2022届中考典型解答题专题练习：一次函数图像的交点问题（一）（word版含解析）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：一次函数图像的交点问题（一）（word版含解析），共12页。

（1）求点 N 的坐标；
（2）求直线 AM 的函数表达式．

2. 平面直角坐标系 xOy 中，将点 Am,2 向右平移 3 个单位长度，得到点 B，点 B 在直线 y=x+1 上．
（1）求 m 的值和点 B 的坐标；
（2）如果一次函数 y=2x+b 的图象与线段 AB 有公共点，求 b 的取值范围．

3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−43x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、点 B，点 D 在 y 轴的负半轴上，若将 △DAB 沿直线 AD 折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处．
（1）求线段 AB 的长和点 C 的坐标．
（2）求直线 CD 的解析式．

4. 如图，直线 y=kx+b 经过点 B0,32，C−1,3 且与 x 轴交于点 A，过点 E−2,0 的直线与 OC 平行，并且与直线 y=kx+b 交于点 D．
（1）求 BC 所在直线的函数解析式；
（2）求点 D 的坐标；
（3）求四边形 CDEO 的面积．

5. 如图，直线 y=−x−4 交 x 轴和 y 轴于点 A 和点 C，点 B0,2 在 y 轴上，连接 AB，点 P 为直线 AB 上一动点．
（1）直线 AB 的解析式为 ；
（2）若 S△APC=S△AOC，求点 P 的坐标；
（3）当 ∠BCP=∠BAO 时，求直线 CP 的解析式及 CP 的长．

6. 已知一次函数的图象经过点 −2,−2，1,4．
（1）求该一次函数的解析式．
（2）在坐标系中画出该一次函数的图象，观察图象，直接写出当 x≥0 时，y 的取值范围．

7. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=2x 与直线 l2:y=−x+3 相交于点 A，直线 l2 与 x 轴交于点 B．
（1）求 △OAB 的面积．
（2）过动点 P0,n 作垂直于 y 轴的直线与 l1，l2 的交点分别为 Cx1,y1，Dx2,y2，当 x1−x2≥3 时，直接写出 n 的取值范围．

8. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−12x−1 与直线 y=−2x+2 相交于点 P，并分别与 x 轴相交于点 A，B．
（1）求交点 P 的坐标；
（2）求 △PAB 的面积；
（3）请把图象中直线 y=−2x+2 在直线 y=−12x−1 上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量 x 的取值范围．

9. 已知抛物线 y=ax2+bx−4 经过点 A2,0，B−4,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图 1 所示，点 P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时，求点 P 的坐标；
（3）如图 2 所示，线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点，在直线 DE 上是否存在一点 G，使 △CMG 的周长最小?若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由．

10. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=−12x+6 分别与 x 轴、 y 轴交于点 B，C，且与直线 l2:y=12x 交于点 A．
（1）求出点 A 的坐标．
（2）若 D 是线段 OA 上的点，且 △COD 的面积为 12，求直线 CD 的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，设 P 是射线 CD 上的点，在平面内是否存在点 Q，使以 O，C，P，Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1. （1） ∵ 直线 y=43x+8 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 和 B，
∴A−6,0，B0,8，
∴OA=6，OB=8，
∴AB=10，
∵△ABM 沿 AM 折叠，点 B 恰好落在 x 轴上的点 N 处，
∴AN=AB=10，
∴N4,0．
（2） 设 M0,m，则 NM=BM=8−m，
∵NM2=NO2+OM2，
∴8−m2=42+m2，解得 m=3，
∴M0,3．
设直线 AM 的函数表达式为 y=kx+bk≠0，
则 b=3,−6k+b=0, 解得 k=12,b=3,
∴ 直线 AM 的函数表达式为 y=12x+3．
2. （1） m=−2，点 B 的坐标为 1,2．
（2） 0≤b≤6．
3. （1） 直线 y=−43x+4 中，令 x=0 得 y=4，
∴B0,4，
∴OB=4．
令 y=0 得 x=3，
∴A3,0．
∴OA=3．
∴ 在 Rt△OAB 中，AB=OA2+OB2=5．
∵△DAB 沿直线 AD 折叠后，点 B 落在点 C 处，
∴AB=AC=5，
∴OC=OA+AC=3+5=8，
∴C8,0．
（2） 设 OD=x，则 CD=DB=x+4．
在 Rt△OCD 中，DC2=OD2+OC2，即 x+42=x2+82，解得 x=6，
∴D0,−6．
设直线 CD 的解析式为 y=kx−6（k≠0），将 C8,0 代入得 8k−6=0，解得 k=34．
∴ 直线 CD 的解析式为 y=34x−6．
4. （1） 把点 B，C 代入直线 y=kx＋b，
得 b=32,−k+b=3, 解得 k=−32,b=32.
所以 BC 所在直线的函数解析式 y=−32x+32．
（2） 因为直线 OC 的斜率为 −3，
所以直线 ED 的斜率为 −3，
可设函数解析式为 y=−3x+b．把点 E 代入得 b=−6，
所以直线 ED 解析式为 y=−3x−6，
因为 BC 与 ED 相交，
所以 −3x−6=−32x+32，
解得 x=−5，y=9．
所以 D−5,9．
（3） 因为直线 BC 交 x 轴于 A1,0，
S四边形CDEO=S△DEA−S△OCA=12×3×9−12×1×3=12.
5. （1） y=12x+2
【解析】∵ 直线 y=−x−4 交 x 轴和 y 轴于点 A 和点 C，
∴ 点 A−4,0，点 C0,−4，
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
由题意可得：b=2,0=−4k+b, 解得：k=12,b=2,
∴ 直线 AB 的解析式为 y=12x+2．
（2） ∵ 点 A−4,0，点 C0,−4，点 B0,2，
∴OA=OC=4，OB=2，
∴BC=6，
设点 Pm,12m+2，
当点 P 在线段 AB 上时，
∵S△APC=S△AOC，
∴S△ABC−S△PBC=12×4×4，
∴12×6×4−12×6×−m=8，
∴m=−43，
∴ 点 P−43,43；
当点 P 在 BA 的延长线上时，
∵S△APC=S△AOC，
∴S△PBC−S△ABC=12×4×4，
∴12×6×−m−12×6×4=8，
∴m=−203，
∴ 点 P−203,−43．
综上所述：点 P 坐标为 −43,43 或 −203,−43．
（3） 如图，当点 P 在线段 AB 上时，设 CP 与 AO 交于点 H，
在 △AOB 和 △COH 中，
∠AOB=∠COH,AO=CO,∠BAO=∠PCB,
∴△AOB≌△COHASA，
∴OH=OB=2，
∴ 点 H 坐标为 −2,0，
设直线 PC 解析式 y=ax+c，
由题意可得 c=−4,0=−2a+c, 解得：a=−2,c=−4,
∴ 直线 PC 解析式为 y=−2x−4，
联立方程组得：y=−2x−4,y=12x+2, 解得：x=−125,y=45,
∴ 点 P−125,45，
∴CP=−125−02+45+42=1255，
当点 Pʹ 在 AB 延长线上时，设 CPʹ 与 x 轴交于点 Hʹ，
同理可求直线 PʹC 解析式为 y=2x−4，
联立方程组 x=4,y=4,
∴ 点 P4,4，
∴CP=4−02+4+42=45．
综上所述：CP 的解析式为：y=−2x−4 或 y=2x−4；CP 的长为 1255 或 45．
6. （1） 设一次函数的解析式为 y=kx+b，
