资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩14页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
专题07 勾股定理的逆定理八年级数学上学期期中考试好题汇编（苏科版）（解析版）
展开
这是一份专题07 勾股定理的逆定理八年级数学上学期期中考试好题汇编（苏科版）（解析版），文件包含专题07勾股定理的逆定理八年级数学上学期期中考试好题汇编苏科版原卷版docx、专题07勾股定理的逆定理八年级数学上学期期中考试好题汇编苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
考点一、判断直角三角形
1．（2020·无锡市大桥实验学校八年级期中）已知△ABC中，a､b､c分别是∠A､∠B､∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A=∠C-∠BB．a：b：c=25：7：24
C．D．
【答案】D
【解析】
解：A.由∠A=∠C-∠B且∠A +∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC是直角三角形，A选项不符合题意；
B.设a=25，b=7，c=24，此时，故△ABC是直角三角形，B选项不符合题意；
C. 由条件可得到，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形，C选项不符合题意；
D.此时，故△ABC不是直角三角形，符合题意．
故答案选D．
2．（2020·泰兴市济川初级中学八年级期中）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=，b=，c=B．∠A+∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：3：2D．(b+c)(b﹣c)=a2
【答案】A
【解析】
解：A. +=≠，故不是直角三角形，该选项符合题意；
B . ∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则有2∠C=180°，即∠C=90°，故三角形为直角三角形，该选项不符合题意；
C, 因为∠A：∠B：∠C =1：3：2，则最大角为180°×90°，是直角三角形，该选项不符合题意；
D、因为，即b2-c2=a2，可得b2 =a2+c2，则三角形为直角三角形，该选项不符合题意．
故选A．
3．（2021·南京外国语学校八年级期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a2﹣b2＝c2D．a：b：c＝7：24：25
【答案】A
【解析】
解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、因为∠C＝∠A﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
C、因为a2﹣b2＝c2，a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；
D、因为a：b：c＝7：24：25，设a＝7x，b＝24x，c＝25x，（7x）2+（24x）2＝（25x）2，故△ABC是直角三角形．
故选：A．
4．（2019·江苏阜宁县·八年级期中）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1∶2∶3B．三边长的平方之比为1∶2∶3
C．三边长之比为3∶4∶5D．三内角之比为3∶4∶5
【答案】D
【解析】
A、设三个内角的度数为，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为30°，60°，90°，故此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
C、设三条边为，，，则有，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、设三个内角的度数为，，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选D．
5．（2019·海安市李堡中学八年级期中）已知三角形三边长为a，b，c，如果+|b﹣8|+（c﹣10）2＝0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形D．不是直角三角形
【答案】C
【解析】
因为＋|b－8|＋(c－10)2＝0，
所以有(a－6) 2 =0， ，|c－10|=0，
所以a=6，b=8，c=10，因为 a2+b2=c2 ，
所以△ABC的形状是以c为斜边的直角三角形，
故选C
6．（2020·宿迁市钟吾初级中学八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．150 °
【答案】B
【解析】
解：连接AC，
由勾股定理得：AC=BC=，AB=，
∵AC2+BC2=AB2=10，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
故选：B．
7．（2020·江苏射阳县·八年级期中）如图，在四边形中，，，，且，试说明为直角三角形．
【答案】见解析
【解析】
根据题意，为等腰直角三角形，
∴
又∵，即
根据勾股定理逆定理所以为直角三角形．
考点二、根据逆定理求解
1．（2020·江苏邳州市·八年级期中）三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的面积是_____．
【答案】6
【解析】
三角形的三边长分别为3，4，5，
∵52＝32+42，
∴此三角形为直角三角形，
∴这个三角形的面积＝×3×4＝6．
故答案为：6．
2．（2019·江苏连云港市·八年级期中）如图，已知．求图中阴影部分的面积．
【答案】
【解析】
在中，，
根据勾股定理，，
在中，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴.
3．（2019·江苏阜宁县·八年级期中）在四边形中，，求四边形的面积.
