2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）多项选择题：函数与导数

2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）

多项选择题：函数与导数

1.下列说法正确的是(   )

A.与表示同一函数

B.函数的图象与直线的交点最多有1个

C.与是同一函数

D.若，则

2.设函数的定义域为，使得成立，则称为“美丽函数”.下列所给出的函数中，是“美丽函数”的是(   )

A. B. C. D.

3.已知是定义在上的偶函数，其图象关于点对称.以下关于的结论正确的是(   )

A.是周期函数  B.满足

C.在上单调递减 D.是满足条件的一个函数

4.已知为定义在上的奇函数，当时，，且当时，.下列结论正确的是(   )

A.

B.函数在定义域上是周期为2的函数

C.直线与函数的图象有2个交点

D.函数的值域为

5.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列选项正确的是(   )

A.函数的值域为 B.的零点有4个

C.不等式的解集为 D.方程的根有4个

6.已知函数，下述结论正确的是(   )

A.为奇函数

B.若在定义域上是增函数，则

C.若的值域为，则

D.当时，若，则

7.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形沿轴滚动(无滑动滚动)，点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是(   )

A.函数是奇函数

B.对任意的，都有

C.函数的值域为

D.函数在区间上单调递增

8.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是(   )

A.  B.

C.  D.

9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是(   )

A.当时，

B.函数有3个零点

C.的解集为

D.，都有

10.已知函数有两个不同的极值点，若，则关于的方程的实根个数可能是(   )

A.2 B.3 C.4 D.5

答案以及解析

1.答案：BC

解析：对于A，由于函数的定义域为，而函数的定义域是，所以二者不是同一两数，故错误；对于B，若不是定义域内的值，则直线与的图象没有交点，若是定义域内的值，则由函数的定义可知，直线与的图象只有一个交点，故的图象与直线最多有一个交点，故正确；对于C，与的定义域、值域和对应关系均相同，所以和表示同一函数，故正确；对于D，由于，所以，故错误.综上可知，选BC.

2.答案：BCD

解析：函数的定义域为，使得成立，所以函数的值域关于原点对称.

对于选项A，函数的值域为，不关于原点对称，不符合题意；

对于选项B，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；

对于选项C，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；

对于选项D，函数的值域为，关于原点对称，符合题意.故选BCD.

3.答案：ABD

解析：因为为偶函数，所以，又的图象关于点对称，所以，故，故，即是以4为周期的周期函数，故A正确.，以代换可得，故B正确.是定义在上的偶函数，点是图象的一个对称中心，故D正确.不妨令，此时满足题意，但在上单调递增，故C错误.

4.答案：AD

解析：函数是上的奇函数，，由题意可得，当时，，，A选项正确；当时，，则，函数不是上周期为2的函数，B选项错误；当时，若为奇数，则，若为偶数，则，即当时，，当时，，若，且当时，，当时，，，当时，，则，所以函数在上的值域为，又由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，所以函数在上的值域为，D选项正确；作出在上的大致图象及直线，如图所示，

由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，当或时，函数与函数的图象没有交点，则函数与函数的图象有且只有一个交点，C选项错误.故选AD.

5.答案：ACD

解析：对于A，由于函数是偶函数，所以其图象关于轴对称，当时，，故函数的值域为，A正确；对于B，当时，由，得或.由于函数为偶函数，故还有一个零点的零点有3个，故选项B错误；对于C，当时，由，得；当时，根据偶函数图象的对称性知不等式的解集为，所以不等式的解集为，所以不等式的解集为，故C正确；作出函数的图象(图略)，易得方程的根有4个，D正确.故选ACD.

6.答案：ABD

解析：当时，；当时，.则函数为奇函数，故A正确.

若在定义域上是增函数，则，即，故B正确.

当时，在区间上单调递增，此时值域为；当时，在区间上单调递增，此时值域为.要使得的值域为，则，即，故C错误.

当时，由于，则函数在定义域上是增函数，由，得，则解得，故D正确.故选ABD.

7.答案：BCD

解析：由题意得，当时，顶点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆；当时，顶点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；当时，顶点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆；当时，顶点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，与当时，的轨迹的形状相同.因此函数在上的图象恰好为函数的一个周期的图象，所以函数的周期是8，作出在上的图象如图所示：

由图象及题意得，该函数为偶函数，故A错误；因为函数的周期为8，所以，所以，故B正确；由图象可得，该函数的值域为，故C正确；因为该函数是以8为周期的函数，所以函数在区间上的图象与在区间上的图象相同，所以在上单调递增，故D正确.故选BCD.

8.答案：BC

解析：对于选项A，因为，所以无解，所以该函数不是“不动点”函数；对于选项B，令，得，因为，所以方程有两个不等的实数根，所以该函数为“不动点”函数；对于选项C，当时，令，得或，从而该函数为“不动点”函数；对于选项D，令，得，无解，因而该函数不是“不动点”函数.故选BC.

9.答案：BCD

解析：对于A，当时，，所以，又是定义在上的奇函数，故，因此A不正确.对于B，易知函数有3个零点，为，因此B正确.对于C，等价于或解得或，故C正确.

对于D，当时，，令，得，则在上单调递增，令，得，则在上单调递减.则在上，的值域为.同理可知在上的值域为，故的值域为，故，都有.因此D是正确的.

10.答案：ABC

解析：由题意，得，因为是函数的两个极值点，所以是方程的两个实数根，所以由，可得或.由题意知函数在上单调递减，在上单调递增，依题意作出的大致图象，如图所示，由，并结合图象可知，方程的实根个数可能为2，3，4.