第2讲 力的合成与分解学案

这是一份第2讲 力的合成与分解学案，共22页。学案主要包含了力的合成，力的分解，矢量和标量等内容，欢迎下载使用。

第2讲　力的合成与分解


一、力的合成
1.合力与分力
(1)定义:如果一个力①　产生的效果　跟几个力共同作用产生的效果相同,这一个力就叫那几个力的②　合力　,那几个力就叫这个力的③　分力　。 
(2)关系:合力和分力是一种④　等效替代　关系。 
注意　合力不一定大于分力,二者是等效替代的关系,受力分析时不可同时作为物体所受的力。
2.共点力
作用在物体的同一点,或作用线的延长线交于一点的力。如图所示均是共点力。

3.力的合成:求几个力的⑤　合力　的过程。 
4.力的运算法则

(1)三角形定则:把两个矢量⑥　首尾相连　从而求出合矢量的方法。(如图所示) 
(2)平行四边形定则:求互成角度的⑦　两个力　的合力,可以用表示这两个力的线段为邻边作⑧　平行四边形　,这两个邻边之间的对角线就表示合力的⑨　大小　和⑩　方向　。 
二、力的分解
1.力的分解
(1)定义:求一个力的　分力　的过程。力的分解是　力的合成　的逆运算。 
(2)遵循的原则:　平行四边形　定则或三角形定则。 
2.力的效果分解法
(1)根据力的　实际作用效果　确定两个实际分力的方向; 
(2)再根据两个实际分力的方向画出　平行四边形　; 
(3)最后由数学知识求出两分力的大小。
3.正交分解法
(1)定义:将已知力按　互相垂直　的两个方向进行分解的方法。 
(2)建立坐标轴的原则:以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)。
三、矢量和标量
1.矢量:既有大小又有　方向　的物理量,相加时遵从　平行四边形定则　。 
2.标量:只有大小　没有　方向的物理量,求和时按　代数法则　相加。 
注意　矢量与标量的根本区别在于运算法则,矢量运算使用平行四边形定则或三角形定则,而标量运算使用代数运算法则。

1.判断下列说法对错。
(1)合力与它的分力的作用对象为同一个物体。 ( √ )
(2)合力及其分力可以同时作用在物体上。 ( ✕ )
(3)几个力的共同作用效果可以用一个力来代替。 ( √ )
(4)在进行力的合成与分解时,都要应用平行四边形定则或三角形定则。 ( √ )
(5)两个力的合力一定比其分力大。 ( ✕ )
(6)既有大小又有方向的物理量一定是矢量。 ( ✕ )
2.(新人教版必修第一册P71·T4改编)一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力,一个分力在水平方向上且大小为240 N,则另一个分力的大小为 (　　)
A.60 N　　　B.240 N　　　C.300 N　　　D.420 N
答案　C
3.减速带是交叉路口常见的一种交通设施,车辆驶过减速带时要减速,以保障行人的安全。当汽车前轮刚爬上减速带时,减速带对车轮的弹力为F,图中弹力F的画法正确且分解合理的是 (　　)


答案　B

考点一　共点力的合成

　　1.[矢量三角形的应用](2020湖北黄石模拟)如图所示,AB是半圆的直径,O为圆心,P点是圆上的一点,在P点有三个共点力F1、F2、F3。若F2的大小已知,则这三个力的合力大小为 (　　)

A.F2　　　B.2F2　　　C.3F2　　　D.4F2
答案　C
2.[平行四边形的应用]射箭是奥运会上一个观赏性很强的运动项目,中国队有较强的实力。如图甲所示,射箭时,刚释放的瞬间,若弓弦的拉力为100 N,对箭产生的作用力为120 N,弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示,对箭产生的作用力如图乙中F所示,则弓弦的夹角α应为(cos53°=0.6) (　　)

A.53°　　　B.127°　　　C.143°　　　D.106°
答案　D　弓弦拉力的合成如图所示,

由于F1=F2,由几何知识得
2F1 cos α2=F合,有
cos α2=F合2F1=1202×100=35=0.6
所以α2=53°
即α=106°,故D正确。

