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物理2 波的描述导学案
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这是一份物理2 波的描述导学案，共19页。学案主要包含了波的图像，波长，波的波速等内容，欢迎下载使用。
一、波的图像
1．波的图像的作法
(1)建立坐标系：用横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移．
(2)选取正方向：选取质点振动的某一个方向为y轴正方向，x轴一般向右为正．
(3)描点：把某一时刻所有质点的位移画在坐标系里．
(4)连线：用一条平滑的曲线把坐标系中的各点连接起来就是这一时刻的波形图．
2．波的图像的特点
(1)波的图像也称波形图，简称波形，如果波形是正弦曲线，这样的波叫作正弦波，也叫简谐波．
(2)介质中有正弦波传播时，介质中的质点做简谐运动．
3．波的图像与振动图像的比较
(1)波的图像表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移．
(2)振动图像表示介质中“某个质点”在“各个时刻”的位移．
二、波长(λ)
1．定义：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离．
2．特征：在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长．在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长．
学习了波长的概念之后，甲同学认为两波峰间或两波谷间的距离就是一个波长，乙同学认为相邻波峰与波谷间的距离为一个波长，而丙同学认为相邻波峰与波谷间的距离应为半个波长．你认为他们的想法对吗？为什么？
提示：他们的想法都不对．波具有周期性，波峰与波峰或波谷与波谷之间的距离是波长的整数倍，只有限定相邻波峰或波谷间的距离才是一个波长，所以甲不对；相邻波谷与波峰之间平衡位置间的距离刚好是半个波长，所以在波峰与波谷的两个质点，即使峰谷相邻，一个质点在平衡位置的正方向上，一个在负方向上，它们的距离是大于半个波长的，所以乙、丙的想法不对．
三、波的波速、周期和频率
1．波速是指机械波在介质中的传播速度．
2．波的周期等于波上各质点的振动周期．
3．在波动中，各个质点的振动周期(或频率)是相同的，它们都等于波源的振动周期(或频率)．
4．周期T和频率f互为倒数，即f＝1/T.
5．在一个周期的时间内，振动在介质中传播的距离等于一个波长．
6．公式：v＝eq \f(λ,T)，它还等于波长和频率的乘积，公式为v＝λf，这两个公式虽然是从机械波得到的，但也适用于我们以后将会学到的电磁波．
7．波速的决定因素：机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质决定，在不同的介质中，波速是不同的．另外，声速还与温度有关．
同学们游泳时，耳朵在水中听到的音乐与在岸上听到的一样吗？这说明什么？岸上同学与水中同学到音箱距离相同，他们能同时听到音乐声吗？
提示：声波的特色由其频率决定，机械波从一种介质进入另一种介质时，频率并不改变，故水中听到的音乐与岸上听到的一样，但因为声波在不同介质中传播速度不同，故岸上的同学与水中的同学听到的音乐不同步．
考点一 波的图像
1．图像的建立
(1)波传播时各质点都在各自平衡位置附近振动，而且振动有先有后，某一时刻，各质点处于一定的位置，如果用各质点离开平衡位置的位移来表达它们所在的位置，就可以得到关于某时刻各质点位置情况的一条图线．
(2)用横坐标x表示波的传播方向上各介质的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，在xOy平面上，画出多个质点的平衡位置x与多个质点偏离平衡位置的位移y的各点(x，y)，用平滑的曲线把各点连接起来就得到了波的图像，如图所示．
2．简谐波
(1)定义：波源做简谐运动时，介质的各个质点随波源做简谐运动，所形成的波叫作简谐波．
(2)简谐波的图像：正弦或余弦曲线．
(3)简谐波是一种最基本、最简单的波，其他的波可以看做是由若干简谐波合成的．
3．波的图像的特点
(1)波的图像并不是实际运动的波形图，但某时刻横波的图像形状与波在该时刻的实际波形很相似，波形中的波峰对应波的图像中的位移正向最大值，波谷对应图像中位移负向最大值．波形中的平衡位置也对应图像中的平衡位置．
(2)波的图像的周期性
在波的传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动，不同时刻，质点的位移不同，则不同时刻，波的图像不同．质点振动位移做周期性变化，则波的图像也做周期性变化，经过一个周期，波的图像复原一次．相隔时间为周期整数倍的两个时刻，波形相同．
(3)波的传播方向的双向性
如果只知道波沿x轴传播，那么波的传播方向有可能沿x轴正向，也有可能沿x轴负向．
4．物理意义
描述在波的传播方向上的介质中的各质点在某一时刻离开平衡位置的位移．
5．对波的图像的理解
(1)直接获得的信息
①从图像上可直接读出振幅，如图所示，波的图线上，纵坐标的最大值的绝对值即为振幅A，A＝4 cm.
②可确定任一质点在该时刻的位移，如图所示，图线上各点纵坐标表示各质点在该时刻的位移，例如图中M点的位移为2 cm.
