江西省宜春市高安中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份江西省宜春市高安中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了设集合，，则中元素的个数为，设直线，某多面体的三视图，已知函数则函数的零点个数是等内容，欢迎下载使用。

江西省高安中学2018-2019学年度上学期期中考试
高一年级数学试题（A卷）
一.选择题（在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1.设集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 0 B. 4 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
确定集合所包含的元素，根据交集定义求得最终结果。
【详解】
中元素的个数为
本题正确选项：
【点睛】本题考查集合的基本定义以及交集的求解。需要注意包含。属于基础题。
2.函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由的定义域可求得得定义域，再与取交集，得到的定义域。
【详解】由的定义域为可得：
即的定义域为
又，即
的定义域为
本题正确选项：
【点睛】本题主要考察了复合函数的定义域问题。关键点是明确求解定义域时，只需将整体代入的定义域中，求解出的范围即可。
3.若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A. 10 B. -1 C. 2 D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据反函数的性质，可知的解析式，代入即可求得结果。
【详解】与关于对称为的反函数

本题正确选项：
【点睛】本题考察了反函数的性质。关键是通过函数关于对称，确定两函数互为反函数。
4.设直线：，：，若与平行，则的值为（ ）
A. B. 0或 C. 0 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
通过两条直线平行的关系，可建立关于的方程，解方程求得结果。
【详解】
解得：或
本题正确选项：
【点睛】本题考察直线位置关系问题。关键是通过两直线平行，得到：。
5.过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：
方法一：设圆的标准方程为，根据已知条件可得
,解得．
所以所求圆的标准方程为．
方法二：由题意圆心一定在线段AB的中垂线上，所以线段AB的中垂线为，则，解得，即圆心的坐标为；则圆的半径为，所以所求圆的标准方程为．
故选C.
考点：圆的标准方程.
6.当时，函数满足，则函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由函数（且）满足 ，故的图象应是C图，故选C．
考点：函数的图象．
7.设表示平面，，表示直线，给出下列四个命题：①，；
②，；③，；④，，其中正确命题的序号是（ ）
A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①③
【答案】B
【解析】
①a∥α，a⊥b⇒b与α平行，相交或b⊂α，故①错误；
②若a∥b，a⊥α，由收直线与平面垂直和判定定理得b⊥α，故②正确；
③a⊥α，a⊥b⇒b与α平行，相交或b⊂α，故③错误；
④若a⊥α，b⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a∥b，故④正确．
故选：B．
8.设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小联系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题中条件，确定出函数图像的特征：关于直线对称；下一步利用幂函数以及指数函数的单调性，比较得出，下一步应用是上的增函数，得到函数是的减函数，从而利用自变量的大小可出函数值的大小.
【详解】根据，可得函数的图像关于直线对称，结合是上的增函数，可得函数是的减函数，利用幂函数和指数函数的单调性，可以确定，所以，即，
故选：A.