　　1.合力大小的范围
(1)两个共点力的合成:|F1-F2|≤F≤F1+F2。
即两个力的大小不变时,其合力随夹角的增大而减小,当两个力共线反向时,合力最小,为|F1-F2|;当两力共线同向时,合力最大,为F1+F2。
(2)三个共点力的合成。
①三个力共线且同向时,其合力最大为F=F1+F2+F3;
②以这三个力的大小为边,如果能组成封闭的三角形,则其合力最小值为零,若不能组成封闭的三角形,则合力最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和。
2.共点力合成的常用方法
(1)作图法:从力的作用点起,按同一标度作出两个分力F1和F2的图示,再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形,画出过作用点的对角线,量出对角线的长度,计算出合力的大小,量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。

(2)计算法:几种特殊情况的共点力的合成。
类　型
作　图
合力的计算
互相垂直

F=F12+F22
tan θ=F1F2
两力等大,夹角为θ

F=2F1 cos θ2
F与F1夹角为θ2
两力等大且
夹角为120°

合力与分力等大
　　(3)力的三角形定则:将表示两个力的线段保持原来的方向依次首尾相接,从第一个力的起点,到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图所示。

3.重要结论
(1)两个分力大小一定时,夹角θ越大,合力越小。
(2)合力一定,两等大分力的夹角越大,两分力越大。
(3)合力可以大于分力,等于分力,也可以小于分力。

考点二　力的分解

　　1.按力的效果分解
(1)根据力的实际作用效果两个实际分力的方向;
(2)再根据两个实际分力方向平行四边形;
(3)最后由三角形知识两分力的大小。
2.正交分解法
(1)定义:将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
(2)建立坐标轴的原则:一般选共点力的作用点为原点。在静力学中,以少分解力和容易分解力为原则(即尽可能让更多的力在坐标轴上);在动力学中,以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。

(3)应用:物体受到多个力作用F1、F2、F3…,求合力F时,可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解(如图)。
x轴上的合力:Fx=Fx1+Fx2+Fx3+…
y轴上的合力:Fy=Fy1+Fy2+Fy3+…
合力的大小:F=Fx2+Fy2
合力方向:与x轴夹角为θ,则tan θ=FyFx。
3.力的分解的唯一性和多解性
(1)已知两个不平行分力的方向,可以唯一地作出力的平行四边形,对力进行分解,其解是唯一的。
(2)已知一个分力的大小和方向,力的分解也是唯一的。
(3)已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小,对力F进行分解,如图所示,有三种可能:(F1与F的夹角为θ)

①F2 ②F2=F sin θ或F2≥F时有一组解。
③F sin θ (4)已知合力和两个不平行分力大小,许多同学认为只有如下两种分解方式。

事实上,以F为轴在空间内将该平行四边形转动一周,每一个平面分力方向均有变化,都是一个解,因此,此情境应有无数组解。
例1　如图所示,楔形凹槽的截面是一个直角三角形ABC,∠CAB=30°,∠ABC=90°,
∠ACB=60°,在凹槽中放有一个光滑的金属球,当金属球静止时,其对凹槽AB边的压力为F1,对BC边的压力为F2,则F2F1的值为 (　　)

A.12　　　B.34　　　C.33　　　D.233
审题关键　(1)金属球的重力产生哪两个作用效果?
提示:压紧BC面和压紧AB面。
(2)金属球对凹槽AB边和BC边的压力F1和F2是金属球重力的分力吗?
提示:不是。
答案　C　金属球受到的重力产生两个作用效果,压紧AB面和压紧BC面,如图所示,将金属球所受的重力分解为压紧AB面的力F1'和压紧BC面的力F2',又由题意知,F1=F1',F2=F2',故F2F1=tan 30°=33,故C项正确。

解题感悟
力的合成与分解方法的选择
力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法,一般情况下,物体只受三个力的情形下,力的效果分解法、合成法解题较为简单,在三角形中找几何关系,利用几何关系或三角形相似求解;而物体受三个以上力的情况多用正交分解法,但也要视题目具体情况而定。

　　1.[力的分解的应用](2020山东威海二模)生活中经常用刀来劈开物体。如图是刀刃的横截面,F是作用在刀背上的力,若刀刃的横截面是等腰三角形,刀刃两侧面的夹角为θ,刀的重力可以忽略,则刀劈物体时对物体的侧向推力FN的大小为 (　　)