(2)间接获得的信息
①因加速度方向和位移方向相反，可确定任一质点在该时刻的加速度方向．
②若已知波的传播方向，可确定各质点在该时刻的振动方向，并判断位移、加速度、速度、动能的变化．
如上图所示，如要确定图线上N点的振动方向，可以根据波的传播方向和波的形成过程，知道质点N开始振动的时刻比它左侧相邻质点M要滞后一些，所以质点M在此时刻的位移值是质点N在下一时刻的位移值，由此判断出质点N此时刻的速度方向应沿y轴正方向，即向上振动．如果这列波的传播方向改为自右向左，则质点M开始振动的时刻比它右侧相邻质点N要滞后一些，所以质点N此时刻的位移值将是质点M在晚些时刻的位移值，由此判断出质点M此时刻的速度方向应沿y轴负方向，即向下振动．总之，利用波的传播方向确定质点的运动方向的方法是要抓住波动的成因，即先振动的质点(即相邻两点中离波源比较近的质点)总是要带动后面的质点(即相邻两点中离波源比较远的质点)运动．
6．振动图像和波的图像的比较
振动图像和波的图像从形状上看都是正弦曲线，但图像的物理意义、坐标中描述的物理量、研究的内容等方面有着本质的不同，现用图表做如下比较.
(续表)
【例1】 如图所示为某一时刻简谐横波的图像，波的传播方向沿x轴正方向，下列说法正确的是( )
A．此时刻C点振幅为负值
B．此时刻质点B、E的速度相同
C．此时刻质点C、F的加速度、速度都为零
D．此时刻D点正沿y轴负方向运动
【审题指导】
1．在简谐横波中，各质点做什么运动？
2．从波的图像中可获取哪些信息？
3．判断波传播方向与各质点的振动方向的关系有哪些方法？
【解析】 振幅在波形图上为纵坐标最大值的绝对值，A错；由同侧法可判断B沿＋y方向运动，E、D均沿－y方向运动，故B错，D正确；又C、F加速度均为最大值，故C错，只选D.
【答案】 D
(多选)如下图所示，画出了一列向右传播的简谐横波在某个时刻的波形，由图像可知( AC )
A．质点b此时位移为零
B．质点b此时向－y方向运动
C．质点d的振幅是2 cm
D．质点a再经过eq \f(T,2)通过的路程是4 cm，偏离平衡位置的位移是4 cm
解析：由波形知，质点b在平衡位置，所以其此刻位移为0，选项A正确；因波向右传播，波源在左侧，所以质点b此时向＋y方向运动，选项B错误；简谐波传播过程中，介质各质点振幅相同，所以质点d的振幅是2 cm，选项C正确；再过eq \f(T,2)的时间，质点a将运动到负向最大位移处，它偏离平衡位置的位移为－2 cm，故选项D错误．
考点二 波长、频率和波速
1．波长
(1)定义：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离叫作波长，用λ表示．
(2)对波长的认识
①在波的传播方向上相位相同(即状态相同)的质点有很多个，只有相邻的两质点间的距离才等于波长．
②对于横波，两个相邻波峰或相邻波谷之间的距离等于波长，相邻的波峰和波谷所对应的平衡位置相距半个波长(如图所示)；对于纵波，两个相邻密部或相邻疏部之间的距离等于波长，相邻的密部和疏部相距半个波长．
③因为相邻波长内对应点的状态相同，所以在波的传播方向上，质点的振动状态随位置变化而出现周期性变化，波长实质上反映了波的传播在空间上的周期性．
④相距λ整数倍的两质点振动步调总是相同的；相距λ/2的奇数倍的两质点振动步调总是相反的．
2．周期和频率
(1)定义：在波动中，各个质点的振动周期或频率是相同的，它们都等于波源的振动周期或频率，这个周期或频率也叫作波的周期或频率．周期用T表示，频率用f表示．
波源振动一个周期，其他被波源带动的质点也刚好完成一次全振动，且波在介质中往前传播一个波长．
(2)波的空间周期性和时间周期性：每隔n个波长的距离，波形就重复出现；每隔n个周期的时间，波形恢复原来的形状，这就是波的空间周期性和时间周期性．
3．波速
(1)定义：波传播的速度称为波速．
波速反映了振动在介质中传播的快慢程度，可以用公式v＝eq \f(x,t)来计算，其中x为波传播的距离，t为传播这段距离所用的时间．
(2)波速与质点的振动速度不同
波速是振动形式传播的速度，始终沿着波的传播方向，在同一均匀介质中波速大小不变．质点的振动速度是质点在平衡位置附近振动的速度，大小和方向均随时间发生周期性变化．
(3)波速的大小的决定因素
波速由介质的性质决定，同一列波在不同介质中传播速度不同，但同一类机械波在同一均匀介质中传播速度相同．如声波，在空气中不管哪种频率的波传播速度相同．
【例2】 (多选)下图所示的是一列简谐波在某一时刻的波形图像，下列说法中正确的是( )
A．质点A、C、E、G、I在振动过程中位移总是相同
B．质点B、F在振动过程中位移总是相等
C．质点D、H的平衡位置间的距离是一个波长
D．质点A、I在振动过程中位移总是相同，它们的平衡位置间的距离是一个波长
【解析】 从图像中可以看出质点A、C、E、G、I在该时刻的位移都是零，由于波的传播方向是向右的，容易判断出质点A、E、I的速度方向是向下的，而质点C、G的速度方向是向上的，因而这五个点的位移不总是相同，A项错误；质点B、F是同处在波峰的两个点，它们的振动步调完全相同，在振动过程中位移总是相等，B项正确；质点D、H是处在相邻的两个波谷的点，它们的平衡位置之间的距离等于一个波长，C项正确；虽然质点A、I在振动过程中位移总是相同，振动步调也完全相同，但由于它们不是相邻的振动步调完全相同的两个点，它们的平衡位置之间的距离不是一个波长(应为两个波长)，D项错误．
【答案】 BC
(多选)关于波的周期下列说法正确的是( ABD )
A．质点的振动周期就是波源的周期
B．波的周期是由波源驱动力的频率决定的
C．波的周期与形成波的介质的密度有关
D．经历整数个周期波形图重复出现，只是波峰向前移动了一段距离
解析：波的周期性是由质点振动的周期性决定的，故A选项正确；波的周期等于波源驱动力的周期，与介质无关，故B选项正确，C选项错误；D选项正是波的周期性的体现，故D正确．
考点三 波长、频率和波速之间的关系
1．波长、频率和波速之间的关系
在一个周期的时间内，振动在介质中传播的距离等于一个波长，因而可以得到波长λ、频率f(或周期T)和波速v三者的关系为：v＝eq \f(λ,T).