【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
9.某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过三视图还原几何体，可得多面体为正方体去掉一个角。可知此多面体的外接球即为原正方体的外接球。通过求解正方体的外接球得到结果。
【详解】由三视图可知几何体如图所示：
原多面体为正方体去掉一个角后的几何体。
由原图可知，正方体的外接球即为该多面体的外接球。
正方体外接球半径为：体对角线的一半。
外接球半径为：
外接球表面积为：
本题正确选项：
【点睛】求解几何体外接球问题，关键是确定球心的位置和半径的大小。对于不规则几何体，通常采用补全的方式，将几何体放置在长方体、正方体中进行求解。
10.已知函数则函数的零点个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
通过对范围的讨论，得到的解析式，然后对零点进行求解，得到最终结果。
【详解】①当时，
令，解得：
②当时，
令，解得：
③当时，
令，解得
④当时，
令，解得
综上所述，零点共有个
本题正确选项：
【点睛】本题关键在于利用分段函数解析式求解复合函数解析式，通过分段函数的分界点，确定复合部分所处的范围，得到对应的解析式。
11.若一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”.那么在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A. 48 B. 36 C. 24 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】
两个顶点确定的直线包括：正方体的棱、面对角线、体对角线。依次寻找与上述三条直线垂直的包含四个顶点的平面，可以得到“正交线面对”的个数。
【详解】①正方体的每一条棱，都与两个侧面垂直，可得个“正交线面对”。正方体共条棱，可得“正交线面对”个
②正方体的每一条面对角线，都与一个对角面垂直，可得个“正交线面对”。正方体共条面对角线，可得“正交线面对”个
③不存在与包含正方体的四个顶点的平面与正方体的体对角线垂直
综上所述：共有个
本题正确选项：
【点睛】本题主要考察了常见几何体中的线面垂直关系，对空间想象能力有一定要求，属于基础题型。
12.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据解析式，可写得，从而可得到：；因此可将所求不等式化为；再判断出的单调性，从而得到关于的不等式，求得结果。
【详解】由可得：
又，即
又y=在上单调递增；在上单调递减；y=在上单调递增在上单调递增.
本题正确选项：
【点睛】求解与函数有关的不等式时，关键在于利用单调性将不等式变成自变量的比较；本题难点在于利用的解析式，将数字转化成与有关的形式，从而最终得到满足函数单调性定义的不等式比较关系,解题中，也可假设，判断出为奇函数，从而确定.
二.填空题.
13.若函数，则函数的解析式为______.
【答案】
【解析】
【分析】
通过配凑的方式，将配凑成与相关的形式，整体将用替换即可得到解析式。
【详解】，即
本题正确结果：
【点睛】已知解析式求解的问题，主要有两种方法：1.配凑法：将的解析式配凑成用表示的形式，然后整体替换；2.换元法：设，用表示，得到的解析式，即为解析式。
14.已知空间两点，，则它们之间的距离为_____
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间中两点间距离公式求解即可。
【详解】由距离公式可得：
本题正确结果：
【点睛】考查空间中两点间距离公式：，属于基础题。
15.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为_____
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆的方程确定圆心和半径。将题目中所说的以直线上的点为圆心，为半径的圆与圆有交点转化为将圆半径扩大后，与直线有交点，再利用直线与圆相交位置关系的判定方法，得到与大小关系的不等式，求得的取值范围，即可求得最大值。
【详解】由圆方程可得圆心坐标为，半径为
直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点
直线与有交点
设圆圆心到直线的距离为
则
本题正确结果：
【点睛】本题考察了直线与圆位置关系问题。难点在于将已知条件等价转化为直线与圆相交的问题，属于中档题。
16.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数引的四个结论：
①函数的定义域为，值域为；②函数在上是增函数：
③函数的图象关于直线对称；④函数是偶函数.
其中所有正确的结论的序号是_____
【答案】①③④
【解析】
【分析】
通过的定义，可将化为。通过不同的取值，可以画出的图像，通过图像来依次排除错误选项即可。
【详解】由题意可得：
当时，
当时，
当时，
以此类推可得函数的大致图像如图所示：
由图像依次判断各个选项，可知只有②错误
本题正确结果：①③④
【点睛】新定义问题在处理时，关键是理解清楚新定义的含义，尽可能的转化为以学过的知识进行处理。本题的关键即为将原函数转化为，再结合图像研究函数的相关性质。
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已如集合，.
（1）若全集是，求
（2）设集合，求实数的取值范围.
【答案】（1） (2)
【解析】
【分析】
（1）依次求解出集合的具体取值范围，再根据补集的定义求得结果；（2）求得后，根据子集的定义，得到关于的不等式，求得最终结果。
【详解】（1），
（2）
①若，则，
②若，则 ，
综上：
【点睛】本题考察了集合的基础定义和运算。易错点是在利用子集求解范围时，忽略的情况。要明确：空集是任意集合的子集。
18.已知圆：，圆关于直线对称，圆心在第二象限，半径为.
