专题03基本不等式-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型（解析版）学案

专题03基本不等式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

一、关键能力

探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单最大(小)值问题，利用不等式求最值的方法较多，要理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择合适大的运算方法，设计合理运算程序，并对条件问题中的代数式合理变形求得运算结果，培养学生的数学运算能力．

二、教学建议

基本不等式是解决问题的基本工具。强化推理证明和不等式的应用意识．从新高考的命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．

三、自主先学

1．基本不等式：

(1)基本不等式成立的条件：．

(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数的几何平均数．

若时, ,当且仅当时等号成

2．几个重要的不等式

(1)重要不等式：．当且仅当时取等号．

(2，当且仅当时取等号．

(3，当且仅当时取等号．

3．利用基本不等式求最值

已知，则

(1)如果积是定值，那么当且仅当时， 有最小值是 (简记：积定和最小)．

(2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是 (简记：和定积最大)．

四、高频考点+重点题型

考点一、基本不等式求最值（消元法）

1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知，，则的（    ）

A．最大值是 B．最大值是

C．最小值是 D．最小值是

【答案】B

【详解】

因为，所以，

所以，等号成立当且仅当.

故选：B.

2．（2021·浙江宁波市·高三二模）已知正数，满足，当______时，取到最大值为______．

【答案】       

【详解】

,当且仅当时取等号，

∴当且仅当时，取到最大值，

故答案为：；.

3.设为正实数，满足，则的最小值是          

答案：3

解析：消

考点二、基本不等式求最值（“1”的活用）

1．（2021·重庆高三其他模拟）已知，，，则的最小值为（    ）

A．9 B．5 C． D．

【答案】C

【详解】

，所以.

2．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学高三其他模拟）已知正实数，满足，则的最小值是（    ）

A．25 B．18 C．16 D．8

【答案】C

【详解】

，则，

所以，当且仅当，即时等号成立．

故选：C．

3．（多选）（2021·福建三明市·高三三模）已知，，且，则可能取的值有（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】BCD

解：因为，，且，

所以

，当且仅当，即取等号，

故选：BCD

4．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知正数a，b满足，则的最小值是___________.

【答案】3

解：因为正数a，b满足，

则，

当且仅当且即时取等号，

此时的最小值3.

故答案为：3.

5．（2021·上海嘉定区·高三二模）已知正数满足，则的最小值为___________．

【答案】

【详解】

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

故答案为：.

6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，，且，则的最小值为___________.

【答案】

【详解】

，，且，

当且仅当，且，

即，时取等号，

的最小值为.

故答案为:.

考点三、基本不等式求最值（配凑积、和）

1．（多选）（2021·全国高三其他模拟）若x＞1，y＞2，且满足xy﹣2x＝y，则的值可以为（　　）

A． B．3 C．4 D．

【答案】CD

【详解】

由xy﹣2x＝y，知，

则

当且仅当，时，等号成立，

从选项可知，CD满足条件，

故选：CD

2．（2021·宁波中学高三其他模拟）若实数、满足，则的最小值为___________.

【答案】

【详解】

，即，

则

，

当且仅当、时等号成立，

故的最小值为，

故答案为：.

3．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知正实数满足，则的最小值是________．

【答案】

【详解】

由已知得，，则，，

因为，所以，，

因此，

当且仅当，即，即时，等号成立；

所以的最小值是.

故答案为：.

4．（2021·天津高三二模）已知，且，则的最小值是___________.

【答案】4

【详解】

解：，

，又

（当且仅当时等号成立）.

的最小值为4.

故答案为：4.

考点四、多次使用基本不等式

1．（2021·天津高考真题）若，则的最小值为____________．

【答案】

【详解】

，

，

当且仅当且，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

2．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）已知都为正实数，则的最小值为___________．

【答案】

【详解】

，因为都为正实数，，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当，即时等号成立，综上所述，当时，取最小值为.

故答案为：

3．（2021·天津和平区·耀华中学高三二模）设，那么的最小值是___________.

【答案】8

【详解】因为，则.

所以，当且仅当，即时等号成立.

所以，当且仅当时等号成立.

故当时，有最小值8.

故答案为：8.

