高中数学人教版新课标A必修11.1.1集合的含义与表示当堂达标检测题

第一章　集合与函数概念

1.1　集合

1.1.1　集合的含义与表示

基础过关练

题组一　集合的含义与特征

1.现有以下说法,其中正确的是(　　)

①接近于0的数的全体构成一个集合;

②正方体的全体构成一个集合;

③未来世界的高科技产品构成一个集合;

④不大于3的所有自然数构成一个集合.

A.①② B.②③ C.③④ D.②④

2.下面四个命题中正确的是(　　)

A.某校高一(1)班所有聪明的学生可以构成一个集合

B.集合{a,b,c}与集合{c,b,a}是相等的集合

C.方程x2-2x+1=0的解构成的集合是{1,1}

D.0与{0}表示同一个集合

3.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰三角形

4.在方程x2-4x+4=0的解集中,有　　　　个元素. 

5.设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.

(1)求实数x应满足的条件;

(2)若-2是集合A中的元素,求实数x的值.

题组二　元素与集合的关系

6.已知集合A中含有三个元素:2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,那么a为(　　)

A.2 B.2或4 C.4 D.6

7.下列所给关系中正确的个数是(　　)

①π∈R;②∉Q;③0∈N*;④|-4|∉N*.

A.1 B.2 C.3 D.4

8.已知A中元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是(　　)

A.-1∉A B.-11∈A C.3k2-1∈A D.-34∉A

9.已知x,y都是非零实数,z=++可能的取值组成的集合为A,则下列判断正确的是(　　)

A.3∈A,-1∉A B.3∈A,-1∈A

C.3∉A,-1∈A D.3∉A,-1∉A

10.已知集合A中有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,集合B中也有三个元素:0,1,x.

(1)若-3∈A,求a的值;

(2)是否存在实数a,x,使集合A与集合B中元素相同?

题组三　集合的表示方法

11.下列集合中,不同于另外三个集合的是(　　)

A.{x|x=1} B.{x|x2=1}

C.{1} D.{y|(y-1)2=0}

12.下列各组集合中,表示同一集合的是(　　)

A.M={(3,2)},N={(2,3)}

B.M={3,2},N={2,3}

C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}

D.M={3,2},N={(3,2)}

13.下列集合的表示方法正确的是(　　)

A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}

B.不等式x-1<4的解集为{x<5}

C.{全体整数}

D.实数集可表示为R

14.用适当的方法表示下列集合:

(1)所有能被3整除的整数;

(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合;

(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.

能力提升练

一、选择题

1.(2020广西南宁三中高一上月考,★★☆)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

2.(★★☆)实数1不是下面哪一个集合中的元素(　　)

A.整数集Z B.{x|x=|x|}

C.{x∈N|-1<x<1} D.

3.(2019山东师大附中高一上第一次学分认定考,★★☆)下列对象能构成集合的是(　　)

A.高一年级全体较胖的学生

B.sin 30°,sin 45°,cos 60°,1

C.全体很大的自然数

D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点

4.(★★☆)用列举法表示集合,正确的是(　　)

A.(-1,1),(0,0) B.{(-1,1),(0,0)}

C.{x=-1或0,y=1或0} D.{-1,0,1}

5.(2019山西大同一中高一上第一次月考,★★☆)方程组的解构成的集合是(　　)

A.{(1,1)} B.{1,1} C.(1,1) D.{1}

6.(2019河北张家口高一上阶段测试,★★☆)下列命题中正确的个数为(　　)

(1)很小的实数可以构成集合;

(2)集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一集合;

(3)1,,,,0.5这些数组成的集合有5个元素.