A.Fsin θ2　　　B.F2sin θ2
C.F cos θ2　　　D.F2cos θ2
答案　B　将力F根据平行四边形定则分解如下:由几何知识得,侧向推力的大小为FN=F2sin θ2=F2sin θ2,故A、C、D错误,B正确。

2.[正交分解法的应用](2020河北衡水调研)如图所示,质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上,物体与斜面之间的动摩擦因数为μ。先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑,之后改用水平推力F2作用于物体上,也能使物体沿斜面匀速上滑,则两次的推力大小之比F1F2为 (　　)

A.cos θ+μ sin θ　　　B.cos θ-μ sin θ
C.1+μ tan θ　　　D.1-μ tan θ
答案　B　物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力如图所示。将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解,由平衡条件可得:F1=mg sin θ+Ff1,FN1=mg cos θ,Ff1=μFN1,
F2 cos θ=mg sin θ+Ff2,FN2=mg cos θ+F2 sin θ,Ff2=μFN2,解得F1=mg sin θ+
μmg cos θ,F2=mgsinθ+μmgcosθcosθ-μsinθ;故F1F2=cos θ-μ sin θ,选项B正确。

考点三　“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”问题

考向一　“活结”与“死结”问题
　　例2　(多选)(2017天津理综,8,6分)如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点,悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是 (　　)

A.绳的右端上移到b',绳子拉力不变
B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移
审题关键　(1)绳的右端上移过程中,两段绳子间的夹角怎样变化?
提示:不变。
(2)将杆N向右移一些,两段绳子间夹角将怎样变化?
提示:变大。
答案　AB　本题考查物体受力分析、物体的平衡。衣架挂钩为“活结”模型,oa、ob为一根绳,两端拉力相等,设绳aob长为L,M、N的水平距离为d,bo延长线交M于a',由几何知识知 a'o=ao,sin θ=dL,由平衡条件有2F cos θ=mg,则F=mg2cosθ,当b上移到b'时,d、L不变,θ不变,故F不变,选项A正确,C错误。将杆N向右移一些,L不变,d变大,θ变大,cos θ 变小,则F变大,选项B正确。只改变m,其他条件不变,则sin θ不变,θ不变,衣架悬挂点不变,选项D错误。

解题感悟
“死结”与“活结”问题
(1)“死结”可理解为把绳子分成两段,且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因“结”而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
(2)“活结”可理解为把绳子分成两段,且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成。绳子虽然因“活结”而弯曲,但实际上“活结”两侧的绳子是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。
考向二　“动杆”与“定杆”问题
　　例3　如图甲所示,细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体,∠ACB=30°;图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上,另一端G通过细绳EG拉住,EG与水平方向也成30°角,轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体,(重力加速度为g)求:

(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比;
(2)轻杆BC对C端的支持力;
(3)轻杆HG对G端的支持力。
审题关键　
(1)图中杆上的力一定沿杆吗?
提示:题图甲杆上的力不沿杆,题图乙杆上的力沿杆。
(2)两图中分别以谁为研究对象?
提示:C点、G点。
答案　(1)M12M2　
(2)M1g　方向与水平方向成30°指向右上方　
(3)3M2g,方向水平向右
解析　题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态,根据平衡条件,首先判断与物体相连的细绳,其拉力大小等于物体的重力;分别取C点和G点为研究对象,进行受力分析,如图甲和乙所示,根据平衡条件可求解。

(1)图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体,物体处于平衡状态,细绳AC段的拉力
FTAC=FTCD=M1g
图乙中由FTEG sin 30°=M2g,得FTEG=2M2g。
所以FTACFTEG=M12M2。
(2)图甲中,三个力之间的夹角都为120°,根据平衡条件有FNC=FTAC=M1g,方向与水平方向成30°指向右上方。
(3)图乙中,根据平衡方程有
FTEG sin 30°=M2g,
FTEG cos 30°=FNG,
所以FNG=M2g cot 30°=3M2g,方向水平向右。
解题感悟
“动杆”与“定杆”问题
(1)动杆:对一端有光滑转轴O的静止轻杆而言,轻杆受力平衡时,轻杆的另一端受到的力一定沿轻杆的方向,如图甲所示,轻杆OB静止时,轻绳ABC对轻杆OB的作用力一定沿BO方向,否则轻杆将会绕光滑轴O转动,与已知杆静止条件矛盾。