根据T＝eq \f(1,f)，则有v＝λf.
【注意】 ①关系式v＝eq \f(λ,T)和v＝λf不仅对机械波适用，对后面要学习的电磁波及光波也适用．
②波速的计算既可用v＝eq \f(x,t)求，也可以根据v＝eq \f(λ,T)或v＝λf求，计算时注意波的周期性所造成的多解．
2．波长、频率、波速之间的决定关系
(1)周期和频率，只取决于波源，而与v、λ无直接关系．
(2)速度v取决于介质的物理性质，它与T、λ无直接关系．只要介质不变，v就不变；反之如果介质改变，v也一定改变．
(3)波长λ取决于v和T(f)，或者说取决于波源和介质．只要v和T(f)其中一个发生变化，由于v＝eq \f(λ,T)(v＝λf)，波长λ也一定发生变化．
【注意】 公式v＝eq \f(λ,T)和v＝λf只是几个物理量之间的数量关系，而不是决定关系．
【例3】 (多选)对机械波，关于公式v＝λf，下列说法正确的是( )
A．v＝λf适用于一切波
B．由v＝λf知，f增大，则波速v也增大
C．v、λ、f三个量中，对同一列波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有f
D．由v＝λf知，波长是4 m的声音为波长是2 m的声音传播速度的2倍
【审题指导】
公式v＝λf适用于一切波，公式中v、 f都有其特定的决定因素，即介质决定机械波的波速，波源决定频率．由v＝λf可知，波速、频率确定的同时，也确定了波长．
【解析】 机械波从一种介质进入另一种介质，波源没变，波的频率不变；介质的变化导致了波速和波长的改变．
波长也是波的周期性的体现，它体现的是波在空间上的周期性．
【答案】 AC
(多选)某同学漂浮在海面上，虽然水面波正平稳地以1.8 m/s的速率向着海滩传播，但他并不向海滩靠近．该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15 s．下列说法正确的是( ACE )
A．水面波是一种机械波
B．该水面波的频率为6 Hz
C．该水面波的波长为3 m
D．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时能量不会传递出去
E．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时振动的质点并不随波迁移
解析：水面波是一种机械波，传播过程中各质点只在平衡位置上下往复运动，不随波的传播而迁移，因此水面波不会将该同学推向岸边，故D错，A、E均正确．由题意可知该波的周期T＝eq \f(15,9) s＝eq \f(5,3) s，频率f＝eq \f(1,T)＝0.6 Hz，波长λ＝vT＝1.8×eq \f(5,3) m＝3 m，故B错、C正确．
学科素养提升
机械波的多解问题
造成波动问题多解的主要因素：
1．周期性
(1)时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确．
(2)空间的周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确．
2．双向性
(1)传播方向双向性：波的传播方向不确定．
(2)振动方向双向性：质点振动方向不明确．
由于波动问题的多解性的出现，从而导致了求解波动问题的复杂性，而最容易失误的往往是漏解，因此在解决振动和波动问题时一定要考虑全面，尤其是对题设条件模糊，没有明确说明的物理量，一定要考虑其所有可能性．如说质点达到最大位移处，则有正向最大位移与负向最大位移两种可能；质点由平衡位置起振，起振方向有向上向下两种可能；只告诉波速不说传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能；若给出两时刻的波形，则有可能是波形重复多次后又变至题目所给的相应的后一种波形．解决此类问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上，时间关系加nT(n＝0,1,2，…)；空间关系加nλ(n＝0,1,2，…)．总之，只要有多解意识，再根据题意仔细分析，就能得到全部的解．
【典例2】 如图所示，实线是某时刻的波形图像，虚线是0.2 s后的波形图．
(1)若波向左传播，求它的可能周期和最大周期；
(2)若波向右传播，求它的可能传播速度；
(3)若波速是45 m/s，求波的传播方向．
【解析】 在已知两个时刻的波形图来求波的周期或波速时，一定要考虑到两个方面：一个是波传播的双向性；一个是它的周期性带来的多解性．
(1)波向左传播，传播的时间为Δt＝eq \f(3,4)T＋nT(n＝0,1，2，…)，所以T＝eq \f(4Δt,4n＋3)＝4×eq \f(0.2,4n＋3) s＝eq \f(0.8,4n＋3) s(n＝0,1,2,3，…)，最大周期为Tmax＝eq \f(0.8,3) s≈0.27 s.