【答案】四边形的面积为
【解析】
根据勾股定理可得：
又∵
∴是直角三角形，
∴四边形的面积=
4．（2020·泰兴市济川初级中学八年级期中）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)请作出△ABC以直线l为对称轴的对称的△DEF；
(2)图中格点△ABC的面积为 ；
(3)判断格点△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）△ABC为直角三角形，理由见解析
【解析】
解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
；
（2）解：图中格点△ABC的面积=4×4-×4×2-×4×3-×2×1=5；
故答案为：5；
（3）解：格点△ABC是直角三角形．理由如下：
由勾股定理可得：AB2=32+42=25，BC2=42+22=20，AC2=22+12=5，
∴BC2+AC2=20+5=25，AB2=25，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
5．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形．
（1）求图中格点四边形ABCD的面积；
（2）求四边形ABCD的周长；
（3）求∠ADC的度数．
【答案】（1）12.5；（2）；（3）90°
【解析】
解：（1）根据题意得：
四边形ABCD的面积=5×5-×3×3-×2×3-×2×4-×2×1=12.5；
（2）由勾股定理得：
AD=，AB=，
BC=，CD=，
∴四边形ABCD的周长==；
（3）∵AD2+CD2=5+20=25，AC2=52=25，
∴AD2+CD2=AC2，
∴三角形ADC为直角三角形，∠ADC=90°．
6．（2020·江苏海安市·八年级期中）（1）已知直角三角形的两条直角边的长分别为+1和-1，求斜边c的长.
（2）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由.
【答案】（1）；（2）直角三角形，证明见解析．
【解析】
（1）
∵，
（2）∵，，
∴
此三角形为直角三角形．
7．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）如图，在ΔABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9，
（1）求DC的长；
（2）求证：ΔABC是直角三角形．
【答案】（1）12 ；（2）证明见解析．
【解析】
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
在Rt△CDB中，∵BC=15，DB=9，
∴根据勾股定理，得CD==12；
（2）证明：Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2，
∴122+AD2=202，
∴AD=16，
∴AB=AD+BD=16+9=25，
∴AC2+BC2=202+152=625=AB2
∴△ABC是直角三角形．
8．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，点D为AB上的一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2．
（1）试说明△AED是直角三角形；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
证明：（1）∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD
∵AD2+DB2=DE2
∴AD2+ AE 2=DE2
∴△AED是直角三角形，且∠EAD=90°；
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下
∵△AED是直角三角形，且∠EAD=90°；
∴∠EAC＋∠CAB=90°
∵△ACE≌△BCD，
∴AC=BC，∠EAC=∠DBC
∴∠DBC＋∠CAB=90°
∴△ABC是等腰直角三角形．
考点三、逆定理的实际应用
1．（2019·盐城市初级中学）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为_______.
【答案】6
【解析】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AB=5，AC=4，
∴，
S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积
=
=
=
=
=
=6.
2．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为120cm，宽为50cm，对角线为130cm，则这个桌面______________（填“合格”或“不合格”）
【答案】合格
【解析】
如图结合已知AD=120cm，AB=50cm，BD=130cm
∵AD2+AB2=1202+502=16900cm2
而BD2=1302=16900cm2
∴AD2+AB2=BD2
∴ΔABD为直角三角形，∠A=90º
同理∠ABC=∠BCD=90º
∴长方形桌面合格．
故答案为：合格．
3．（2019·江苏东台市实验中学八年级期中）学校计划在如图所示的空地 ABCD 上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD ＝ 6m ，AD ＝ 8m ， AB＝26m ， BC＝ 24m .
（1）求出空地 ABCD 的面积；
（2）若每种植 1 平方米草皮需要 200 元，问总共需投入多少元.
【答案】（1）96；
（2）19200元.
【解析】
解：（1）在Rt△ACD中，，
在△ABC中，，，
而，
即，
∴，
.