(2)定杆:图乙中,轻杆是插入墙中的,这时A'B'C'对轻杆O'B'的作用力就不一定沿B'O'方向。


科学思维——对称法解决非共面力问题

1.学科素养解读——科学思维能力的培养
在力的合成与分解的实际问题中,经常遇到物体受多个非共面力作用处于平衡状态的情况,而在这类平衡问题中,又常有图形结构对称的特点,结构的对称性往往对应着物体受力的对称性。
2.解题策略技巧——对称法的应用
解决这类问题的方法是根据物体受力的对称性,结合力的合成与分解知识及平衡条件列出方程,求出结果。
例4　叠放在水平地面上的四个完全相同的排球如图所示,质量均为m,相互接触,球与地面间的动摩擦因数都是μ。底层三个排球刚好接触成三角形,上层一个排球放在底层三个排球的正中间上方,系统保持静止。不考虑球的转动和球与球间的摩擦力,若最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,则 (　　)

A.底层每个排球对地面的压力均为2mg
B.底层每个排球对上层排球的支持力大小为mg3
C.底层排球受到水平地面的摩擦力均为3mg9
D.水平地面与球间的动摩擦因数至少为28
答案　D　根据整体法,下面每个球对地面的压力为N,3N=4mg,N=43mg,故A错误;上层排球受到重力、下层排球对上层排球的三个支持力F,由于三个支持力的方向不是竖直向上,所以三个支持力在竖直方向的分量之和等于重力,根据正四面体几何关系可求,F与mg的夹角的余弦值cos θ=63,正弦值sin θ=33,则有:
F cos θ+mg=N
F sin θ=f
联立解得f=26mg,F=66mg,则有μ=fN=28,所以水平面与球间的动摩擦因数至少为28,故B、C错误,D正确。


1.现场卸货历来是中国南极考察队的“硬仗”,需要利用卡特彼勒车将重达25吨的货物卸载,如图所示,吊钩下有四根一样的绳索,且四根绳索呈对称分布,每根绳索与竖直方向的夹角均为30°,则每根绳索的拉力大小约为　 (　　)

A.9.0×104 N　　　B.7.0×104 N
C.5.0×104 N　　　D.3.0×104 N
答案　B
2.(多选)(2020安徽滁州月考)微元法就是把研究对象分为无限多个无限小的部分,取出有代表性的极小的一部分进行分析处理,再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法。如图所示,静止的圆锥体竖直放置,轴截面顶角为α、质量为m且分布均匀的链条环水平地套在圆锥体上,忽略链条与圆锥体之间的摩擦力,在链条环中任取一小段Δl,其质量为Δm,对此部分受力分析,下列说法正确的是 (　　)

A.设圆锥体对链条环的支持力为N,则Δmg=N sin α2
B.链条环中的张力为T,则T=mg2π tan α2
C.链条环中的张力为T,则T=mg2πtan α
D.设Δl相对链条环中心的张角为Δφ,则有2T sin Δφ2=N sin α2
答案　AB　如图乙、丙所示,设Δl对链条环中心的张角为Δφ,根据共点力平衡条件知,


Δl在水平方向上受力平衡,有:
2T sin Δφ2=N cos α2 ①
因Δl很短,Δφ很小,所以
sin Δφ2≈Δφ2 ②
将②代入①式有:TΔφ=N cos α2 ③
Δl在竖直方向上也受力平衡,
Δmg=N sin α2 ④
④代入③式得,tan α2=ΔmTΔφg ⑤
⑤式中Δm=m2πR·Δl=mΔφ2π
将其代入⑤式可得tan α2=mg2πT
所以链条环中的张力为T=mg2π tan α2,故A、B正确,C、D错误。

A组　基础达标
1.(2020广东湛江一中月考)下列关于合力与分力的说法,正确的是 (　　)
A.两个已知力的合力一定大于其中的任意一个力
B.两个已知力的合力可能比任意一个力都要小
C.一个已知力可以有多种分解方法,但各种情况的分力都是一样的
D.两个已知力的合力有多种可能
答案　B
2.物体受共点力F1、F2、F3作用而做匀速直线运动,若F1、F2、F3三个力不共线,则这三个力可能选取的数值为 (　　)
A.15 N、5 N、6 N　　　B.3 N、6 N、4 N
C.1 N、2 N、10 N　　　D.1 N、6 N、7 N
答案　B
3.(2020广东肇庆模拟)如图所示,被轻绳系住静止在光滑斜面上的小球,若按力的实际作用效果来分解小球受到的重力G,则G的两个分力的方向分别是图中的 (　　)