(2)波向右传播Δt＝eq \f(T,4)＋nT(n＝0,1,2,3，…)
所以T＝eq \f(0.8,4n＋1) s(n＝0,1,2，…)，而λ＝4 m
所以v＝eq \f(λ,T)＝5(4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)．
(3)波速是45 m/s，设波向右传播，由上问求得的向右传播的波速公式得45 m/s＝5(4n＋1) m/s，解得n＝2.故假设成立，波向右传播．
【答案】 (1)T＝eq \f(0.8,4n＋3) s(n＝0,1,2,3，…)
Tmax＝0.27 s
(2)v＝5(4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)
(3)向右传播
由于没有明确波的传播方向，则两波形所间隔的时间与周期的关系是不明确的，解此类问题，可以假设向右传播，对问题进行处理，得出一系列结论，然后再假设向左传播得出一系列结论．在解决波动问题时，一定要注意考虑波传播方向的双向性，以及时间的周期性和空间的周期性，即Δt＝nT＋t，Δx＝nλ＋x(n＝0,1,2，…)．
1．关于波长，下列说法正确的是( A )
A．机械振动在一个周期内传播的距离就是一个波长
B．在波形图上位移相同的相邻两质点间的距离等于一个波长
C．在波形图上速度相同的相邻两质点间的距离等于一个波长
D．在波形图上振动情况总是相同的两质点间的距离等于一个波长
解析：机械振动的质点在一个周期内向远处传播一个完整的波形，故A正确；在一个完整波形上，位移相同的相邻两质点间的距离不一定等于一个波长，故B错误；速度相同的相邻两质点之间距离小于一个波长，所以C错误；振动情况总是相同的两质点间的距离是波长的整数倍，故D错误．
2．(多选)下列波形图中正确的是( BC )
3．(多选)关于波的频率，下列说法正确的是( AB )
A．波的频率由波源决定，与介质无关
B．波的频率与波速无直接关系
C．波由一种介质传到另一种介质时，频率要发生变化
D．由公式f＝eq \f(v,λ)可知，频率与波速成正比，与波长成反比
解析：波的频率由振源的频率决定，与波速和介质都无关，波在不同介质中传播时频率保持不变，故A、B正确，C、D不正确．
4．周期为2.0 s的简谐横波沿x轴传播，该波在某时刻的图像如图所示，此时质点P沿y轴负方向运动，则该波( B )
A．沿x轴正方向传播，波速v＝20 m/s
B．沿x轴正方向传播，波速v＝10 m/s
C．沿x轴负方向传播，波速v＝20 m/s
D．沿x轴负方向传播，波速v＝10 m/s
解析：由质点P沿y轴负方向运动，可知波沿x轴正方向传播，波速v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(20 m,2.0 s)＝10 m/s，B项正确．
5．(多选)如图，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.5 s时的波形图．已知该简谐波的周期大于0.5 s．关于该简谐波，下列说法正确的是( BCE )
A．波长为2 m
B．波速为6 m/s
C．频率为1.5 Hz
D．t＝1 s时，x＝1 m处的质点处于波峰
E．t＝2 s时，x＝2 m处的质点经过平衡位置
解析：由图像可知简谐横波的波长为λ＝4 m，A项错误；波沿x轴正向传播，t＝0.5 s＝eq \f(3,4)T，可得周期T＝eq \f(2,3) s、频率f＝eq \f(1,T)＝1.5 Hz，波速v＝eq \f(λ,T)＝6 m/s，B、C项正确；t＝0时刻，x＝1 m处的质点在波峰，经过1 s＝eq \f(3,2)T，一定在波谷，D项错误；t＝0时刻，x＝2 m处的质点在平衡位置，经过2 s＝3T，质点一定经过平衡位置，E项正确．
6．如图(a)是一列简谐横波在t＝0.2 s时的波形图，其中O是波源，图(b)是波上某一点P的振动图像．
(1)该波的波长为4m，周期为0.2s，波速为20m/s.
(2)说明P质点的位置．
(3)画出t＝0.4 s和t＝0.55 s的波形图．
答案：(2)见解析 (3)见解析图
解析：(1)由题图(a)知波长λ＝4 m，由题图(b)知周期T＝0.2 s，所以波速v＝eq \f(λ,T)＝20 m/s.
(2)由题图(b)知0.2 s时P质点经过平衡位置且正向上运动，且它已振动了一个周期，所以它应是题图(a)中的波源O，其横坐标x＝0.
