江苏省徐州市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题含答案

徐州市2021~2022学年度第一学期期中考试

高二数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号、学校、班级填写在答题卡上．
2. 作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 答案写在试卷上无效．
3. 非选择题必须用黑色字迹的 签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上； 如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液． 不按以上要 求作答无效．
4. 考生必须保持答题卡的整洁．
   一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合 题目条件要求．

1. 直线过 和 两点， 则直线的倾斜角是
   A．
   B．
   C．
   D．
2. 已知圆心为 的圆与 轴相切， 则该圆的标准方程是
   A．
   B．
   C．
   D．
3. 设 ， 直线 与直线 平行， 则 的值是 (
   A．
   B．
   C． 1
   D． 0
4. 经过点 作圆 的弦 ， 使得点 平分弦 ， 则弦 所在直线 的方程是（
   A．
   B．
   C．
   D．
5. 两圆 与 的公切线有 (
   A． 1 条
   B． 2 条
   C． 3 条
   D． 4 条
6. 已知点 是抛物线 的焦点， 为坐标原点， 若以 为圆心， 为半径的圆与直 线 相切，则抛物线的准线方程是
   A．
   B．
   C．
   D．
7. 许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致． 已知下面左图是单叶双曲面 (由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形) 型建筑，右图是其中截
   面最细附近处的部分图象． 上下底面与地面平行． 现测得下底面直径 米， 上底面 直径 米， 与 ．  间的距离为 80 米，与上下底面等距离的 处的直径等于 ． ， 则 最细部分处的直径为 (

A． 20 米
B． 米
C． 米
D． 10 米

8. 已知实数 满足方程 ，
   则 的最大值是 ( )
   A．
   B．
   C．
   D．
   二、多项选择题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求． 全部选5 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得 2 分．
9. 已知 为实数， 若三条直线 ．  和 不能围成三角形， 则 的值为 ( )
   A．
   B． 1
   C．
   D．
10. 已知曲线 的方程为 ， 则下列结论正确的是 ()
    A． 当 时， 曲线 是半径为 2 的圆
    B． 当 时， 曲线 是双曲线， 其哳近线方程为 ．
    C． 存在实数 ， 使得曲线 为离心率为 的双曲线
    D． " " 是“曲线 为焦点在 轴上的椭圆” 的必要不充分条件
11. 已知直线 与圆 交于 两点，则下列说法正确的是（ )
    A． 直线 的倾斜角为
    B． 线段 的账度为定值，
    C． 线段 点轨迹方程为
    D． 圆 上总有 4 个点到 的距离为 2
12. 在平面直角坐标系中，定义 为 两点之间的 "曼哈顿距离"， 则下列说法正确的是 ( )
    A． 若点 在线段 上，则有
    B． 若 是三角形的三个顶点， 则有
    C． 若 为坐标原点，点 在直线 上， 则 的最小值为 2
    D． 若 为坐标原点，点 满足 ， 则 所形成图形的面积为 2
13. 如图， 分别是椭圆的顶点， 从椭圆上一点 向 轴作垂线， 垂 足为焦点 ， 且 ， 则该椭圆的离心率为________．过一个定点，该定点坐标为 ________； 当 ________时，原点到直线的距离最大． (第一空 2 分，第二空 3 分)

14. 无论取任何实数，直线必经过一个定点，该定点坐标为________；当＝________时，原点到直线的距离最大． (第一空 2 分，第二空 3 分)
15. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河． "诗中隐含 着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题， 即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先 到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短? 在平面直角坐标系中， 设军营所在区域 为 ， 河岸线所在直线方程为 ， 若将军从点 处出发， 并假定将军只要 到达军营所在区域即回到军营， 则“将军饮马”的最短总路程为________．
16. 直线 与椭圆 相交于 两点， 线段 的中点在直线 上， 则直线 在 上的截距的取值范围是________．
    四、解答题： 本题共 6 小题， 共 70 分． 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步䠫．
17. (本小题満分 10 分)
    已知直线 和 的交点为 ．
    (1) 若直线 经过点 且与直线 平行， 求直线 的方程；
    (2)若直线 经过点 且与两坐标轴围成的三角形的面积为 5 ， 求直线 的方程．
18. (本小题满分 12 分)
    已知圆 与 ．
    (1) 过点 作直线 与圆 相切， 求 的方程；
    (2) 若圆 与圆 相交于 两点，求 的长．
19. (本小题满分 12 分)
    已知在平面直角坐标系 中， 点 ， 半径为 1 的圆 的圆心在直线 上．
    (1)若圆 被直线 所截得的弦长为 ， 求圆 的标准方程；
    (2)若圆 上存在点 ， 使得 ， 求圆心 的横坐标的取值范围．
20. (本小题满分 12 分)
    已知抛物线 的焦点 到双曲线 的渐近线的距离为 1 ．
    (1) 求抛物线 的方程；
    (2)若抛物线 上一点 到 的距离是 4 ， 求 的坐标；
    (3) 若不过原点 的直线 与抛物线 交于 两点，且 ， 求证：直线 过定点．
21. (本小题满分 12 分)
    已知圆 ， 点 是圆 上的动点， 过点 作 轴的垂线， 垂足为 ．
    (1) 若点 满足 ， 求点 的轨迹方程；
    (2) 若过点 且斜率分别为 的两条直线与(1) 中 的轨迹分别交于点 ， 并满足 ， 求 的值．
22. (本小题满分 12 分)
    已知双曲线 的右焦点为 ， 离心率为 2 ， 直线 与 的一 条渐近线交于点 ， 且 ．
    (1) 求双曲线 的标准方程；
    (2) 设 为双曲线 右支上的一个动点，在 轴上是否存在定点 ， 使得 若存在，求出点 的坐标； 若不存在， 请说明理由．