A.1和4　　　B.3和4
C.2和4　　　D.3和2
答案　B　
4.如图所示,同时作用在质点O上有三个共点力F1、F2、F3,其中F1、F2是正六边形的两条边,F3是正六边形的一条对角线。已知F1=F2=2 N。则这三个力的合力大小等于 (　　)

A.6 N　　　B.8 N　　　C.10 N　　　D.12 N
答案　A　已知F1=F2=2 N,由几何关系可知,F3的长度是F1的2倍,所以F3=4 N,由题图可知,F1、F2的夹角为120°,根据平行四边形定则可知,F1、F2的合力的大小为2 N,方向与F3的方向相同,所以F1、F2、F3的合力的大小为F=4 N+2 N=6 N,故A正确,B、C、D错误。
5.(2020福建泉州期末)如图所示,总重力为G的吊灯用三条长度相同的轻绳悬挂在天花板上,每条轻绳与竖直方向的夹角均为θ,重力加速度为g,则每条轻绳对吊灯的拉力大小为 (　　)

A.G3cosθ　　　B.G3sinθ
C.13G cos θ　　　D.13G sin θ
答案　A　由平衡知识可知:3FT cos θ=G,解得FT=G3cosθ,故选A。
6.超市里磁力防盗扣的内部结构及原理如图所示,在锥形金属筒内放置四颗小铁珠(其余两颗未画出),工作时弹簧通过铁环将小铁珠挤压于金属筒的底部,同时,小铁珠陷于钉柱上的凹槽里,锁死防盗扣。当用强磁场吸引防盗扣的顶部时,铁环和小铁珠向上移动,防盗扣松开,已知锥形金属筒底部的圆锥顶角刚好是90°,弹簧通过铁环施加给每个小铁珠竖直向下的力F,小铁珠锁死防盗扣,每个小铁珠对钉柱产生的侧向压力为(不计摩擦以及小铁珠的重力) (　　)

A.2F　　　B.22F
C.F　　　D.3F
答案　C　以一个铁珠为研究对象,将力F按照作用效果分解,如图所示。由几何关系可得小铁珠对钉柱产生的侧向压力为N=Ftan45°=F,C正确。

7.如图所示是轿车常用的千斤顶,当摇动把手时,螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢,从而将汽车顶起。当车刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N,此时千斤顶两臂间的夹角为120°。下列判断正确的是 (　　)

A.此时千斤顶每臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B.此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×104 N
C.若继续摇动把手,将汽车顶起,千斤顶每臂受到的压力将增大
D.若继续摇动把手,将汽车顶起,千斤顶每臂受到的压力将减小
答案　D　车刚被顶起时,千斤顶两臂支持力的合力为千斤顶对汽车的支持力,等于汽车对千斤顶的压力,大小为1.0×105 N,B项错误;两臂夹角为120°,由力的合成可知千斤顶每臂受到的压力为1.0×105 N,A项错误;继续摇动把手,将汽车顶起,千斤顶两臂间夹角减小,每臂受到的压力减小,D项正确,C项错误。
8.如图所示,α=30°,装置A的重力和摩擦力均不计,若用F=100 N的水平推力使滑块B保持静止,则工件受到的向上的弹力为多大?

答案　1003 N
解析　装置A的重力和摩擦力均不计,对B进行受力分析如图,则水平方向上,F=F1 sin α;对A进行受力分析如图,则竖直方向上,F1' cos α=F2,又F1'=F1,所以F2=cosαsinαF;根据牛顿第三定律,工件受到的向上的弹力与工件对装置A的弹力大小相等,方向相反,即N=F2=cosαsinαF=3212×
100 N=1003 N。


B组　综合提升
9.(2020山东实验中学模拟)如图所示,置于水平地面的三脚架上水平放置一质量为m的盆栽,三脚架的三根轻质支架等长,顶点和轻杆与地面接触的三个点构成了正四面体结构,则每根支架中承受的压力大小为(重力加速度为g) (　　)