(3)t＝0.4 s时，Δt1＝0.2 s＝T，波形正好向右平移了一个波长，因此4～8 m之间的波形与t＝0.2 s时波形相同，此时波形如图中实线所示．
t＝0.55 s时，Δt′＝0.35 s＝1eq \f(3,4)T，只需把t＝0.2 s时的波形向右平移1eq \f(3,4)λ即可，波形如图中虚线所示．
振动图像
波的图像
研究
对象
一个振动质点
沿波传播方向上若干质点
坐标
横轴表示时间，纵轴表示质点的位移
横轴表示波线上各质点平衡位置，纵轴表示各质点对各自平衡位置的位移
振动图像
波的图像
研究
内容
一个质点的位移随时间的变化规律
某时刻所有质点的空间分布规律
图像
图像
意义
表示一个质点在各个时刻的位移
表示某时刻图线上各质点的位移
图像
变化
随时间推移，原有图像形状不变，只是沿t轴延续(如图中虚线)
随时间推移，图像整体沿波的传播方向平移，不同时刻波形不同(如图中虚线)
运动
情况
质点做简谐运动，属非匀变速运动
波在同一均匀介质中匀速传播，介质的质点做简谐运动
图像
信息
(1)由纵坐标可知振幅，由横坐标可知周期；
(2)由图像的切线斜率可知速度的大小及方向的变化情况；
(3)由位移的变化情况可知加速度的大小及方向的变化情况
(1)由纵坐标可知振幅，由横坐标可知波长(下节学)；
(2)可根据波的传播方向确定各质点某时刻的运动方向；也可根据某质点的运动方向确定波的传播方向；
(3)由位移情况可确定质点在某一时刻加速度的大小及方向情况
一、波的图像
1．波的图像的作法
(1)建立坐标系：用横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移．
(2)选取正方向：选取质点振动的某一个方向为y轴正方向，x轴一般向右为正．
(3)描点：把某一时刻所有质点的位移画在坐标系里．
(4)连线：用一条平滑的曲线把坐标系中的各点连接起来就是这一时刻的波形图．
2．波的图像的特点
(1)波的图像也称波形图，简称波形，如果波形是正弦曲线，这样的波叫作正弦波，也叫简谐波．
(2)介质中有正弦波传播时，介质中的质点做简谐运动．
3．波的图像与振动图像的比较
(1)波的图像表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移．
(2)振动图像表示介质中“某个质点”在“各个时刻”的位移．
二、波长(λ)
1．定义：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离．
2．特征：在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长．在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长．
学习了波长的概念之后，甲同学认为两波峰间或两波谷间的距离就是一个波长，乙同学认为相邻波峰与波谷间的距离为一个波长，而丙同学认为相邻波峰与波谷间的距离应为半个波长．你认为他们的想法对吗？为什么？
提示：他们的想法都不对．波具有周期性，波峰与波峰或波谷与波谷之间的距离是波长的整数倍，只有限定相邻波峰或波谷间的距离才是一个波长，所以甲不对；相邻波谷与波峰之间平衡位置间的距离刚好是半个波长，所以在波峰与波谷的两个质点，即使峰谷相邻，一个质点在平衡位置的正方向上，一个在负方向上，它们的距离是大于半个波长的，所以乙、丙的想法不对．
三、波的波速、周期和频率
1．波速是指机械波在介质中的传播速度．
2．波的周期等于波上各质点的振动周期．
3．在波动中，各个质点的振动周期(或频率)是相同的，它们都等于波源的振动周期(或频率)．
4．周期T和频率f互为倒数，即f＝1/T.
5．在一个周期的时间内，振动在介质中传播的距离等于一个波长．
6．公式：v＝eq \f(λ,T)，它还等于波长和频率的乘积，公式为v＝λf，这两个公式虽然是从机械波得到的，但也适用于我们以后将会学到的电磁波．
7．波速的决定因素：机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质决定，在不同的介质中，波速是不同的．另外，声速还与温度有关．
同学们游泳时，耳朵在水中听到的音乐与在岸上听到的一样吗？这说明什么？岸上同学与水中同学到音箱距离相同，他们能同时听到音乐声吗？
提示：声波的特色由其频率决定，机械波从一种介质进入另一种介质时，频率并不改变，故水中听到的音乐与岸上听到的一样，但因为声波在不同介质中传播速度不同，故岸上的同学与水中的同学听到的音乐不同步．
考点一 波的图像
1．图像的建立
(1)波传播时各质点都在各自平衡位置附近振动，而且振动有先有后，某一时刻，各质点处于一定的位置，如果用各质点离开平衡位置的位移来表达它们所在的位置，就可以得到关于某时刻各质点位置情况的一条图线．
(2)用横坐标x表示波的传播方向上各介质的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，在xOy平面上，画出多个质点的平衡位置x与多个质点偏离平衡位置的位移y的各点(x，y)，用平滑的曲线把各点连接起来就得到了波的图像，如图所示．
2．简谐波
(1)定义：波源做简谐运动时，介质的各个质点随波源做简谐运动，所形成的波叫作简谐波．
(2)简谐波的图像：正弦或余弦曲线．
(3)简谐波是一种最基本、最简单的波，其他的波可以看做是由若干简谐波合成的．
3．波的图像的特点
(1)波的图像并不是实际运动的波形图，但某时刻横波的图像形状与波在该时刻的实际波形很相似，波形中的波峰对应波的图像中的位移正向最大值，波谷对应图像中位移负向最大值．波形中的平衡位置也对应图像中的平衡位置．
(2)波的图像的周期性
在波的传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动，不同时刻，质点的位移不同，则不同时刻，波的图像不同．质点振动位移做周期性变化，则波的图像也做周期性变化，经过一个周期，波的图像复原一次．相隔时间为周期整数倍的两个时刻，波形相同．
(3)波的传播方向的双向性
如果只知道波沿x轴传播，那么波的传播方向有可能沿x轴正向，也有可能沿x轴负向．
4．物理意义
描述在波的传播方向上的介质中的各质点在某一时刻离开平衡位置的位移．
5．对波的图像的理解
(1)直接获得的信息
①从图像上可直接读出振幅，如图所示，波的图线上，纵坐标的最大值的绝对值即为振幅A，A＝4 cm.
②可确定任一质点在该时刻的位移，如图所示，图线上各点纵坐标表示各质点在该时刻的位移，例如图中M点的位移为2 cm.
(2)间接获得的信息
①因加速度方向和位移方向相反，可确定任一质点在该时刻的加速度方向．
②若已知波的传播方向，可确定各质点在该时刻的振动方向，并判断位移、加速度、速度、动能的变化．
如上图所示，如要确定图线上N点的振动方向，可以根据波的传播方向和波的形成过程，知道质点N开始振动的时刻比它左侧相邻质点M要滞后一些，所以质点M在此时刻的位移值是质点N在下一时刻的位移值，由此判断出质点N此时刻的速度方向应沿y轴正方向，即向上振动．如果这列波的传播方向改为自右向左，则质点M开始振动的时刻比它右侧相邻质点N要滞后一些，所以质点N此时刻的位移值将是质点M在晚些时刻的位移值，由此判断出质点M此时刻的速度方向应沿y轴负方向，即向下振动．总之，利用波的传播方向确定质点的运动方向的方法是要抓住波动的成因，即先振动的质点(即相邻两点中离波源比较近的质点)总是要带动后面的质点(即相邻两点中离波源比较远的质点)运动．
6．振动图像和波的图像的比较
振动图像和波的图像从形状上看都是正弦曲线，但图像的物理意义、坐标中描述的物理量、研究的内容等方面有着本质的不同，现用图表做如下比较.