A.0 B.1 C.2 D.3

7.(2020山西吕梁中学高一上期中,★★☆)设集合A={x∈N|3≤x<6},B={3,4},若x∈A且x∉B,则x等于(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

8.(★★☆)由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合最多含(　　)

A.2个元素 B.3个元素

C.4个元素 D.5个元素

9.(2019四川成都实验外国语学校高一上期中,★★★)已知集合A={a,|a|,a-2},若2∈A,则实数a为(　　)

A.±2或4 B.2 C.-2 D.4

10.(多选题)(2020江苏南通如东高级中学高一上阶段性测试,★★★)已知集合A={x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0}中有且仅有一个元素,那么a的值为(　　)

A.-1 B.1 C. D.0

二、填空题

11.(2019河南南阳一中高一上第一次月考,★★☆)用列举法表示集合{(x,y)|y=-x2+2,x∈N,y∈N}为　　　　　　. 

12.(2020河北承德一中高一上月考,★★☆)若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示B=　　　　. 

13.(2020山东济南外国语学校第一次阶段考,★★★)设a,b,c为非零实数,m=+++,则m的所有值组成的集合为　　　　. 

三、解答题

14.(2020江西赣县中学高一上月考,★★★)已知集合M={2,a,b},N={2a,2,b2},且集合M与N相等,求a,b的值.

15.(★★★)数集M满足条件:若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0).

(1)若3∈M,求集合M;

(2)集合M内的元素能否只有一个?请说明理由.

答案全解全析

第一章　集合与函数概念

1.1　集合

1.1.1　集合的含义与表示

基础过关练

1.D　在①中,因为“接近于0”没有一个确定的标准,所以接近于0的数的全体不能构成一个集合,故①错误;在②中,正方体的全体能构成一个集合,故②正确;在③中,“高科技产品”没有确定的标准,所以未来世界的高科技产品不能构成一个集合,故③错误;在④中,不大于3的所有自然数能构成一个集合,故④正确.

2.B　A中“聪明的学生”没有明确的标准,不具有确定性,他们的全体不能构成集合,故A错误;B中集合{a,b,c}与集合{c,b,a}的元素完全相同,因此它们是相等的集合,故B正确;C中方程x2-2x+1=0的解构成的集合应为{1},故C错误;D中0表示元素,{0}表示一个集合,故D错误.

3.D　因为集合中的元素必须是互异的,所以三角形的三边两两不等,故选D.

4.答案　1

解析　易知方程x2-4x+4=0的解为x1=x2=2,由集合中元素的互异性知,方程的解集中只有1个元素.

5.解析　(1)根据集合中元素的互异性,可知即x≠0且x≠3且x≠-1.

(2)因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且-2是集合A中的元素,所以x=-2.

6.B　若a=2,则6-2=4∈A;若a=4,则6-4=2∈A;若a=6,则6-6=0∉A.因此a=2或4.故选B.

7.B　由常见数集的意义知①②正确,③④错误.故选B.

8.C　令3k-1=-1,解得k=0∈Z,∴-1∈A;

令3k-1=-11,解得k=-∉Z,∴-11∉A;

∵k2∈Z,∴3k2-1∈A;

令3k-1=-34,解得k=-11∈Z,

∴-34∈A.故选C.

9.B　当x>0,y>0时,z=1+1+1=3;

当x>0,y<0时,z=1-1-1=-1;

当x<0,y>0时,z=-1+1-1=-1;

当x<0,y<0时,z=-1-1+1=-1.

所以3∈A,-1∈A.故选B.

10.解析　(1)由-3∈A且a2+1≥1,

可知a-3=-3或2a-1=-3,

当a-3=-3时,a=0;

当2a-1=-3时,a=-1.

经检验,0与-1都符合要求.

∴a=0或-1.

(2)易知a2+1≠0.

若集合A与集合B中元素相同,

则a-3=0或2a-1=0.

若a-3=0,则a=3,此时集合A包含的元素为0,5,10,与集合B包含的元素不相同.

若2a-1=0,则a=,此时集合A包含的元素为0,-,,与集合B包含的元素不相同.

故不存在实数a,x,使集合A与集合B中元素相同.

11.B　A中{x|x=1}={1};B中{x|x2=1}={x|x=1或x=-1}={1,-1};D中{y|(y-1)2=0}={y|y=1}={1}.因此只有B中集合和另外三个集合不同,故选B.