（2）需费用96×200=19200（元）．
4．（2020·江苏射阳县·八年级期中）如图，在四边形中，，，，且，试求四边形的面积．
【答案】
【解析】
如图，连接AC，
则在△ABC中，，
又∵，，
，，
∴，△ACD为直角三角形，AC⊥AD，
∴SABCD=S△ABC+S△ACD==．
1．（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”(格线的交点)，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，可以画等腰三角形和直角三角形的个数分别是( )
A．2和3B．3和3C．2和4D．3和4
【答案】A
【解析】
解：（1）如图，为等腰三角形有两种
由勾股定理易知：ED=DC=, 符合题意，
由勾股定理易知：AE=EC=,符合题意，
（2）如图，为直角三角形有三种
由勾股定理及格点图知：AB=2，BE=4，AE=, 满足，由勾股定理逆定理知∆ABE为直角三角形，
由勾股定理及格点图知：BC=2，BE=4，CE=, 满足，由勾股定理逆定理知∆CBE为直角三角形，
由勾股定理及格点图知：DC=，DE=，CE=, 满足，由勾股定理逆定理知∆CDE为直角三角形，
故选：A
2．（2020·江苏句容市·）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块，按图中的方式组成图案，则选取的三块纸片的不可能的是（ ）
A．1，2，3B．1，3，4C．2，3，5D．3，4，5
【答案】D
【解析】
解：当选取的三块纸片的面积分别是1，2，3时，围成的三角形的三边长分别为1，，，又，所以能组成图案；
当选取的三块纸片的面积分别是1，3，4时，围成的三角形的三边长分别为1，，2，又，所以能组成图案；
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的三角形的三边长分别为，，，又，所以能组成图案；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形的三边长分别为，2，，又，所以围成的三角形不是直角三角形；
∴选取的三块纸片的不可能的是3，4，5．
故选：D．
3．（2020·泰兴市洋思中学八年级期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在△ABC中，若∠B＝∠C+∠A，则△ABC是直角三角形；
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形；
C．在△ABC中，若∠A︰∠B︰∠C＝3︰4︰5，则△ABC是直角三角形；
D．在△ABC中，若a︰b︰c＝5︰4︰3，则△ABC是直角三角形．
【答案】C
【解析】
解：A、∠B＝∠C+∠A，所以∠B=90°，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
B、若a2=（b+c）（b-c），所以a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
C、若∠A：∠B：∠C=3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．
D、若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形，故本选不项符合题意．
故选C．
4．（2019·江苏无锡市·新城中学八年级期中）在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形，如格点三角形△ABC．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）△ABC的形状为 ；
（3）根据图中标示的各点（A、B、C、D、E、F）位置，与△ABC全等的格点三角形是 ．
【答案】（1）2；（2）直角三角形；（3）△DBC，△DAB，△DAC．
【解析】
（1）△ABC的面积为：2×3﹣﹣﹣＝2，
故答案为：2；
（2）由勾股定理得：AC＝＝2，BC＝＝，AB＝＝，
所以AC2+BC2＝AB2，
即∠ACB＝90°，
即△ABC是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（3）与△ABC全等的格点三角形是△DBC，△DAB，△DAC，
故答案为：△DBC，△DAB，△DAC．
5．（2019·江苏姑苏区·八年级期中）在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
其中m、n为正整数，且m＞n．
（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．
（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a= ，b= ，c= ．
（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
【答案】（1）a、b、c的值能为直角三角形三边的长；理由见解性；（2）a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形；理由见解析；
【解析】
解：（1）当m=2，n=1时，a=5、b=4、c=3，
∵32+42=52，
∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；
（2）观察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；
（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，
∵a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4，
b2+c2=m4﹣2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，
∴a2=b2+c2，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．
6．（2019·无锡市玉祁初级中学八年级期中）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
（1）若∠BAC=40°，求∠AEB的度数；
（2）求证：∠AEB=∠ACF；
（3）求证：EF2+BF2=2AC2．
【答案】（1）∠AEB=25°；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
解：（1）∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAC=40°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=40°+90°=130°，
∴∠AEB=（180°﹣130°）÷2=25°；
（2）∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAF=∠CAF．
在△BAF和△CAF中
，
∴△BAF≌△CAF（SAS），
∴∠ABF=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF；
（3）∵△BAF≌△CAF，
∴BF=CF，
∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=90°，AC=AE，
∴EC2=AC2+AE2=2AC2，即EF2+BF2=2AC2．
∴AC2＋AB2＝BC2，
7．（2019·江苏姜堰区·八年级期中）在△ABC中，AB=13，AC=5，BC边上的中线AD=6，点E在AD的延长线上，且AD=DE．
（1）试判断△ABE的形状并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）△ABE是直角三角形；证明见解析；（2）30
【解析】
（1）∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD．
在△ACD与△EBD中，∵，∴△ACD≌△EBD，∴BE=AC=5．
∵AD=DE=6，∴AE=12．
∵AE2+BE2=52+122=169，AB2=132=169，∴AE2+BE2= AB2，∴∠E=90°，∴△ABE是直角三角形．
（2）∵△ACD≌△EBD ，∴S△ABC=S△ABE=×EA×BE=×12×5 =30．
8．（2019·江苏鼓楼区·南京市第二十九中学八年级期中）如图，已知等边，点为内的一点，连接、、，，以为边向上方作等边，连接（）.