A.36mg　　　B.66mg
C.63mg　　　D.62mg
答案　B　三脚架的三根轻质支架与地面接触的三个点构成了正四面体结构,设每根支架中承受的压力大小为F,每根支架与竖直方向的夹角为θ,每根支架长为L,等效图如图所示。过A作BC垂线,根据图中的几何关系可得:AE=L cos 30°=32L,过D作竖直线交AE于O,根据几何关系可得:AO=23AE=23×32L=33L,正四面体的高OD=L2-AO2=63L,则cos θ=ODL=63,以盆栽为研究对象,竖直方向根据平衡条件可得:3F' cos θ=mg,解得F'=66mg,故F=F'=66mg,B正确,A、C、D错误。

10.(2020山东潍坊二模)如图所示,通过轻绳和滑轮从矿井中提升重物,光滑动滑轮下吊重物,轻绳a左端固定在井壁的M点,另一端固定在光滑的滑环N上,轻绳b的下端系在滑环N上并绕过定滑轮,滑环N套在竖直杆上。在右侧地面上拉动轻绳b使重物缓慢上升的过程中,下列说法正确的是　 (　　)

A.绳a的拉力变大
B.绳b的拉力变大
C.杆对滑环的弹力变大
D.绳b的拉力始终比绳a的小
答案　D　设轻绳a的长度为L、轻绳a左端与竖直方向的夹角为α、轻绳a右端与竖直方向的夹角为β、矿井的宽度为d,动滑轮和所吊重物总质量为M。对动滑轮和所吊重物在水平方向根据平衡条件有:Fa sin α=Fa sin β,则α=β。根据几何关系有:d=L1 sin α+L2 sin β=
L sin α,则α不变。对动滑轮和所吊重物在竖直方向根据平衡条件有:Fa cos α+
Fa cos β=Mg,解得Fa=Mg2cosα,则绳a的拉力Fa不变,故选项A错误;对滑环N:水平方向根据平衡条件有Fa sin β=F,竖直方向根据平衡条件有Fa cos β=Fb,解得:Fb=Mg2、F=Mgtanα2,则绳b的拉力Fb不变、杆对滑环的弹力F不变,故选项B、C错误;Fa=Mg2cosα>Fb=Mg2,即绳b的拉力始终比绳a的小,故选项D正确。

11.(2020山东济南一模)如图所示为剪式千斤顶的截面图。四根等长的支持臂用光滑铰链连接,转动手柄,通过水平螺纹轴减小MN间的距离,以抬高重物。保持重物不变,MP和PN夹角为120°时N点受到螺纹轴的作用力为F1;MP和PN夹角为60°时N点受到螺纹轴的作用力为F2。不计支持臂和螺纹轴的重力,则F1与F2大小之比为 (　　)

A.1∶1　　　B.1∶3　　　
C.3∶1　　　D.3∶1
答案　D　当两臂间的夹角为120°时,两臂受到的压力为T1=G2cos60°=G,对N点分析,N点受到螺纹轴的作用力为F1=2T1 cos 30°=3G;当两臂间的夹角为60°时,两臂受到的压力为T2=G2cos30°=33G,对N点分析,N点受到螺纹轴的作用力为F2=2T2 cos 60°=33G,则有F1F2=3∶1,故选项A、B、C错误,D正确。

12.一重为G的圆柱体工件放在V形槽中,槽顶角α=60°,槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同且大小为μ=0.25,则:(sin 37°=0.6, cos 37°=0.8)

(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图)水平地把工件从槽中拉出来,人要施加多大的拉力?
(2)现把整个装置倾斜,使圆柱体的轴线与水平方向成37°角,且保证圆柱体对V形槽两侧面的压力大小相等,发现圆柱体能自动沿槽下滑,求此时工件和槽之间的摩擦力大小。
答案　(1)0.5G　(2)0.4G
解析　(1)分析圆柱体的受力可知,沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体的滑动摩擦力,由题给条件知,F=f合。将重力进行分解如图。

因为α=60°,所以G=F1=F2,
由f合=μF1+μF2,得F=0.5G。
(2)把整个装置倾斜,则工件重力压紧斜面的分力:F1'=F2'=G cos 37°=0.8G,此时工件和槽之间的摩擦力大小f'=2μF1'=0.4G。