12.B　A中,集合M表示点(3,2),集合N表示点(2,3),故M与N不是同一集合;B中,由于集合中的元素具有无序性,故{3,2}与{2,3}是同一集合;C中,集合M表示点集,集合N表示数集,故M与N不是同一集合;D中,集合M表示数集,集合N表示点集,故M与N不是同一集合.

13.D　选项A中应是{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R};选项B的本意是用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C中“{}”与“全体”意思重复;选项D中的表示方法正确.

14.解析　(1){x|x=3n,n∈Z}.

(2)(x,y)-1≤x≤2,-≤y≤1,且xy≥0.

(3)B={x|x=|x|,x∈Z}.

能力提升练

一、选择题

1.B　由题意知x=a+b,a∈A,b∈B,列表如下:

则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M中共有4个元素,故选B.

2.C　1不满足-1<x<1,故选C.

3.D　对于A,因为“较胖学生”的标准不确定,所以不满足集合中元素的确定性,故A错误;对于B,由于sin 30°=cos 60°=,不满足集合中元素的互异性,故B错误;对于C,因为“很大自然数”的标准不确定,所以不满足集合中元素的确定性,故C错误;对于D,平面内到△ABC三个顶点距离相等的点,是△ABC外接圆的圆心,满足集合的定义,故D正确.故选D.

4.B　集合={(-1,1),(0,0)},故选B.

5.A　解方程组得其解是有序实数对,表示为{(1,1)},故选A.

6.A　(1)中“很小的实数”没有明确的标准,不具有确定性,不能构成集合;(2)中集合{y|y=x2-1}表示函数y=x2-1中函数值y组成的集合,即{y|y≥-1},而集合{(x,y)|y=x2-1}表示抛物线y=x2-1上的点集,故不是同一集合;(3)中=,=0.5,根据集合中元素的互异性可知,这些数组成的集合中只有3个元素.故选A.

7.C　A={x∈N|3≤x<6}={3,4,5},B={3,4},由x∈A且x∉B,知x=5.

8.A　由于=|x|,-=-x,并且在x,-x,|x|中,当x>0时,|x|=x,当x<0时,|x|=-x,当x=0时,|x|=x=-x=0,至少有2个相等,所以最多含2个元素.故选A.

9.C　由条件2∈A可知,a=2或|a|=2或a-2=2,解得a=±2或a=4.由集合中元素的互异性可知a≠|a|,故a<0,所以满足条件的只有a=-2,故选C.

10.BC　当a2-1=0时,a2=1,解得a=±1,

若a=1,则得2x+1=0,解得x=-,符合题意;

若a=-1,则得1=0,此时无解,不符合题意.

当a2-1≠0时,依题意得,

Δ=(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1(舍去)或a=.

综上所述,a的值为1,,故选BC.

二、填空题

11.答案　{(0,2),(1,1)}

解析　由x∈N得,x取0,1,2,…,当x=0时,y=2∈N;当x=1时,y=1∈N;当x≥2时,y≤-2,不符合题意.故集合{(x,y)|y=-x2+2,x∈N,y∈N}={(0,2),(1,1)}.

12.答案　{4,9,16}

解析　∵集合A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},

∴t=±2时,x=4;t=3时,x=9;t=4时,x=16,∴B={4,9,16}.

13.答案　{-4,0,4}

解析　因为a,b,c为非零实数,所以当a>0,b>0,c>0时,m=+++=1+1+1+1=4;当a,b,c中有一个小于0时,不妨设a<0,b>0,c>0,

此时m=+++=-1+1+1-1=0;当a,b,c中有两个小于0时,不妨设a<0,b<0,c>0,此时m=+++=-1-1+1+1=0;

当a<0,b<0,c<0时,m=+++=-1-1-1-1=-4,所以m的所有值组成的集合为{-4,0,4}.

三、解答题

14.解析　由集合M与N相等得或

解上面的方程组得或或

经检验,不符合集合中元素的互异性,

∴或

15.解析　(1)∵3∈M,∴=-2∈M,=-∈M,=∈M,而=3,∴M=.

(2)假设M中只有一个元素,则a=,化简得a2=-1,无实数解,所以M中不可能只有一个元素.