（1）求证：≌
（2）若，，则的面积为 .
（3）若，，（为大于1的整数）.求证：.
【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析
【解析】
（1）证明：在等边中，，，即
在等边中，，，即
∴
∴
在和中
∴≌（）
（2）由（1）得，
∵
∴
∴
则,
∴
∵
∴是等边三角形
∴
（3）证明：∵是等边三角形
∴，
由（1）得≌
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
在中，由勾股定理得.
9．（2021·江苏锡山区·八年级期中）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：
（1）试说明；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．
【答案】（1）证明见解析；（2）5cm
【解析】
证明：（1）如图：
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1＝∠3，
由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，
∴△ADC≌△CEB；
（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，
∵∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），
∴每块砖厚度为5cm．
10．（2020·江苏赣榆区·八年级期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
【答案】解：(1)是，理由见解析； (2)新路CH比原路CA少0.05千米．
【解析】
解：(1)是，理由如下：
在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，
即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
(2)设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知设AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，
故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
11．（2019·江苏常熟市·八年级期中）已知，在长方形中，，，点，分别是边，上的点，连接，，．
（1）如图①，当时，试说明是直角三角形；
（2）如图②，若点是边的中点，平分，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
（1）∵，，，
∴，，BF=4，
∵四边形是长方形，
∴.
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴是直角三角形，且．
（2）如图，作于，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
∵点E为AB中点，
∴BE=AE=4，
∴
在与中，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，即．
12．（2021·江苏锡山区·八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ．
（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析
【解析】
解：（1）填直角梯形，长方形；
（2）如图，
（3）证明：∵△ABD为等边三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝60°，
∵∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
又∵BE＝BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
13．（2019·无锡外国语学校八年级期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AD＝8，CD＝4，BD＝2，
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）动点P从点A出发，向终点B运动，速度为每秒1个单位，运动时间为t秒．
①当t为何值时，△PDC≌△BDC；
②当t为何值时，△PBC是等腰三角形．
【答案】（1）答案见解析；（2）①t=6s；②t=5s或s或6s
【解析】
（1）证明：由题意知，AB=AD+BD=8+2=10，∴，
又， ，
∴，∴△ABC是直角三角形；
（2）①如图，若PD=BD，则在△PDC和△BDC中，
PD=BD，∠PDC=∠BDC，CD=CD，△PDC≌△BDC，
此时AP=AD-PD=8-2=6，∴t=，
即t=6s时，△PDC≌△BDC；
②此题分三种情况：
a、如图，若PC=PB，则△PBC是等腰三角形，
此时，，
由可得：，即16=4PD+4，∴PD=3，
∴AP=AD-PD=8-3=5，t=；
b、如图，若BC=PB，则△PBC是等腰三角形，
此时，AP=AB-PB=10-，t=；
c、如图，若BC=PC，则△PBC是等腰三角形，
则由题意得：PD=DB=2，
此时AP=AD-PD=8-2=6，t=；
综上所述，当t=5s或或6s时，△PBC是等腰三角形．
14．（2019·无锡市钱桥中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，取斜边AB的中点E，易得△BCE是等边三角形，从而得到“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”利用这个结论解决问题：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，若动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A．B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段DC的长；
（2）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．
【答案】（1）；（2）t的值为或或
【解析】
（1）在Rt△ABC中，利用结论可得,
∴
在Rt△ADP中，由题意AP=2t，PD=t，
∴，
∴
∵点P不与点A.B重合，∴
故.
（2）①当PQ的垂直平分线与PQ交于点G，且经过AB的中点F时，如图1，
在△APD和△QPD中，
∴
∴PA=PQ，∠PQD=∠A=30°，AD=QD=
∵GF是PQ的中垂线，∴，
在△APD和△FPG中，
∴
∴PA=PF=2t
∵F为AB中点，∴AF=PA+PF=AB，
即2t+2t=2，解得t=
②当PQ的垂直平分线经过AC的中点M时，如图2，
由①可知PG=QG=PQ=t，
在Rt△MGQ中，设MG=x，∵∠MQG=30°，∴MQ=2x
由勾股定理得
即，解得或（舍去）
∴，
∵M为AC的中点，∴AM=AC=，
AM+MQ=2AD，即+=，解得t=
③当PQ的垂直平分线经过BC的中点N，与AB的延长线交于H点时，如图3，
在Rt△PFG中，，
∵∠ABC=∠H+∠BNH=60°，∴∠BNH=∠H=30°，∴BH=BN==1
同①可证△PHG≌△PAD，∴PH=PA=2t，
由AB+BH=PA+PH=2PA得4+1=4t，解得t=
综上，当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.
