2022年中考数学一轮复习第26讲《关于圆的计算》讲学案

中考数学一轮复习第26讲《关于圆的计算》

【考点解析】

知识点一   弧长、扇形的面积

【例题1】（吉林长春）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则的长为（　　）

A．π B．π C． D．

【考点】弧长的计算；切线的性质．

【专题】计算题；与圆有关的计算．

【分析】由PA与PB为圆的两条切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形内角和定理求出∠AOB的度数，利用弧长公式求出的长即可．

【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，

∴∠OBP=∠OAP=90°，

在四边形APBO中，∠P=60°，

∴∠AOB=120°，

∵OA=2，

∴的长l==π，

故选C

【点评】此题考查了弧长的计算，以及切线的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．

【例题2】 （四川广安）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（　　）

A．2π B．π C．π D．π

【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．

【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．

【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CE=ED=2，

又∵∠BCD=30°，

∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，

∴OE=DE•cot60°=2×=2，OD=2OE=4，

∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE•CE=﹣2+2=．

故选B．

【变式】

1.（广东深圳）如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为时，则阴影部分的面积为（    ）

   A.    B.    C.    D.

答案：A

考点：扇形面积、三角形面积的计算。

解析：∵C为的中点，CD=

2．（.山东青岛）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（　　）

A．175πcm2 B．350πcm2 C．πcm2 D．150πcm2

【考点】扇形面积的计算．

【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．

【解答】解：∵AB=25，BD=15，

∴AD=10，

∴S贴纸=﹣

=175πcm2，

故选A．

知识点二   圆锥的侧面积和全面积

【例题】（广西贺州）已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为（　　）

A．2         B．4          C．6               D．8

【考点】圆锥的计算．

【分析】根据圆锥侧面展开图的圆心角与半径（即圆锥的母线的长度）求得的弧长，就是圆锥的底面的周长，然后根据圆的周长公式l=2πr解出r的值即可．

【解答】解：设圆锥的底面半径为r．

圆锥的侧面展开扇形的半径为12，

∵它的侧面展开图的圆心角是120°，

∴弧长==8π，

即圆锥底面的周长是8π，

∴8π=2πr，解得，r=4，

∴底面圆的直径为8．

故选D．

【点评】本题考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

【变式】

（年浙江省宁波市）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（　　）

A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2

【考点】圆锥的计算．

【专题】与圆有关的计算．

【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．

【解答】解：∵h=8，r=6，

可设圆锥母线长为l，

由勾股定理，l==10，

圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，

所以圆锥的侧面积为60πcm2．

故选：C．

【点评】本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．

知识点三   阴影部分的面积

【例题】（黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为　75﹣　．

【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；切线的性质．

【分析】设圆的半径为x，根据勾股定理求出x，根据扇形的面积公式、阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）进行计算即可．

【解答】解：设圆弧的圆心为O，与AD切于E，

连接OE交BC于F，连接OB、OC，

设圆的半径为x，则OF=x﹣5，

由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，

即x2=（x﹣5）2+（5）2，

解得，x=5，

则∠BOF=60°，∠BOC=120°，

则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）

=10×5﹣+×10×5

=75﹣，

故答案为：75﹣．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式S=是解题的关键．

【变式】

（四川乐山·3分）如图8，在中，，,以点为圆心，的长为半径画弧，与边交于点,将 绕点旋转后点与点恰好重合，则图中阴影部分的面积为___▲__.

答案：

解析：依题意，有AD＝BD，又，所以，有

CB＝CD＝BD，即三角形BCD为等边三角形

∠BCD＝∠B＝60°，∠A＝∠ACD＝30°，

由，求得：BC＝2，AB＝4，

＝，

阴影部分面积为：＝＝

【典例解析】

【例题1】（.山东省泰安市，3分）如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为（　　）                                         

A．90° B．120° C．135° D．150°

【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．

【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，   

∴圆锥的底面周长为6π，   

∵圆锥的高是6，   

∴圆锥的母线长为=9，   

设扇形的圆心角为n°，   

∴=6π，   

解得n=120．   

答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．   

故选B．   

【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．             

【例题2】

（年浙江省宁波市）如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为　　．

【考点】扇形面积的计算．

【分析】由CD∥AB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD=S△OCD，进而得出S阴影=S扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：∵弦CD∥AB，

∴S△ACD=S△OCD，

∴S阴影=S扇形COD=•π•=×π×=．

故答案为：．

【点评】本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影=S扇形COD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键．

【例题3】

1．（2013江西，21，9分）如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．

   （1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）

   （2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）

   （参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科学计算器）

【思路分析】将实际问题转化为数学问题，（1）AB旋转的最大角度为180°；在△OAB中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠OAB=120°想到作AB边上的高，得到一个含60°角的Rt△OAE和一个非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜边OA=10，可求出OE、AE的长，进而求得Rt△OEB中EB的长，再由勾股定理求出斜边OB的长；（2）雨刮杆AB扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB、OA为半径的半圆面积之差）.

[解]（1）雨刮杆AB旋转的最大解度为180°．

连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于EH噗，

∵∠OAB=120°，

∴∠OAE=60°

在Rt△OAE中，

∵∠OAE=60°，OA=10，

∴sin∠OAE==，

∴OE=5，

∴AE=5

∴EB=AE+AB=53，

在Rt△OEB中，

∵OE=5，EB=53，

∴OB===2≈53.70；

（2）∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称，

∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△DCO，（直接证明全等得到面积相等的也给相应的分值）

∴雨刮杆AB扫过的最大面积S=π(OB2－OA2) =1392π

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中，已知两边或一边一角都可求出其余的量. 难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意.

【中考热点】

【热点1】

（山东烟台）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为　π　cm2．

【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．

【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．

【解答】解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，

∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，

∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，

∴∠B′OB=120°，

∵AB=2cm，

∴OB=1cm，OC′=，

∴B′C′=，

∴S扇形B′OB==π，

S扇形C′OC==，

∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC=S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π﹣=π；

故答案为：π．

【热点2】

（四川巴中）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为　18　．

【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．

【分析】由正六边形的性质得出的长=12，由扇形的面积=弧长×半径，即可得出结果．

【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为3，

∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，

∴的长=3×6﹣3﹣3═12，

∴扇形AFB（阴影部分）的面积=×12×3=18．

故答案为：18．

【热点3】

（湖北宜昌，21，8分）如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连接AC、AD、OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长线于E．

（1）求证：DA平分∠CDO；

（2）若AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π=3.1， =1.4， =1.7）．

【考点】切线的性质；弧长的计算．

【分析】（1）只要证明∠CDA=∠DAO，∠DAO=∠ADO即可．

（2）首先证明==，再证明∠DOB=60°得△BOD是等边三角形，由此即可解决问题．

【解答】证明：（1）∵CD∥AB，

∴∠CDA=∠BAD，

又∵OA=OD，

∴∠ADO=∠BAD，

∴∠ADO=∠CDA，

∴DA平分∠CDO．

（2）如图，连接BD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

又∵CD∥AB，

∴∠CDA=∠BAD，

∴∠CDA=∠BAD=∠CAD，

∴==，

又∵∠AOB=180°，

∴∠DOB=60°，

∵OD=OB，

∴△DOB是等边三角形，

∴BD=OB=AB=6，

∵=，

∴AC=BD=6，

∵BE切⊙O于B，

∴BE⊥AB，

∴∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=30°，

∵CD∥AB，

∴BE⊥CE，

∴DE=BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6×=3，

∴的长==2π，

∴图中阴影部分周长之和为2=4π+9+3=4×3.1+9+3×1.7=26.5．

【点评】本题考查切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．