将 −2,−2，1,4 代入得 −2=−2k+b,4=k+b,
解得 k=2,b=2,
∴y=2x+2．
（2） 令 x=0，得 y=2，
∴ 函数过 0,2，−2,−2，1,4，
描点画图，
当 x≥0 时，y≥2．
7. （1） 联立 y=2x, ⋯⋯①y=−x+3. ⋯⋯②
由① − ②得：3x=3，x=1，
将 x=1 代入①中可得：y=2，
∴ 点 A 的坐标为 1,2，
令直线 y=−x+3 中的 y=0，则 x=3，
∴ 点 B 的坐标为 3,0，
∴S△OAB=12×3×2=3．
（2） n≥4 或 n≤0．
【解析】由题可得：y1=y2=n，
又 ∵y1=2x1=n，y2=−x2+3=n，
∴x1=n2，x2=3−n，
∴ 当 x1−x2≥3 时，n2−3+n≥3，
∴n2−3+n≥3 或 n2−3+n≤−3，
解得：n≥4 或 n≤0．
8. （1） 由 y=−12x−1,y=−2x+2,
解得 x=2,y=−2,
∴P 点坐标为 2,−2；
（2） 直线 y=−12x−1 与直线 y=−2x+2 中，
令 y=0，则 −12x−1=0 与 −2x+2=0，
分别解得 x=−2 与 x=1，
∴A 点坐标为 −2,0，B 点坐标为 1,0，
∴AB=3，
∴S△PAB=12AB⋅∣yp∣=12×3×2=3；
（3） 如图所示：
自变量 x 的取值范围是 x<2．
9. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx−4 经过点 A2,0，B−4,0，
∴4a+2b−4=0,16a−4b−4=0, 解得 a=12,b=1.
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2+x−4．
（2） 如图 3 所示，连接 OP，
设点 Px,12x2+x−4，
其中 −4由题意得 C0,−4，
∴S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=12×2×4+12×4×−x+12×4×−12x2−x+4=4−2x−x2−2x+8=−x2−4x+12=−x+22+16.
∵−1<0，抛物线开口向下，S 有最大值，
∴ 当 x=−2 时，四边形 ABPC 的面积最大，
此时，y=−4，即 P−2,−4．
因此当四边形 ABPC 的面积最大时，点 P 的坐标为 −2,−4．
（3） y=12x2+x−4=12x+12−92，
∴ 顶点 M−1,−92．
如图 4 所示，连接 AM 交直线 DE 于点 G，连接 CG，MC，此时，△CMG 的周长最小．
设直线 AM 的解析式为 y=kx+b，且过点 A2,0，M−1,−92，
∴2k+b=0,−k+b=−92, 即 k=32,b=−3.
∴ 直线 AM 的解析式为 y=32x−3．
在 Rt△AOC 中，AC=OA2+OC2=22+42=25．
∵D 为 AC 的中点，
∴AD=12AC=5．
由题意知 △ADE∽△AOC，
∴ADAO=AEAC，
∴52=AE25，
∴AE=5，
∴OE=AE−AO=5−2=3，
∴E−3,0．
由图可知 D1,−2，
设直线 DE 的函数解析式为 y=mx+n，
由 m+n=−2,−3m+n=0, 解得 m=−12,n=−32.
∴ 直线 DE 的解析式为 y=−12x−32．
由 y=−12x−32,y=32x−3, 解得 x=34,y=−158
∴G34,−158．
10. （1） 根据题意得 y=−12x+6,y=12x, 解得 x=6,y=3,
∴ 点 A 坐标为 6,3．
（2） 在 y=−12x+6 中，令 x=0，得 y=6，
∴ 点 C 坐标 0,6，
∵ 点 D 在线段 OA 上，
∴S△DCO=12⋅OC⋅xD=12×6⋅xD=12，
∴xD=4，
∴yD=12×4=2，
∴ 点 D 坐标 4,2，
设直线 CD 的函数关系式为 y=kx+bk≠0，
把点 C0,6，D4,2 代入，得 b=6,4k+b=2, 解得 k=−1,b=6,
∴ 直线 CD 的函数关系式为 y=−x+6．
（3） 存在，点 Q 坐标为 −3,3 或 32,−32 或 6,6．
【解析】∵ 点 P 在射线 CD 上，故设点 P 坐标 m,−m+6m≥0，
设 Q 坐标为 n,t，又 O，C，P，Q 构成菱形，分类讨论：
①若 OC，PQ 为对角线，则 O0,0，C0,6，
0=m+n,6=−m+6+t,PO=PC, 即 m+n=0,−m+t=0,m2+−m+62=m2+m2, 解得 m=3,n=−3,t=3,
∴Q1−3,3．
②若 OP，CQ 为对角线，则
m=n,−m+6=6+t,CO=CP, 即 m=n,m+t=0,36=m2+m2, 解得 m=32负舍,n=32,t=−32,
∴Q232,−32．
③若 OQ，CP 为对角线，
∴n=m,t=−m+6+6,OC=OP, 即 m=n,m+t=12,36=m2+−m+62, 解得 m=6,n=6,t=6,
∴Q36,6．
综上，点 Q 坐标为 −3,3 或 32,−32 或 6,6．