15．（2019·镇江实验学校八年级期中）阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和全等解决问题．
如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECD具有共同的顶点C，我们容易证明△BCE≌△ACD，从而得到BE= ；
理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD=5，BD=4，CD=3，以CD为边在它的下方作等边三角形CDE，求∠BDC的度数；
应用：如图3，在△ABC中，AC=10，BC=12，点D在△ABC外，位于BC下方，△ABD为等边三角形，当∠ACD=30°时， ．
【答案】阅读：AD；理解：150°；应用：44
【解析】
解：阅读：如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，
故答案为：AD；
理解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD＝3，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD＝5，
∵BD2+DE2＝42+32＝25，BE2＝25，
∴BD2+DE2＝BE2，
∴△BDE是直角三角形，∠BDE＝90°，
∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°+60°＝150°；
应用：以CD为边在△ABC的下方作等边△CDE，连接AE，如图3所示：
则∠CDE＝∠DCE＝60°，CD＝ED，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝BD，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴AE＝BC＝12，
∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝30°+60°＝90°，
∴CE2＝AE2﹣AC2＝122﹣102＝44，即CD2=44．
故答案为：44．
16．（2020·盐城市初级中学八年级期中）如图，△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．
（1）请判断△ABC的形状，说明理由．
（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q两点之间的距离为？
【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）当t＝3、6或5.4 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；（3）当t为秒或秒，P、Q两点之间的距离为．
【解析】
解：（1）△ABC是直角三角形．
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AC2＋BC2＝100＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）如图，当点P在AC上时，CP＝CB＝6，则t＝6÷2＝3秒，
；
如图，当点P在AB上时，分两种情况：
若BP＝BC＝6，则AP＝4，
故t＝（8＋4）÷2＝6秒；
若CP＝CB＝6，作CM⊥AB于M，则
×AB×MC＝×BC×AC，
×10×MC＝×6×8，
解得MC＝4.8，
∴由勾股定理可得PM＝BM＝3.6，即BP＝7.2，
∴AP＝2.8，
故t＝（8＋2.8）÷2＝5.4秒．
综上所述，当t＝3、6或5.4 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；
（3）①如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时（0≤t≤4），
由勾股定理可得：（2t）2＋t2＝10，
解得t＝；
②当点P在AB上，点Q在BC上时，
当P运动到A点时，t=4，
此时PQ=，
当Q运动到B点时，t=6，
此时PQ的长为10-2×（6-4）=6，
∴PQ的长大于6且小于，不符合题意；
③当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时（8＜t≤9），
由题可得：2t＋t−24＝，
解得t＝，
∵t＝>9，
∴不成立，舍去．
④如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧时（6≤t＜8），
由题可得：24−2t−t＝，
解得t＝；
综上所述，当t为秒或秒，P、Q两点之间的距离为．
m
2
3
3
4
…
n
1
1
2
3
…
a
22+12
32+12
32+22
42+32
…
b
4
6
12
24
…
c
22﹣12
32﹣12
32﹣22
42﹣32
…
考点一、判断直角三角形
1．（2020·无锡市大桥实验学校八年级期中）已知△ABC中，a､b､c分别是∠A､∠B､∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A=∠C-∠BB．a：b：c=25：7：24
C．D．
【答案】D
【解析】
解：A.由∠A=∠C-∠B且∠A +∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC是直角三角形，A选项不符合题意；
B.设a=25，b=7，c=24，此时，故△ABC是直角三角形，B选项不符合题意；
C. 由条件可得到，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形，C选项不符合题意；
D.此时，故△ABC不是直角三角形，符合题意．
故答案选D．
2．（2020·泰兴市济川初级中学八年级期中）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=，b=，c=B．∠A+∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：3：2D．(b+c)(b﹣c)=a2
【答案】A
【解析】
解：A. +=≠，故不是直角三角形，该选项符合题意；
B . ∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则有2∠C=180°，即∠C=90°，故三角形为直角三角形，该选项不符合题意；
C, 因为∠A：∠B：∠C =1：3：2，则最大角为180°×90°，是直角三角形，该选项不符合题意；
D、因为，即b2-c2=a2，可得b2 =a2+c2，则三角形为直角三角形，该选项不符合题意．
故选A．
3．（2021·南京外国语学校八年级期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a2﹣b2＝c2D．a：b：c＝7：24：25
【答案】A
【解析】
解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、因为∠C＝∠A﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
C、因为a2﹣b2＝c2，a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；
D、因为a：b：c＝7：24：25，设a＝7x，b＝24x，c＝25x，（7x）2+（24x）2＝（25x）2，故△ABC是直角三角形．
故选：A．
4．（2019·江苏阜宁县·八年级期中）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1∶2∶3B．三边长的平方之比为1∶2∶3
C．三边长之比为3∶4∶5D．三内角之比为3∶4∶5
【答案】D
【解析】
A、设三个内角的度数为，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为30°，60°，90°，故此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
C、设三条边为，，，则有，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、设三个内角的度数为，，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选D．
5．（2019·海安市李堡中学八年级期中）已知三角形三边长为a，b，c，如果+|b﹣8|+（c﹣10）2＝0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形D．不是直角三角形
【答案】C
【解析】
因为＋|b－8|＋(c－10)2＝0，
所以有(a－6) 2 =0， ，|c－10|=0，
所以a=6，b=8，c=10，因为 a2+b2=c2 ，
所以△ABC的形状是以c为斜边的直角三角形，
故选C
6．（2020·宿迁市钟吾初级中学八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．150 °
【答案】B
【解析】
解：连接AC，
由勾股定理得：AC=BC=，AB=，
∵AC2+BC2=AB2=10，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
故选：B．
7．（2020·江苏射阳县·八年级期中）如图，在四边形中，，，，且，试说明为直角三角形．
【答案】见解析
【解析】
根据题意，为等腰直角三角形，
∴
又∵，即
根据勾股定理逆定理所以为直角三角形．
考点二、根据逆定理求解
1．（2020·江苏邳州市·八年级期中）三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的面积是_____．
【答案】6
【解析】
三角形的三边长分别为3，4，5，
∵52＝32+42，
∴此三角形为直角三角形，
∴这个三角形的面积＝×3×4＝6．
故答案为：6．
2．（2019·江苏连云港市·八年级期中）如图，已知．求图中阴影部分的面积．
【答案】
【解析】
在中，，
根据勾股定理，，
在中，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴.
3．（2019·江苏阜宁县·八年级期中）在四边形中，，求四边形的面积.
【答案】四边形的面积为
【解析】
根据勾股定理可得：
又∵
∴是直角三角形，
∴四边形的面积=
4．（2020·泰兴市济川初级中学八年级期中）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)请作出△ABC以直线l为对称轴的对称的△DEF；
(2)图中格点△ABC的面积为 ；
(3)判断格点△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）△ABC为直角三角形，理由见解析
【解析】
解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
；
（2）解：图中格点△ABC的面积=4×4-×4×2-×4×3-×2×1=5；
故答案为：5；
（3）解：格点△ABC是直角三角形．理由如下：
由勾股定理可得：AB2=32+42=25，BC2=42+22=20，AC2=22+12=5，
∴BC2+AC2=20+5=25，AB2=25，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
5．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形．
（1）求图中格点四边形ABCD的面积；
（2）求四边形ABCD的周长；
（3）求∠ADC的度数．
【答案】（1）12.5；（2）；（3）90°
【解析】
解：（1）根据题意得：
四边形ABCD的面积=5×5-×3×3-×2×3-×2×4-×2×1=12.5；
（2）由勾股定理得：
AD=，AB=，
BC=，CD=，
∴四边形ABCD的周长==；
（3）∵AD2+CD2=5+20=25，AC2=52=25，
∴AD2+CD2=AC2，
∴三角形ADC为直角三角形，∠ADC=90°．
6．（2020·江苏海安市·八年级期中）（1）已知直角三角形的两条直角边的长分别为+1和-1，求斜边c的长.
（2）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由.