(续表)
【例1】 如图所示为某一时刻简谐横波的图像，波的传播方向沿x轴正方向，下列说法正确的是( )
A．此时刻C点振幅为负值
B．此时刻质点B、E的速度相同
C．此时刻质点C、F的加速度、速度都为零
D．此时刻D点正沿y轴负方向运动
【审题指导】
1．在简谐横波中，各质点做什么运动？
2．从波的图像中可获取哪些信息？
3．判断波传播方向与各质点的振动方向的关系有哪些方法？
【解析】 振幅在波形图上为纵坐标最大值的绝对值，A错；由同侧法可判断B沿＋y方向运动，E、D均沿－y方向运动，故B错，D正确；又C、F加速度均为最大值，故C错，只选D.
【答案】 D
(多选)如下图所示，画出了一列向右传播的简谐横波在某个时刻的波形，由图像可知( AC )
A．质点b此时位移为零
B．质点b此时向－y方向运动
C．质点d的振幅是2 cm
D．质点a再经过eq \f(T,2)通过的路程是4 cm，偏离平衡位置的位移是4 cm
解析：由波形知，质点b在平衡位置，所以其此刻位移为0，选项A正确；因波向右传播，波源在左侧，所以质点b此时向＋y方向运动，选项B错误；简谐波传播过程中，介质各质点振幅相同，所以质点d的振幅是2 cm，选项C正确；再过eq \f(T,2)的时间，质点a将运动到负向最大位移处，它偏离平衡位置的位移为－2 cm，故选项D错误．
考点二 波长、频率和波速
1．波长
(1)定义：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离叫作波长，用λ表示．
(2)对波长的认识
①在波的传播方向上相位相同(即状态相同)的质点有很多个，只有相邻的两质点间的距离才等于波长．
②对于横波，两个相邻波峰或相邻波谷之间的距离等于波长，相邻的波峰和波谷所对应的平衡位置相距半个波长(如图所示)；对于纵波，两个相邻密部或相邻疏部之间的距离等于波长，相邻的密部和疏部相距半个波长．
③因为相邻波长内对应点的状态相同，所以在波的传播方向上，质点的振动状态随位置变化而出现周期性变化，波长实质上反映了波的传播在空间上的周期性．
④相距λ整数倍的两质点振动步调总是相同的；相距λ/2的奇数倍的两质点振动步调总是相反的．
2．周期和频率
(1)定义：在波动中，各个质点的振动周期或频率是相同的，它们都等于波源的振动周期或频率，这个周期或频率也叫作波的周期或频率．周期用T表示，频率用f表示．
波源振动一个周期，其他被波源带动的质点也刚好完成一次全振动，且波在介质中往前传播一个波长．
(2)波的空间周期性和时间周期性：每隔n个波长的距离，波形就重复出现；每隔n个周期的时间，波形恢复原来的形状，这就是波的空间周期性和时间周期性．
3．波速
(1)定义：波传播的速度称为波速．
波速反映了振动在介质中传播的快慢程度，可以用公式v＝eq \f(x,t)来计算，其中x为波传播的距离，t为传播这段距离所用的时间．
(2)波速与质点的振动速度不同
波速是振动形式传播的速度，始终沿着波的传播方向，在同一均匀介质中波速大小不变．质点的振动速度是质点在平衡位置附近振动的速度，大小和方向均随时间发生周期性变化．
(3)波速的大小的决定因素
波速由介质的性质决定，同一列波在不同介质中传播速度不同，但同一类机械波在同一均匀介质中传播速度相同．如声波，在空气中不管哪种频率的波传播速度相同．
【例2】 (多选)下图所示的是一列简谐波在某一时刻的波形图像，下列说法中正确的是( )
A．质点A、C、E、G、I在振动过程中位移总是相同
B．质点B、F在振动过程中位移总是相等
C．质点D、H的平衡位置间的距离是一个波长
D．质点A、I在振动过程中位移总是相同，它们的平衡位置间的距离是一个波长
【解析】 从图像中可以看出质点A、C、E、G、I在该时刻的位移都是零，由于波的传播方向是向右的，容易判断出质点A、E、I的速度方向是向下的，而质点C、G的速度方向是向上的，因而这五个点的位移不总是相同，A项错误；质点B、F是同处在波峰的两个点，它们的振动步调完全相同，在振动过程中位移总是相等，B项正确；质点D、H是处在相邻的两个波谷的点，它们的平衡位置之间的距离等于一个波长，C项正确；虽然质点A、I在振动过程中位移总是相同，振动步调也完全相同，但由于它们不是相邻的振动步调完全相同的两个点，它们的平衡位置之间的距离不是一个波长(应为两个波长)，D项错误．
【答案】 BC
(多选)关于波的周期下列说法正确的是( ABD )
A．质点的振动周期就是波源的周期
B．波的周期是由波源驱动力的频率决定的
C．波的周期与形成波的介质的密度有关
D．经历整数个周期波形图重复出现，只是波峰向前移动了一段距离
解析：波的周期性是由质点振动的周期性决定的，故A选项正确；波的周期等于波源驱动力的周期，与介质无关，故B选项正确，C选项错误；D选项正是波的周期性的体现，故D正确．
考点三 波长、频率和波速之间的关系
1．波长、频率和波速之间的关系
在一个周期的时间内，振动在介质中传播的距离等于一个波长，因而可以得到波长λ、频率f(或周期T)和波速v三者的关系为：v＝eq \f(λ,T).
