（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据元素与集合的关系即可判断.

【详解】因为，所以，故选A.

【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，属于容易题.

3.函数的定义域是（  ）

A.     B.

C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

函数要有意义，则需解析式有意义，分式的分母不为0即可.

【详解】要是函数有意义，则需，解得，所以函数的定义域为，故选C.

【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.

4.若，则（  ）

A. 1    B.     C. 0    D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数解析式，只需把代入即可求出函数值.

【详解】因为，所以当时，，故选A.

【点睛】本题主要考查了根据函数解析式求函数值，属于中档题.

5.下列函数中，在区间上为增函数的是（  ）

A.     B.

C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据基本初等函数的单调性，逐项分析即可.

【详解】A选项中 是一次函数，，所以在R上是减函数，错误；   B选项 是幂函数，幂指数，在区间上为增函数，故正确；C选项 是二次函数，对称轴为，在区间上无单调性，错误；   D选项 是指数函数，，在R上是减函数，错误.

故选B.

【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.

6.下列函数中，值域是的是（  ）

A.     B.

C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数性质，逐项分析各选项即可.

【详解】A中的值域为R,错误，B中的值域为，正确；

C中 ，值域为，错误； D中 的值域为R,错误.

故选B.

【点睛】本题主要考查了基本初等函数的值域，属于中档题.

7.函数的零点所在的一个区间是（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意可知函数是R上的减函数，只需根据即可判断零点所在区间.

【详解】因为是R上的减函数，所以是R上的减函数，

又，可知零点在区间上，故选C.

【点睛】本题主要考查了函数零点的存在性，函数的单调性，属于中档题.

8.若，则（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据指数及对数的性质可分析出范围，从而得到结果.

【详解】因为，所以，

因为，所以，所以选B.

【点睛】本题主要考查了指数的性质，对数的性质，属于容易题.

9.已知函数是上的偶函数，当时，，则的解集是（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数是上的偶函数，可知函数图象关于y轴对称，解出当时的解，

由函数图像的对称性，可知时，的解.

【详解】当时,，

所以解得，

由是上的偶函数知，函数图象关于y轴对称，

所以当时，的解为，

综上知，的解集为.

故选D.

【点睛】本题主要考查了偶函数的性质及图象，属于中档题.

10.若，则函数的图象有可能是（  ）

A.     B.

C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据，可知函数是增函数，当时，，由知，可选出答案.

【详解】根据，可知函数是增函数，排除B,D选项，当时，，由知，

排除C选项，故选A.

【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，指数函数的图象，属于中档题.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.计算:________；________.

【答案】    (1). 1    (2). 4

【解析】

【分析】

分别根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可求解.

【详解】;

故填(1). 1 (2). 4

【点睛】本题主要考查了对数及指数运算法则，属于中档题.

12.若函数的定义域为，则函数的定义域为________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据的定义域为知，要有意义则需，即可求出

的定义域.

【详解】因为的定义域为，

则要有意义则需，解得，

所以的定义域为.

故填.

【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题.

13.函数，则其图象的对称轴方程为 ________；的增区间是________.

【答案】    (1). 2    (2).

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质知，对称轴方程为，当时， 增区间为,据此可写出答案.

【详解】因为函数，

所以对称轴方程为，的增区间是.

故填：(1). 2  (2).

【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴和单调区间，属于容易题.

14.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

函数有3个零点，即方程有3个根，因此在同一坐标系内做出的图象与直线，观察它们公共点的个数即可得到答案.

【详解】因为有3个零点，

所以的图象与直线有3个公共点

在同一坐标系内作出它们的图象，如下：

根据图象可知，当时，有三个交点.

故则实数的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的零点，函数零点与方程的根，数形结合思想，属于中档题.

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

15.设集合.

（I）用列举法写出集合；

（II）求和.

【答案】（I）；（II）,.

【解析】

【分析】

（I）根据集合的描述法写出集合中的元素即可列举法表示（II）根据交集和并集的运算即可求解.

【详解】（I）因为x，所以,

所以.

（II）因为，

所以,.

【点睛】本题主要考查了集合的描述法，列举法，交集，并集，属于中档题.

16.已知函数.

（I）当时，判断的奇偶性，并证明你的结论；

（II）当时，求的值域.

【答案】（I）证明见解析；（II）.

【解析】

【分析】

（I）当时,,,为偶函数，可根据定义证明（II）当时，，配方可写出值域.

【详解】（I）当时,,,为偶函数,

证明：由知，

,

,

.

