数学九年级上册第二十四章 圆24.4 弧长及扇形的面积第1课时教学设计

24.4　弧长和扇形面积

第1课时　弧长和扇形面积

一、基本目标

【知识与技能】

了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．

【过程与方法】

经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

【情感态度与价值观】

通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣．

二、重难点目标

【教学重点】

弧长及扇形面积计算公式．

【教学难点】

弧长及扇形面积计算公式的推导过程．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P111～P113的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是____，n°的圆心角所对的弧长是____.

2．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是____，n°的圆心角所对应的扇形面积是____.

3．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝__lR__.

4．已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的的长是____3π____ .

5．一个扇形所在圆的半径为3 cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为____3π____cm2.

6．在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm，那么这个圆的半径r＝__18_cm__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧长(精确到0.1米)．

【互动探索】(引发学生思考)要求弧长必须知道半径和圆心角，题目中已经给出了半径，即AB的长度，还给出了最低点和最高点离地面的距离，但根据这些条件并不能直接求出圆心角，所以，本题还需要考虑做辅助线．

【解答】由题意得，BE＝2 m，AC＝3 m，CD＝0.5 m.

作BG⊥AC于G，则AG＝AD－GD＝AC＋CD－BE＝1.5 m.

∵AB＝2AG，∴在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，∠BAG＝60°.

根据对称性，知∠BAF＝120°.

∴秋千所荡过的圆弧长是＝2π≈6.3(米)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)如果已知条件直接给出了半径和圆心角，弧长的计算只要直接代公式就可以解决．如果题目中没有直接给出半径和圆心角，需要结合已经学过的知识求出需要的条件．

【例2】如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，以CD为直径作半圆O，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AD＝13 cm.求图中阴影部分的面积：

【互动探索】(引发学生思考)阴影部分是一个半圆，要求阴影部分的面积，需要知道半径，怎样求出半径的长呢？

【解答】∵AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝5.

∵AC⊥CD，AC＝5，AD＝13，

∴CD＝12，OC＝6.

∴S阴影＝＝18π( cm2)，

∴阴影部分的面积为18π cm2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题求的是半圆的面积，也可以直接利用圆的面积公式进行计算．扇形的面积公式有两个，一个是利用半径和圆心角进行计算，另一个是利用弧长和半径进行计算．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．已知半径为2的扇形，面积为π，则它的圆心角的度数＝__120°__.

2．已知半径为2 cm的扇形，其弧长为π，则这个扇形的面积S扇＝__π cm2__.

3．已知半径为2的扇形，面积为π，则这个扇形的弧长＝__π__ .

4．已知扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则扇形弧长为__8__ cm.

5．已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为__336π__ .

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6π cm，的长为10π cm，又AC＝12 cm，求阴影部分ABDC的面积．

【互动探索】(引发学生思考)图中的阴影部分是圆环的一部分，要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．

【解答】设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°.

根据已知条件有

两式相除，得＝.

∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18.

∴OC＝18＋12＝30.

∴S阴影＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96π (cm)2.

所以阴影部分的面积为96π cm2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用我们所学的知识，不能直接求出阴影部分的面积，需要将它转化为两个扇形的面积之差．在求不规则图形的面积时，需要将其转化为规则图形面积的和(差)形式，从而解决问题．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！