根据T＝eq \f(1,f)，则有v＝λf.
【注意】 ①关系式v＝eq \f(λ,T)和v＝λf不仅对机械波适用，对后面要学习的电磁波及光波也适用．
②波速的计算既可用v＝eq \f(x,t)求，也可以根据v＝eq \f(λ,T)或v＝λf求，计算时注意波的周期性所造成的多解．
2．波长、频率、波速之间的决定关系
(1)周期和频率，只取决于波源，而与v、λ无直接关系．
(2)速度v取决于介质的物理性质，它与T、λ无直接关系．只要介质不变，v就不变；反之如果介质改变，v也一定改变．
(3)波长λ取决于v和T(f)，或者说取决于波源和介质．只要v和T(f)其中一个发生变化，由于v＝eq \f(λ,T)(v＝λf)，波长λ也一定发生变化．
【注意】 公式v＝eq \f(λ,T)和v＝λf只是几个物理量之间的数量关系，而不是决定关系．
【例3】 (多选)对机械波，关于公式v＝λf，下列说法正确的是( )
A．v＝λf适用于一切波
B．由v＝λf知，f增大，则波速v也增大
C．v、λ、f三个量中，对同一列波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有f
D．由v＝λf知，波长是4 m的声音为波长是2 m的声音传播速度的2倍
【审题指导】
公式v＝λf适用于一切波，公式中v、 f都有其特定的决定因素，即介质决定机械波的波速，波源决定频率．由v＝λf可知，波速、频率确定的同时，也确定了波长．
【解析】 机械波从一种介质进入另一种介质，波源没变，波的频率不变；介质的变化导致了波速和波长的改变．
波长也是波的周期性的体现，它体现的是波在空间上的周期性．
【答案】 AC
(多选)某同学漂浮在海面上，虽然水面波正平稳地以1.8 m/s的速率向着海滩传播，但他并不向海滩靠近．该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15 s．下列说法正确的是( ACE )
A．水面波是一种机械波
B．该水面波的频率为6 Hz
C．该水面波的波长为3 m
D．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时能量不会传递出去
E．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时振动的质点并不随波迁移
解析：水面波是一种机械波，传播过程中各质点只在平衡位置上下往复运动，不随波的传播而迁移，因此水面波不会将该同学推向岸边，故D错，A、E均正确．由题意可知该波的周期T＝eq \f(15,9) s＝eq \f(5,3) s，频率f＝eq \f(1,T)＝0.6 Hz，波长λ＝vT＝1.8×eq \f(5,3) m＝3 m，故B错、C正确．
学科素养提升
机械波的多解问题
造成波动问题多解的主要因素：
1．周期性
(1)时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确．
(2)空间的周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确．
2．双向性
(1)传播方向双向性：波的传播方向不确定．
(2)振动方向双向性：质点振动方向不明确．
由于波动问题的多解性的出现，从而导致了求解波动问题的复杂性，而最容易失误的往往是漏解，因此在解决振动和波动问题时一定要考虑全面，尤其是对题设条件模糊，没有明确说明的物理量，一定要考虑其所有可能性．如说质点达到最大位移处，则有正向最大位移与负向最大位移两种可能；质点由平衡位置起振，起振方向有向上向下两种可能；只告诉波速不说传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能；若给出两时刻的波形，则有可能是波形重复多次后又变至题目所给的相应的后一种波形．解决此类问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上，时间关系加nT(n＝0,1,2，…)；空间关系加nλ(n＝0,1,2，…)．总之，只要有多解意识，再根据题意仔细分析，就能得到全部的解．
【典例2】 如图所示，实线是某时刻的波形图像，虚线是0.2 s后的波形图．
(1)若波向左传播，求它的可能周期和最大周期；
(2)若波向右传播，求它的可能传播速度；
(3)若波速是45 m/s，求波的传播方向．
【解析】 在已知两个时刻的波形图来求波的周期或波速时，一定要考虑到两个方面：一个是波传播的双向性；一个是它的周期性带来的多解性．
(1)波向左传播，传播的时间为Δt＝eq \f(3,4)T＋nT(n＝0,1，2，…)，所以T＝eq \f(4Δt,4n＋3)＝4×eq \f(0.2,4n＋3) s＝eq \f(0.8,4n＋3) s(n＝0,1,2,3，…)，最大周期为Tmax＝eq \f(0.8,3) s≈0.27 s.