（1）求圆的方程；
（2）直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程.
【答案】（1）（2）或.或
【解析】
【分析】
（1）通过圆关于直线对称，可知圆心在直线上，再结合半径为，得到关于的方程组，求解方程组，选择在第二象限中的根，即可求得圆的方程；（2）分截距为零和不为零两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径求解直线方程。
【详解】（1）由知圆心的坐标为，
圆关于直线对称，点在直线上，
则，又，圆心在第二象限， ，，
所求圆的方程为
（2）当切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，可设的方程为，
圆的方程可化为，圆心到切线的距离等于半径，
即，，或
当切线在两坐标轴上的截距为零，设，求得：
所求切线方程或或
【点睛】本题易错点为假设直线方程时，忽略截距相等中的截距为零的情况，造成求解不完整。
19.如图所示：在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，是中点，侧面平面.若是的中点.

（1）求证：平面
（2）求证：平面侧面.
【答案】（1）见证明；（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，从而可证平面；（2）通过证明面，可根据（1）中得到面，进而证得结论。
【详解】（1）连接，，交于点，，，
，是平行四边形，
平面
（2），是的中点，.底面侧面，
侧面，侧面
【点睛】本题主要考察了空间中的线面关系和面面关系的证明。解题的关键是掌握线面平行和面面垂直的判定定理。属于基础题型。
20.如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，且，，点为棱上一动点.
（1）确定点的位置（并证明），使得平面；
（2）在（1）的条件下，求点到平面距离.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1），可以取的中位线，得到平行四边形，因此可确定的位置为中点时，可得到结论，证明时，可以直接先确定为中点，再证明平行四边形；（2）点与构成三棱锥，利用体积桥的方式，可求得点到面的距离。
【详解】（1）点为中点时，满足条件。
取的中点，连结、，在中，，且；又，且，所以即四边形为平行四边形，.又平面，平面，故平面
（2）过点做交于，则平面.且，在直角三角形中，，同理，又因为，所以，设点到平面的距离为，由得：，，点到平面的距离为
【点睛】立体几何中的存在性问题在处理时，通常选择特殊点（如中点、三等分点等）来进行验证；求解点到面的距离时，重点是通过体积桥的方式转化为三棱锥高的求解问题。
21.定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，有，
（1）证明：在上是减函数；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据单调性的定义，通过构造，得到与的大小关系，证得结论；（2）取，得，不等式转化为。再整理为；根据单调性得到恒成立，通过二次函数特点，利用，得到的取值范围。
【详解】（1）对任意、且则有，从而可得
又
在上是减函数
（2）令可得
即对一切实数恒成立，
，，
【点睛】题目考察了通过抽象函数关系式求得函数性质以及恒成立问题。关键是将题干中不符合抽象函数关系式的部分通过赋值法变成符合关系式的形式，再利用抽象函数单调性得到关于自变量的大小关系。
22.已知函数.
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）若，求函数的单调递增区间；
（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）函数的单调递增区间为;（3）.
【解析】
试题分析：（1）由偶函数的定义可得；（2）将函数写成分段函数的形式，由函数图象可得单调递增区间；（3）由不等式可得，再对进行分类讨论，目的是去掉绝对值，再根据单调性可得的取值范围.
试题解析：（1）任取，则有恒成立，
即恒成立
恒成立，恒成立
（2）当时，
由函数的图像可知，函数的单调递增区间为。
（3）不等式化为
即：（*）
对任意的恒成立
因为，所以分如下情况讨论：
①时，不等式（*）化为恒成立
即
上单调递增
只需
②当时，不等式（*）化为恒成立
即
由①知，
③当时，不等式（*）化为恒成立
即
由②得:
综上所述，的取值范围是：.
考点：函数的奇偶性、分段函数的图象、分类讨论思想.