一轮复习专题6.1 等差数列（原卷版）教案

6.1等差数列

一、必备知识：

1. 等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的__________等于同一个___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的___________，

通常用字母d表示，即___________＝d(n∈N＋，且n≥2)或___________＝d(n∈N＋)．

2．等差中项

三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的____________．

3．等差数列的通项公式

若{an}是等差数列，则其通项公式an＝___________.

①{an}成等差数列⇔an＝pn＋q，其中p＝______，q＝_______，点(n，an)是直线________上一群孤立的点．

②单调性：d＞0时，{an}为___________数列；d＜0时，{an}为___________数列；d＝0时，{an}为___________．

4．等差数列的前n项和公式

(1)等差数列前n项和公式Sn＝___________＝___________.其推导方法是___________．

(2){an}成等差数列，求Sn的最值：

若a1＞0，d＜0，且满足时，Sn最大；

若a1＜0，d＞0，且满足时，Sn最小；

或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．

5．等差数列的判定方法

(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；

(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；

(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．

6．等差数列的性质

(1)am－an＝___________d，即d＝.

(2)在等差数列中，

若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋____；

若2m＝p＋q，则有___am＝ap＋aq(p，q，m，n∈N*)．

但要注意：在等差数列an＝kn＋b中，若m＝p＋q，易证得am＝ap＋aq成立的充要条件是b＝0，

故对一般等差数列而言，若m＝p＋q，则am＝ap＋aq并不一定成立．

(3)若{an}，{bn}均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列{pan}，{an＋q}，{an±bn}也为___________数列，且公差分别为___________，___________，___________.

(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an＋m，an＋2m，…为等差数列，公差为md.

(5)等差数列的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…为等差数列，公差为n2d.

(6)若等差数列的项数为2n，则有S偶－S奇＝nd，＝.

自查自纠：

1．差　常数　公差　an－an－1　an＋1－an

2．等差中项

3．a1＋(n－1)d　①d　a1－d　y＝dx＋(a1－d)　②单调递增　单调递减　常数列

4．(1)　na1＋　倒序相加法　(2)≥0　≤0　≤0　≥0

6．(1)(m－n)　(2)an　2　(3)等差　pd1　d1　d1±d2

二、考点探究：

题组一：

1．已知等差数列中，，则的值是（     ）

A．15          B．30          C．31           D．64

2．在等差数列｛an｝中，，则此数列前30项和等于（    ）

A、810      B、840      C、870         D、900

3．在等差数列中，若，则的值为（    ）

A．     B．       C．    D．

4．等差数列的前n项和为，若（        ）

A．        B．          C．        D．

5．在等差数列{an}中，若S9=18，Sn=240，=30，则n的值为（   ）

A．14       B．15          C．16         D．17

题组二：

6．在等差数列中，已知，则=（  ）

A．10           B．18              C．20              D．28

7．在等差数列中，若，则的值为（   ）

A．        B．        C．       D．

8．已知为等差数列，且有，则=（   ）

（A）28           （B）24               （C）20          （D）16

9．设等差数列的前项之和为，已知，则（    ）

A．12            B．20          C．40          D．100

10．在等差数列中，=24，则此数列的前13项之和等于（   ）

A．13             B．26         C．52         D．156

11．等差数列中，，则   （    ）

A.10      B.20       C.40      D.

题组三：

12．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（   ）

A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤

13．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（  ）

A．升 B．升 C． 升 D．升

14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（    ）

A． B． C． D．

15．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（　　）

A．2盏 B．3盏 C．26盏 D．27盏

三、巩固练习：

1．在等差数列中，，则（   ）

A．12           B．14          C．16           D．18

2．已知等差数列满足，则下列选项错误的是(      )

A．     B．       C．       D．

3．已知数列为等差数列，且，，则 （    ）

A．45        B．43        C．40       D．42 

4．已知数列为等差数列，是它的前项和．若，，则（   ）

A．10         B．16         C．20         D．24

5．在等差数列中，已知则等于         

A．15                  B．33           C．51              D．63

6．在等差数列｛an｝中，设公差为d，若S10＝4S5，则等于（     ）

A．       B．2        C．        D．4

7．等差数列{an}中，已知（       ）

A．48      B．49      C．50      D．51

8．在等差数列中，等于（     ）

A．5          B．10         C．15           D．20

9．在等差数列中，，则等于    

A．             B．            C．          D．

10．等差数列中，=3，=7，则=（   ）

A．9           B．10           C．11             D．12

11．设{} 是公差为正数的等差数列，若，且，则等于（  ）

A．120           B．105           C．90           D．75

12．等差数列中，和是关于方程的两根，则该数列的前11项和=（    ）．

A、58           B、88         C、143            D、176

13．设等差数列的前项和为，已知，则（   ）．

A．              B．             C．          D．

14．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10等（   ）

A．45     B．75     C．50     D．60

15．等差数列的前项和，若，，则等于 （   ）

A．152        B．154          C．156        D．158

16．在等差数列中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前项之和是100，则项数为（ ）

A．9             B．10             C．11          D．12

17．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（   ）

A． B． C． D．

18．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”。其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中第3天共分发大米（    ）

A．192升 B．213升 C．234升 D．255升

19．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（  ）

A．岁 B．岁 C．岁 D．岁

20．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日所织之和为七尺，则第十日所织尺数为（   ）

A． B． C． D．

21．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等。问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。这个问题中，戊所得为（   ）

A． 钱 B．钱 C． 钱 D． 钱

22．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（    ）

A．升 B．升 C．升 D．升

23．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（  ）

A．134 B．135 C．136 D．137

24．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（    ）

A． B． C． D．

25．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将到这个整数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（　　）

A． B． C． D．

四、强化培优：

1．等差数列和的前项的和分别为和，对一切自然数都有，则   （   ）

A．        B．       C．       D．

2．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An 、Bn，且满足，则的值为（ ）

A．             B．            C．           D．

3．已知两个等差数列和的前项和分别为和,且,则当为正偶数时,的值可能是（    ）

 A．6      B．5      C．4      D．3

4．已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（   ）

A．2      B．3      C．4      D．5

5．设数列是等差数列，是的前项和，且，则下列结论错误的是（   ）                                         

A．        B．     C．均为的最小值      D．

6．等差数列中，已知，，则使得的最大正整数为（    ）

A．          B．          C．          D．6

7．等差数列中，，若其前项和为，且有，那么当取最大值时，的值为（  ）

（A）8   （B）9     （C）10     （D）11

8．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（     ）

A．      B．      C．      D．

9．已知等差数列的前n项和为，若则此数列中绝对值最小的项为（   ）

A．第5项        B．第6项        C．第7项       D．第8项

10．在等差数列中，，且前10项和，则的最大值是（   ）.

A． 3               B． 6            C． 9           D． 36

11．各项均为正数的等差数列中，，则前12项和的最小值为（    ）

（A）  （B）  （C）  （D）

12．在等差数列中， ，则使前项和成立的最大自然数n的值为（    ）

A．      B．       C．        D．

13．已知等差数列的等差，且 成等比数列，若，为数列的前 项和，则 的最小值为（    ）

A．          B．         C．         D．