考点06 导数的概念及运算、定积分-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题学案

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考点06 导数的概念及运算、定积分

1．（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
2．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.
【详解】
（1）抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

（1） 再求切线方程时，要注意“过某点的切线”与“在某点处的切线”是不一样的。
（2） “给定被积函数，求其定积分”的解决步骤：
求出被积函数的原函数。
利用微积分基本定理将定积分转化为其原函数求值。
带入积分上下限，求值。

1．导数的概念
(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，
相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝

4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．


1．（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（理））设曲线在点处的切线与直线平行，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·安徽省舒城中学高三三模（理））若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（理））抛物线的焦点为F，准线为l，斜率为2的直线m与抛物线C切于一点A，与准线l交于点B，则的面积为（ ）
A．15 B．
C． D．

5．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知函数的图象在点处的切线与直线x+3y-1=0垂直.执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为20，则判断框中t的值可以为（ ）

A． B． C． D．
6．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））已知函数，给出以下四个结论：
①函数的图象关于直线对；②函数图象在处的切线与轴垂直；
③函数在区间上单调递增；④为奇函数，且既无最大值，也无最小值.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．① B．②③ C．②④ D．②③④
7．（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））关于函数，下列判断错误的是（ ）
A．函数的图象在处的切线方程为
B．是函数的一个极值点
C．当时，
D．当时，不等式的解集为
8．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·甘肃高三二模（理））已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（ ）
A．0 B．-1 C．3 D．-1或3
10．（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（理））等差数列，为其前项和，，，记数列的前项和为，则（ ）
A．-11 B．-9 C．-13 D．-7
11．（2021·全国高三专题练习（理））由抛物线与直线及y=0所围成图形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·全国高三专题练习（理））已知，则中的系数为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·贵州六盘水市·高三一模（理））在数学中，若干有关联的曲线经过叠加或组合可以形成一些形状优美、寓意美好的曲线，如图的“心形”曲线恰好就是曲线和曲线组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于（ ）

A． B． C． D．
14．（2020·全国高三其他模拟（理））由不等式组确定的平面区域记为，在内任取一点，则函数没有零点的概率为（ ）
A． B． C． D．

15．（2014·江西高考真题（理））若 ,则
A． B． C． D．
16．（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
17．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
18．（2015·陕西高考真题（理））如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_____．

19．（2015·湖南高考真题（理））________.
20．（2020·全国高考真题（理））设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．


1．B
【分析】
利用导数求出曲线 在点处的切线的斜率，利用两直线平行可得出实数的值.
【详解】
对函数求导得，
由已知条件可得，所以，.
故选：B.
2．D
【分析】
利用导数的几何意义可知，可求得；根据为两曲线公共点可构造方程求得，代入可得结果.
【详解】
，，，，，
又为与公共点，，，解得：，
.
故选：D.
3．A
【分析】
设函数图象上切点为，求出函数的导函数，根据求出切点坐标与切线方程，设函数的图象上的切点为，根据，得到，再由，即可求出，从而得解；
【详解】
解：设函数图象上切点为，因为，所以，得， 所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为，因为，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．
故选：A
4．C
【分析】
结合导数求得切线方程，进而求得点坐标，从而求得三角形的面积.
【详解】
设切点，则，，，可求切线为，
则由得，切线与轴的交点为，故.
故选：C


5．B
【分析】
先求出，，再求出，即得解.
【详解】
，则y=f(x)的图象在点(1，f（1）)处的切线的斜率，
由于切线与直线x+3y-1=0垂直，则有-1，则a=-1，
所以，
所以，
所以S=，
由于输出的n的值为20，故总共循环了20次，
此时，
故t的值可以为.
故选：B
6．D
【分析】
利用导数及三角形函数的性质一一判断即可；
【详解】
解：因为，所以，所以，故函数的图象不关于直线对，故①错误；
，，，切线的斜率为，即切线与轴垂直，故②正确；