即函数为偶函数.

（II）当时，

即函数的值域为.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的值域，属于中档题.

17.设函数.

（I）利用单调性定义证明：在区间上是单调递减函数；

（II）当时，求在区间上的最大值.

【答案】（I）证明见解析；（II）.

【解析】

【分析】

（I）根据函数单调性的定义证明即可（II）先证明函数在区间[2，+∞）上是单调递增函数，再结合（I）的结论且，对分类讨论写出函数最大值.

【详解】（I）任取，∈（0，2]，设<，则

∵，∴

∵，∴

∴

所以，故在区间（0，2]上是单调递减函数.

（II）由（I）可知，在区间（0，2]上是单调递减函数；

当，设<，易知总有<，

所以在区间[2，+∞）上是单调递增函数，

又，所以在区间上最大值为.

【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义证明，分类讨论的思想，属于中档题.

卷（II）

一、选填题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

18.不等式的解集是

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数函数的增减性可转化为，即可求解.

【详解】

，即.

所以不等式的解集为.

故选C.

【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，属于中档题.

19.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是

A.     B.

C.     D.

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．

考点：函数奇偶性的判定．

20.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：

则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是

A.     B.

C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据选项中的函数，依次代入x值求出y的值，通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小，计算即可求解.

【详解】对于A选项，当时，对应的y值分别为,

对于B选项，当时，对应的y值分别为,

对于C选项，当时，对应的y值分别为,

对于D选项，当时，对应的y值分别为,

而表中所给的数据为，，当时，对应的y值分别为，

通过比较，即可发现选项D中y的值误差最小，即能更好的反映与之间的关系. 故选D.

【点睛】本题主要考查了选择合适函数模型来拟合实际问题，属于中档题.

21.设全集，集合,则_______；_______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.

【详解】因为全集，集合,

所以,

.

【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于中档题.

22.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为, ，则_________；的解集为________.

【答案】    (1). 2    (2).

【解析】

【分析】

根据函数的图象，观察即可得出答案.

【详解】根据图象知，所以，根据图象知 ，

所以，

当时，由图象可知，即的解集为.

【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.

23.当时，不等式恒成立，则的取值范围是________.

【答案】()

【解析】

试题分析：当时，，所以，画出和的图象，从图象可知，要使，需要

考点：本小题主要考查指数函数、对数函数的图象和应用，考查学生的推理能力和数形结合思想的应用.

点评：题目中给出的不等式涉及到指数函数和对数函数，所以要画出两个函数的图象，数形结合解决.

二、解答题：（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

24.设函数.

（I）若，求的取值范围；

（II）记的反函数为,若在上恒成立，求的最小值.

【答案】（I）或；（II）.

【解析】

【分析】

（I）根据对数函数的增减性转化为，并注意真数大于零即可求解（II）由题意知，原不等式可转化为在区间[2，）上恒成立即可求解.

【详解】（I）由已知loga（x2－x）>loga2，

因为0<a<1，所以0<x2－x<2，

解，得－1<x<2,

解，得x>1或x<0,

所以x的取值范围是{x|－1<x<0或1<x<2）.

（II）为的反函数，所以,

由已知 在区间[2，）上恒成立，

因为，所以在区间[2，）上恒成立， 

即大于等于的最大值,

因为0<a<1，所以>1，又x－2∈[0，），

所以（）的最小值为1，－（）的最大值为－1，

所以k≥－1，

所以k的最小值为－1.

【点睛】本题主要考查了对数函数的增减性，反函数，指数函数，恒成立问题，属于中档题.

25.给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合.

（I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；

（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；

（III）若集合为闭集合，且,证明：.

【答案】（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.

【解析】

【分析】

（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可（III）用反正正法，若AB=R，存在a∈R且aA，故a∈B，同理，因为BR，存在b∈R且bB，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与aA矛盾，同理可知若，，与bB矛盾，即可证明.

【详解】（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；

任取，设,

则且

所以，

同理，，故B为闭集合.

（II）结论：不一定.

令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，

则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈AB，2+3=5AB，

因此，AB不为闭集合.

（III）证明：（反证）若AB=R,

则因为AR，存在a∈R且aA，故a∈B,

同理，因为BR，存在b∈R且bB，故b∈A,

因为a+b∈R=AB，所以，a+b∈A或a+b∈B,

若，则由A为闭集合，，与aA矛盾,

若，则由B为闭集合，，与bB矛盾,

综上，存在c∈R，使得c（AB）.

【点睛】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题.