专题33 多角度破解多变元范围问题（解析版）学案

专题33  多角度破解多变元范围问题

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在近几年的高考题目中，有些多变元（量）确定范围问题，一般地可利用已知条件进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得范围（最值），且消元的方法较多.另外，某些题目也可以利用数形结合法求解.本专题重点说明从消元、数形结合等角度解答此类问题.

（一）消元法：

1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域

2、常见消元的方法：

（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：

① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）

② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担.例如选择为主元，且有，则除了满足自身的范围外，还要满足（即解不等式）

（2）换元：常见的换元有两种：

①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，常见的如等，例如在中，可变形为，设，则将问题转化为求的值域问题

注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围

②三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围.因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：

平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：

推广：

平方差：联想到正割（） 与正切（）的平方差为1，则有，

推广：

注：若有限定范围时，要注意对取值的影响，一般地，若的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画的范围

3、消元后一元表达式的范围求法：

（1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域

（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（等）的条件，则可利用均值不等式快速得到最值.

（3）三角函数：

① 形如的形式：则可利用公式转化为的形式解得值域（或最值）

② 形如：则可通过换元将其转化为传统函数进行求解

③ 形如：，可联想到此式为点和定点连线的斜率，其中为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围

（二）放缩消元法

1、放缩法求最值的理论基础：

   不等式的传递性：若，则

2、常见的放缩消元手段：

（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元

（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果

（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果

（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果.

3、放缩消元过程中要注意的地方：

（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“”；若求最大值，则对应的不等号为“”.放缩的方向应与不等号的方向一致

（2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值.放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致.若将关于 的表达式进行放缩消去，得到，例如，则下一步需要求出的最小值（记为），即，通过不等式的传递性即可得到.同理，若放缩后得到：，则需要求出的最大值（记为），即，然后通过不等式的传递性得到

（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去

（三）数形结合法

1、数形结合的适用范围：

（1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组

（2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等）

2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决

3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式

4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩.

【经典例题】

例1．（2020·湖南衡阳·高三三模）已知，，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】已知，，，

，

当且仅当，即，时，取号，

故选：B.

例2．（2020·全国高三三模）已知函数若，，使得，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】当时，

，

而当时，，

故函数的值域为；

而，即，

故，则，

解得，故选：C．

例3．（2020·浙江高三三模）已知正实数、、满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，，

由于、、均为正数，则，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，的最小值是.故选：C.

例4．（2020·江苏省清江中学高三三模）若正实数满足，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，，，

当且仅当，取等号，故选D．

例5．（2020·四川仁寿一中高三三模）已知若，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，

由于，所以，

当且仅当时等号成立，

所以.

对于函数，在上递增，

依题意，使得，

则.故选：D

例6．（2020·济南市历城第二中学高三三模）已知函数，若正实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由函数，设，知，

所以是奇函数，则，又因为正实数，满足，

，所以，

，当且仅当，时取到等号．故选：C．

例7．（2020·东湖·江西师大附中高三三模）已知直线分别与函数和的图象交于点、，现给出下述结论：①；②；③；④，则其中正确的结论个数是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】函数和互为反函数，则和的图像关于对称，将与联立解方程组，可得.

由直线分别与函数和的图象交于点、，作出函数图像，如图所示：

则、的中点坐标为，

对于①，由，得，故①正确；

对于②，，

因为，即等号不成立，所以，故②正确；

对于③，将与联立可得，即，

设，则函数为单调递增函数，

，，

故函数的零点在上，即，由得，，

，故③正确.

对于④，由，解得，由于，即等号不成立，则，故④错误；

所以，正确的结论个数为3.故选：B.

例8．（2020·湖南高三三模）设的内角所对的边分别为，且，则的最大值为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

∴由正弦定理，得

，，
∴

整理，得，同除以 得 ，
由此可得

是三角形内角，且与同号，

都是锐角，即

当且仅当，即 时， 的最大值为．故选B．

【精选精练】

1．（2020·全国高三三模）若，，，则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【解析】∵，，∴，，

∴，

当且仅当时，取“=”，故选：D．

2．（2020·宁夏银川一中高三三模）若的反函数为，且，则的最小值是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】由得，所以，

又，所以，即，

所以，

因此，

当且仅当，即时，等号成立.故选：B.

3．（2020·沙坪坝·重庆一中高三三模）已知，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，

等号成立当且仅当.故选：B.

4．（2020·安徽金安·六安一中高三三模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sin B＋2sin Acos C＝0，则当cos B取最小值时，＝（    ）

A． B．

C．2 D．

【答案】B

【解析】由sin B＋2sin Acos C＝0，根据正弦定理和余弦定理得，

∴，∴，

∴，

当且仅当，即时取等号，cos B取最小值．故选：B．

5．（2020·河南西平·高三三模）若，且，则的最小值为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意得，

，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故选B.

6．（2020·江苏南通·高三三模）函数的图像为M，直线，分别与M相交于（从左到右），曲线段在x轴上投影的长度为a，b，当m变化时的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】由题意，可得如下示意图：

即在且的分支上，令，；

在且的分支上，令，；

∴，，，

即当且仅当时等号成立.

7．（2020·甘肃安宁·西北师大附中高三三模）已知三内角的对边分别为，且，若角的平分线交于点，且，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由及正弦定理，得，

因为，，所以，即，

因为，所以.

如图，，

所以，

所以，即，

∴，

当且仅当，，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：C.

8．（2020·湖南邵阳·高三三模）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，∴，

∴.又，

∴，

∴.

又∵在锐角中, ,∴，当且仅当时取等号，

∴，故选A.

9．（2020·湖北高三三模）在中，内角的对边分别为，，，的面积为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，，

又因为，所以，

所以，

所以.

当且仅当，即，时取“”，故选：C.

10．（2020·全国高三三模）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由正实数，，满足，

．

，

当且仅当时取等号，此时．

，当且仅当时取等号，

即的最大值是1．故选：D

11．（2020·浙江高三三模）已知实数a，b满足，且则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令则，代入得，因为，所以，所以，由题意可得，所以（当且仅当，即时取等号），所，.故选：A.

12．（2020·全国高三三模）已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数，，

由题意得，

即，

令，

∴，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，而，

当且仅当，即当时，等号成立，

∴，∴.故选：A.