当，，，所以，即函数在区间上单调递增，故③正确；
因为，所以定义域为，，所以为奇函数，取时，因为，，当时，，，所以，当时，，，所以，故既无最大值，也无最小值，即④正确；
故选：D
7．B
【分析】
利用导数的几何意义可判断A选项的正误；利用导数与极值的关系可判断B选项的正误，利用导数与函数最值的关系可判断C选项的正误；利用导数研究函数的单调性，由此解不等式，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，则，所以，，，
所以，函数的图象在处的切线方程为，即，A选项正确；
对于B选项，当时，对任意的，，
此时函数在上单调递增，无极值，B选项错误；
对于C选项，当时，，该函数的定义域为，
.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增.
所以，，C选项正确；
对于D选项，当时，，则对任意的恒成立，
所以，函数为上的增函数，
由可得，所以，，
解得，D选项正确.
故选：B.
【点睛】
思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.
8．C
【分析】
由已知可知曲线在点处的切线与直线平行，利用导数求出点的坐标，利用点到直线的距离公式可求得结果.
【详解】
因为点是曲线任意一点，所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的的距离最小，
因为直线的斜率等于，曲线的导数，
令，可得或（舍去），所以在曲线与直线平行的切线经过的切点坐标为，
所以点到直线的最小距离为.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查曲线上的点到直线距离的最小值的求解，解题的关键在于分析出曲线在点处的切线与直线平行，进而利用导数求解.
9．D
【分析】
先求得过且于相切的切线方程，然后与联立，由求解.
【详解】
设直线与相切的切点为，
由的导数为，
可得切线的斜率为，
则切线的方程为，
将代入切线的方程可得，
解得，则切线的方程为，
联立，可得，
由，解得或3，
故选：D.
【点睛】
关键点睛：求切线方程问题的关键一是设切点并求出切线的斜率，二是直线与抛物线相切可以通过联立再运用判别式.
10．A
【分析】
首先根据题设条件求得等差数列的通项公式，再根据分组求和法求得数列的前项和为，在求解过程中需要分奇数和偶数进行讨论，最后求即可.
【详解】
因为，又，
解得，则，
因为数列是等差数列，故，
所以，
故：，
当为奇数时，；
当为偶数时，；
所以，
故选：A.
【点睛】
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
11．C
【分析】
根据曲线画出图象，再根据定积分的几何意义求解图形面积即可.
【详解】
由题意，所围成平面图形如图所示，

由得或(舍去)，
所以抛物线与直线的交点坐标为(2,4)，
方法一：(选y为积分变量)
.
方法二：(选x为积分变量)
.
故选：C.
【点睛】
(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；
(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.
12．C
【分析】
先计算积分得到m=1，利用二项式展开式对的构成进行分类，求出的系数.
【详解】
，
则，
的通项公式，
则两个通项公式为，当时，
，当时，
则的系数为.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：
在与二项式定理有关的问题中，主要表现为一项式和三项式转化为二项式来求解；若干个二项式积的某项系数问题转化为乘法分配律问题.
13．B
【分析】
曲线与轴围成的区域为两个半径均为1的半圆面（圆心分别为、，其面积为.求曲线与轴围成的区域的面积有两种方法.
【详解】
解法一：设，线段的中点为，
因为曲线关于点对称，
所以可将曲线与轴、
轴围成的区域割补为直角三角形的区域，
于是曲线与轴、
轴围成的区域的面积就是直角三角形的面积，
即；根据对称性，
可得曲线与轴围成的区域的面积为.
解法二：曲线与轴围成的区域的面积为：
.
由此，曲线所围成的“心形”区域的面积等于.

故选:B.
【点睛】
关键点睛：解法一的关键是割补思想的运用，解法二运用了定积分的办法，这是解决不能直接运用公式的一般性方法.
14．D
【分析】
先求出平面区域，确定函数没有零点的条件，用微积分基本定理求得条件区域面积，然后由几何概型概率公式计算．
【详解】
由题可知∵没有零点，∴，即．作出不等式组表示的平面区域，如图中矩形所示，作出曲线，则所求概率等价于在矩形中任取一点，点落在阴影部分的概率．

∵，∴所求概率为．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题考查几何概型，解题关键是确定函数有零点的条件，并用微积分基本定理求得区域面积．

15．B
【详解】
试题分析：设，故选B．
考点：定积分．

16．D
【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
【点睛】
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
17．D
【分析】
根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
18．
【解析】
试题解析：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：，因为抛物线经过，可得，
所以抛物线方程：，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：
，等腰梯形的面积为：，当前最大流量的横截面的面积，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：．

考点：直线与圆锥曲线的关系．

19．.
【详解】
试题分析：.
考点：定积分的计算.
【名师点睛】
本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.
20．（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；
（2）由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可.
【详解】
（1）因为，
由题意，，即
则；
（2）由（1）可得，
，
令，得或；令，得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
且，
若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，
即或.
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上，所有零点的绝对值都不大于1.
【点晴】
本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.