甘肃省张掖市第二中学2022届高三上学期10月月考数学（理）试题 含答案

张掖二高2021—2022学年度第一学期月考试卷（10月）

高三数学（理科）

一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．己知，则（    ）

A． B． C． D．

3．联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在中国昆明举行．为了让广大市民深入了解COP15，展现春城昆明的城市形象，2021年6月5日全国30个城市联动举行了“2021COP15春城之邀——一粒来自昆明的种子”活动，活动特别准备了2万份“神秘”花种盲盒，其中有一种花种的花卉，其植株高度的一个随机样本的频率分布直方图如图所示，根据这个样本的频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ）

A．这种花卉的植株高度超过的估计占25%

B．这种花卉的植株高度低于的估计占5%

C．这种花卉的植株高度的平均数估计超过

D．这种花卉的植株高度的中位数估计不超过

4. 若，则（    ）

A. 或 B.  C. 或 D.

5．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为　　

A．，， B．，， 

C．， D．

6．若向量，满足，，，则，　　

A． B． C． D．

7．设，，，则、、的大小关系是　　

A． B． C． D．

8. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有个人分个橘子，他们分得的橘子数成公差为的等差数列，问人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. (原创)在区间(0,2)与(2,4)中各随机取一个数，则这两个数之和大于的概率为（   ）

A.  B.  C.  D.

10. 如图为函数的部分图象，将其向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则可以表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方

形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以活《冷庐杂识》卷中写道:近

又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，

盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．下图是一个用七巧板拼成的

正方形，若四边形的面积为7，则（    ）

A. -4 B.           C. -2       D.

12. 设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，．若在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．函数是定义在上的奇函数，当时，，则　    　．

14. 已知圆C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线y＝a(x－3)被圆C截得的弦最短时，直线方程为________．

15.（原创） 若等比数列的各项均为正数，且，则__________．

16、已知椭圆的上顶点为，直线与该椭圆交于两点，且点恰为

的垂心，则直线的方程为______ .

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知四边形内接于圆，，，．

（1）求证：的三边长度可以构成一个等差数列；

（2）求的面积．

18. “碳达峰”“碳中和”成为今年全国两会热词，被首次写入政府工作报告.碳达峰就是二氧化碳排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；碳中和是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林､节能减排等方式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.2020年9月，中国向世界宣布了2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和的目标.某城市计划通过绿色能源(光伏､风电､核能)替代煤电能源，智慧交通，大力发展新能源汽车以及植树造林置换大气中的二氧化碳实现碳中和.该城市某研究机构统计了若干汽车5年内所行驶的里程数(万千米)的频率分布直方图，如图.

（1）求a的值及汽车5年内所行驶里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

（2）据“碳中和罗盘”显示：一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收.根据频率分布直方图，该城市每一辆汽车平均需要多少棵树才能够达到“碳中和”？

（3）该城市为了减少碳排量，计划大力推动新能源汽车，关于车主购买汽车时是否考虑对大气污染的因素，对300名车主进行了调查，这些车主中新能源汽车车主占，且这些车主在购车时考虑大气污染因素的占，燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的占.根据以上统计情况，补全下面列联表，并回答是否有的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.

附：，其中.

19．在四棱锥中，，，，，，，.

（1）证明：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

20．已知椭圆的焦距为，且过点．

（1）求的标准方程；

（2）过的右焦点的直线与交于，两点，上一点满足，求．

21. 已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若有且仅有一个零点，求的取值范围．

请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知射线分别交曲线，于两点，若是线段的中点，求的值.

23．已知f（x）＝|x﹣1|﹣a|x+1|．

（1）若a＝1，解不等式f（x）≤1；

（2）若不等式f（x）≤1无解，求实数a的取值范围．

张掖二高2021—2022学年度第一学期月考试卷（10月）

高三数学（理科）答案

1. A    2．C   3．D  4. A

5．．

6．B

7．C

8. B9. B10. D11.【答案】C

12. A

13．

14.