4．（2021·全国高三其他模拟）已知，则的最小值为__________．

【答案】

【详解】

因为，所以，，

当且仅当 即，时等号成立，

故答案为：

考点五、基本不等式功能：创建不等关系

1．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知正实数，满足，则的最大值等于______．

【答案】1

【详解】

正实数，满足，即，

∴（当且仅当时，取等号），

∴，即，

则的最大值等于1，

故答案为：1．

2.已知，则的取值范围是            

答案：

解析：变

3.已知实数满足，则的最大值为         

答案：4

解析：移项，平方，变

4.已知，则的取值范围是       

答案：

解析：利用与不等关系，创建的不等式

考点六、比较式的大小

1．（多选）（2021·全国高三其他模拟）已知，，，且，则下列判断正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C． D．

【答案】BCD

【详解】

对于A，当时不成立；

对于B，由得，所以，故B正确；

对于C，，当且仅当，即，时等号成立，

故C正确；

对于D，因为，所以，所以，

故D正确．

故选：BCD．

2．（多选）（2021·全国高三二模）已知正数，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【详解】

因为正数，满足，所以，且，，

所以，对于A选项，又可得，

所以，即，故B正确；当时，

，故C错误；因为，所以，

所以，故D正确，所以选ABD.

3．（多选）（2021·江苏南通市·高三其他模拟）若非负实数、满足，则下列不等式中成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【详解】

对于A选项，利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；

对于B选项，，

所以，，当且仅当时，等号成立，B选项正确；

对于C选项，，即，

当且仅当时，等号成立，C选项错误；

对于D选项，，由可得，

所以，，

当且仅当时，等号成立，D选项正确.

故选：ABD.

4．（多选）（2021·江苏南通市·高三一模）已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【详解】

对于A，因为，所以，

从而，正确.

对于B，因为，所以，解得，

所以，正确.

对于C，令()，，在为增函数，

所以在上单调递增，从而，即，错误.

对于D，因为，所以，正确.

故选：ABD

5．（多选）（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知，，且，则（    ）

A． B． C．    D．

【答案】ACD

【详解】对A，由，，且可得，

则，

，，又，，即，故A正确；

对B，令，则，故B错误；

对C，，当且仅当时等号成立，故C正确；

对D，，当且仅当，即时等号成立，故D正确.

故选：ACD.

6．（多选）（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高三其他模拟）已知，且，则下列不等式正确的（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【详解】因为，

，当且仅当时等号成立，所以，A正确；

由得，，同理，

，当且仅当，即时等号成立，B正确；

满足题意，但，C错；

由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以．D正确．

故选：ABD

达标测试

一、单项选择题

1．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)

A．(－2,0)  B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C．(－2,1)  D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)

答案：C

解析：根据题意，由于不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x2＋x<min，因为＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－2<x<1，所以x的取值范围是(－2,1)．

2．已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y,2)，其中x>0，y>0.若a⊥b，则xy的最大值为(　　)

A．  B．

C．1  D．2

答案：B

解析：因为a＝(1，x－1)，b＝(y,2)，a⊥b，所以a·b＝y＋2(x－1)＝0，即2x＋y＝2.又因为x>0，y>0，所以2x＋y≥2，当且仅当x＝，y＝1时等号成立，即2≤2，所以xy≤，所以当且仅当x＝，y＝1时，xy取到最大值，最大值为.故选B.

3．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最大值为(　　)

A．  B．

C．  D．

答案：C

解析：＝＋＝(x＋2y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即x＝y＝时取等号，所以max＝.

4．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））已知，，，，且，则下列不等式中，成立的个数有①，②，③，④（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】因，，，，且，于是有：

，当且仅当时取“=”，①正确；

，当且仅当时取“=”，②正确；

时成立，而，③不正确；

，当且仅当时取“=”，而，④正确，

综上得：①②④共三个正确.

故选：C

二、多项选择题

5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）当，时，下列不等式中恒成立的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【详解】对于A，当且仅当时取等号，正确.

对于B，，当且仅当时取等号，正确.

对于C，，当且仅当时取等号，错误.

对于D，，当且仅当时取等号，正确.

故选：ABD

三、填空题

6．若正数满足，则的最大值是________．

答案：

解析：由，得 (当且仅当时等号成立)，∴，即，∴的最大值为．

7．已知，若实数满足，则的最小值是       ．

答案： 7

解析：由已知条件可得 ．

法一：由得,则

．

当且仅当，即时，等号成立．

法二：注意到与待求式之间的关系，

有，

当且仅当，

即，时，等号成立．

四、解答题

8．运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶千米，按交通法规限制(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时元．

(1)求这次行车总费用关于的表达式；

(2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

解析： (1)设所用时间为，

．

所以，这次行车总费用关于的表达式是．

(或)．

(2) ，

当且仅当，

即，等号成立．

故当千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元．