(2)波向右传播Δt＝eq \f(T,4)＋nT(n＝0,1,2,3，…)
所以T＝eq \f(0.8,4n＋1) s(n＝0,1,2，…)，而λ＝4 m
所以v＝eq \f(λ,T)＝5(4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)．
(3)波速是45 m/s，设波向右传播，由上问求得的向右传播的波速公式得45 m/s＝5(4n＋1) m/s，解得n＝2.故假设成立，波向右传播．
【答案】 (1)T＝eq \f(0.8,4n＋3) s(n＝0,1,2,3，…)
Tmax＝0.27 s
(2)v＝5(4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)
(3)向右传播
由于没有明确波的传播方向，则两波形所间隔的时间与周期的关系是不明确的，解此类问题，可以假设向右传播，对问题进行处理，得出一系列结论，然后再假设向左传播得出一系列结论．在解决波动问题时，一定要注意考虑波传播方向的双向性，以及时间的周期性和空间的周期性，即Δt＝nT＋t，Δx＝nλ＋x(n＝0,1,2，…)．
1．关于波长，下列说法正确的是( A )
A．机械振动在一个周期内传播的距离就是一个波长
B．在波形图上位移相同的相邻两质点间的距离等于一个波长
C．在波形图上速度相同的相邻两质点间的距离等于一个波长
D．在波形图上振动情况总是相同的两质点间的距离等于一个波长
解析：机械振动的质点在一个周期内向远处传播一个完整的波形，故A正确；在一个完整波形上，位移相同的相邻两质点间的距离不一定等于一个波长，故B错误；速度相同的相邻两质点之间距离小于一个波长，所以C错误；振动情况总是相同的两质点间的距离是波长的整数倍，故D错误．
2．(多选)下列波形图中正确的是( BC )
3．(多选)关于波的频率，下列说法正确的是( AB )
A．波的频率由波源决定，与介质无关
B．波的频率与波速无直接关系
C．波由一种介质传到另一种介质时，频率要发生变化
D．由公式f＝eq \f(v,λ)可知，频率与波速成正比，与波长成反比
解析：波的频率由振源的频率决定，与波速和介质都无关，波在不同介质中传播时频率保持不变，故A、B正确，C、D不正确．
4．周期为2.0 s的简谐横波沿x轴传播，该波在某时刻的图像如图所示，此时质点P沿y轴负方向运动，则该波( B )
A．沿x轴正方向传播，波速v＝20 m/s
B．沿x轴正方向传播，波速v＝10 m/s
C．沿x轴负方向传播，波速v＝20 m/s
D．沿x轴负方向传播，波速v＝10 m/s
解析：由质点P沿y轴负方向运动，可知波沿x轴正方向传播，波速v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(20 m,2.0 s)＝10 m/s，B项正确．
5．(多选)如图，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.5 s时的波形图．已知该简谐波的周期大于0.5 s．关于该简谐波，下列说法正确的是( BCE )
A．波长为2 m
B．波速为6 m/s
C．频率为1.5 Hz
D．t＝1 s时，x＝1 m处的质点处于波峰
E．t＝2 s时，x＝2 m处的质点经过平衡位置
解析：由图像可知简谐横波的波长为λ＝4 m，A项错误；波沿x轴正向传播，t＝0.5 s＝eq \f(3,4)T，可得周期T＝eq \f(2,3) s、频率f＝eq \f(1,T)＝1.5 Hz，波速v＝eq \f(λ,T)＝6 m/s，B、C项正确；t＝0时刻，x＝1 m处的质点在波峰，经过1 s＝eq \f(3,2)T，一定在波谷，D项错误；t＝0时刻，x＝2 m处的质点在平衡位置，经过2 s＝3T，质点一定经过平衡位置，E项正确．
6．如图(a)是一列简谐横波在t＝0.2 s时的波形图，其中O是波源，图(b)是波上某一点P的振动图像．
(1)该波的波长为4m，周期为0.2s，波速为20m/s.
(2)说明P质点的位置．
(3)画出t＝0.4 s和t＝0.55 s的波形图．
答案：(2)见解析 (3)见解析图
解析：(1)由题图(a)知波长λ＝4 m，由题图(b)知周期T＝0.2 s，所以波速v＝eq \f(λ,T)＝20 m/s.
(2)由题图(b)知0.2 s时P质点经过平衡位置且正向上运动，且它已振动了一个周期，所以它应是题图(a)中的波源O，其横坐标x＝0.
(3)t＝0.4 s时，Δt1＝0.2 s＝T，波形正好向右平移了一个波长，因此4～8 m之间的波形与t＝0.2 s时波形相同，此时波形如图中实线所示．
t＝0.55 s时，Δt′＝0.35 s＝1eq \f(3,4)T，只需把t＝0.2 s时的波形向右平移1eq \f(3,4)λ即可，波形如图中虚线所示．
振动图像
波的图像
研究
对象
一个振动质点
沿波传播方向上若干质点
坐标
横轴表示时间，纵轴表示质点的位移
横轴表示波线上各质点平衡位置，纵轴表示各质点对各自平衡位置的位移
振动图像
波的图像
研究
内容
一个质点的位移随时间的变化规律
某时刻所有质点的空间分布规律
图像
图像
意义
表示一个质点在各个时刻的位移
表示某时刻图线上各质点的位移
图像
变化
随时间推移，原有图像形状不变，只是沿t轴延续(如图中虚线)
随时间推移，图像整体沿波的传播方向平移，不同时刻波形不同(如图中虚线)
运动
情况
质点做简谐运动，属非匀变速运动
波在同一均匀介质中匀速传播，介质的质点做简谐运动
图像
信息
(1)由纵坐标可知振幅，由横坐标可知周期；
(2)由图像的切线斜率可知速度的大小及方向的变化情况；
(3)由位移的变化情况可知加速度的大小及方向的变化情况
(1)由纵坐标可知振幅，由横坐标可知波长(下节学)；
(2)可根据波的传播方向确定各质点某时刻的运动方向；也可根据某质点的运动方向确定波的传播方向；
(3)由位移情况可确定质点在某一时刻加速度的大小及方向情况
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