15.25

16.【答案】

【解】上顶点，右焦点F为垂心

因为＝﹣1，且FM⊥l，所以k1＝1，所以设PQ直线y＝x+m，

且设P（x1，y1），Q（x2，y2）由消y，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0

△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，m2＜3．

y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2．

又F为△MPQ的垂心，∴PF⊥MQ，∴又∴∴，∴   经检验满足m2＜3

∴存在满足条件直线l方程为：x﹣y+1＝0，3x﹣3y﹣4＝0∵x﹣y+1＝0过M点 即MP重合 不构成三角形，∴3x﹣3y﹣4＝0满足题意．故答案为

17. 【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】（1）连接，

，，

在中，由余弦定理得：，

，的三边长度可以构成一个等差数列；

（2）在中，由余弦定理得：，

即，解得：（舍）或

的面积

18. 【答案】（1），平均值(万千米)；（2）棵；（3）列联表答案见解析，没有的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.

【详解】（1）由，解得.

设为汽车5年内所行驶里程的平均值，则

(万千米).

（2）由（1）可知，一辆汽车1年内所行驶里程的平均值为(万千米).

因为一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收，

所以每一辆汽车平均需要(棵)树才能够达到“碳中和”.

（3）补全的列联表如下：

所以.

因为，

所以没有的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解】（1）由，，得，

所以，即，

又，

则有AC⊥平面PBD，又平面，所以，

又，

所以平面．

（2）如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立

空间直角坐标系，设DP＝h，

则，，，，，

，，

设平面PBC的法向量为 (x，y，z)，

，－，

取y＝h，则x＝h，z＝2，所以，

而平面PBD的一个法向量为＝(－，2，0)，

 ＝＝，解得，

，

易知AD⊥平面PCD，所以＝(，0，0)是平面PCD的一个法向量，

设直线PB与平面PCD所成的角为θ，

则，

故直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为．      

20．【答案】（1）；（2）.

【解】（1）法1：设焦距为，则，

设椭圆左右焦点为、，则，，

则，解得，

所以椭圆的标准方程为．

法2：（1）设焦距为为，则，

点在椭圆上，有，

解得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由得，

①当直线：时，，，舍去；

②设直线：，直线，设，，

联立，

得：，，

由韦达定理得：，，

，

联立，解得，

得到，

依题意得，解得：，

所以．

21. 【答案】（1）单调递增区间为和；单调递减区间为；（2）．

【详解】（1）当时，，定义域为，

求导．

令，得，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，的单调递增区间为和；单调递减区间为．

（2），

令，，

易知，即有一个零点0，

要使只有一个零点，只需要没有零点或只有唯一零点0．

①若，则无零点，符合题意；

②若，，则在上单调递增，

，，

则在区间有且只有一个零点，不符合题意：

③若，则在上单调递减，在单调递增，

，

若没有零点，只需要，解得；

若有零点0，由，则，此时，

，在上单调递减，在单调递增，

，，

则在区间有且只有一个零点，不符合题意．

综上，有且仅有一个零点时，．

22．（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）.

（1）因为曲线的普通方程为，

所以曲线的极坐标方程为(写成也给分).

因为曲线的普通方程为，即，

所以曲线的极坐标方程为，即.

（2）设，，则，，

因为是线段的中点，所以，

即，整理得，所以，

因为，所以，所以，所以.

23．解：（1）当a＝1时，f（x）≤1，即|x﹣1|﹣|x+1|≤1，

①当x＜﹣1时，则1﹣x+x+1≤1，∴x∈∅，

②当﹣1≤x≤1时，则1﹣x﹣x﹣1≤1，∴﹣≤x≤1，

③当x＞1时，则x﹣1﹣x﹣1≤1，∴x＞1，

∴不等式的解集为[﹣，+∞）．

（2）由题意得f（x）＝

①当a≤﹣1时，f（x）min＝f（﹣1）＝2＞1，∴不等式无解成立，

②当﹣1＜a＜1时，f（x）min＝f（1）＝﹣2a，要使不等式无解，﹣2a＞1，∴﹣1＜a＜﹣，

③当a≥1时，f（0）＝1﹣a≤0，∴不等式一定有解，

综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣）．