【答案】（1）；（2）直角三角形，证明见解析．
【解析】
（1）
∵，
（2）∵，，
∴
此三角形为直角三角形．
7．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）如图，在ΔABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9，
（1）求DC的长；
（2）求证：ΔABC是直角三角形．
【答案】（1）12 ；（2）证明见解析．
【解析】
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
在Rt△CDB中，∵BC=15，DB=9，
∴根据勾股定理，得CD==12；
（2）证明：Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2，
∴122+AD2=202，
∴AD=16，
∴AB=AD+BD=16+9=25，
∴AC2+BC2=202+152=625=AB2
∴△ABC是直角三角形．
8．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，点D为AB上的一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2．
（1）试说明△AED是直角三角形；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
证明：（1）∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD
∵AD2+DB2=DE2
∴AD2+ AE 2=DE2
∴△AED是直角三角形，且∠EAD=90°；
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下
∵△AED是直角三角形，且∠EAD=90°；
∴∠EAC＋∠CAB=90°
∵△ACE≌△BCD，
∴AC=BC，∠EAC=∠DBC
∴∠DBC＋∠CAB=90°
∴△ABC是等腰直角三角形．
考点三、逆定理的实际应用
1．（2019·盐城市初级中学）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为_______.
【答案】6
【解析】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AB=5，AC=4，
∴，
S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积
=
=
=
=
=
=6.
2．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为120cm，宽为50cm，对角线为130cm，则这个桌面______________（填“合格”或“不合格”）
【答案】合格
【解析】
如图结合已知AD=120cm，AB=50cm，BD=130cm
∵AD2+AB2=1202+502=16900cm2
而BD2=1302=16900cm2
∴AD2+AB2=BD2
∴ΔABD为直角三角形，∠A=90º
同理∠ABC=∠BCD=90º
∴长方形桌面合格．
故答案为：合格．
3．（2019·江苏东台市实验中学八年级期中）学校计划在如图所示的空地 ABCD 上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD ＝ 6m ，AD ＝ 8m ， AB＝26m ， BC＝ 24m .
（1）求出空地 ABCD 的面积；
（2）若每种植 1 平方米草皮需要 200 元，问总共需投入多少元.
【答案】（1）96；
（2）19200元.
【解析】
解：（1）在Rt△ACD中，，
在△ABC中，，，
而，
即，
∴，
.
（2）需费用96×200=19200（元）．
4．（2020·江苏射阳县·八年级期中）如图，在四边形中，，，，且，试求四边形的面积．
【答案】
【解析】
如图，连接AC，
则在△ABC中，，
又∵，，
，，
∴，△ACD为直角三角形，AC⊥AD，
∴SABCD=S△ABC+S△ACD==．
1．（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”(格线的交点)，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，可以画等腰三角形和直角三角形的个数分别是( )
A．2和3B．3和3C．2和4D．3和4
【答案】A
【解析】
解：（1）如图，为等腰三角形有两种
由勾股定理易知：ED=DC=, 符合题意，
由勾股定理易知：AE=EC=,符合题意，
（2）如图，为直角三角形有三种
由勾股定理及格点图知：AB=2，BE=4，AE=, 满足，由勾股定理逆定理知∆ABE为直角三角形，
由勾股定理及格点图知：BC=2，BE=4，CE=, 满足，由勾股定理逆定理知∆CBE为直角三角形，
由勾股定理及格点图知：DC=，DE=，CE=, 满足，由勾股定理逆定理知∆CDE为直角三角形，
故选：A
2．（2020·江苏句容市·）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块，按图中的方式组成图案，则选取的三块纸片的不可能的是（ ）
A．1，2，3B．1，3，4C．2，3，5D．3，4，5
【答案】D
【解析】
解：当选取的三块纸片的面积分别是1，2，3时，围成的三角形的三边长分别为1，，，又，所以能组成图案；
当选取的三块纸片的面积分别是1，3，4时，围成的三角形的三边长分别为1，，2，又，所以能组成图案；
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的三角形的三边长分别为，，，又，所以能组成图案；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形的三边长分别为，2，，又，所以围成的三角形不是直角三角形；
∴选取的三块纸片的不可能的是3，4，5．
故选：D．
3．（2020·泰兴市洋思中学八年级期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在△ABC中，若∠B＝∠C+∠A，则△ABC是直角三角形；
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形；
C．在△ABC中，若∠A︰∠B︰∠C＝3︰4︰5，则△ABC是直角三角形；
D．在△ABC中，若a︰b︰c＝5︰4︰3，则△ABC是直角三角形．
【答案】C
【解析】
解：A、∠B＝∠C+∠A，所以∠B=90°，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
B、若a2=（b+c）（b-c），所以a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
C、若∠A：∠B：∠C=3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．
D、若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形，故本选不项符合题意．
故选C．
4．（2019·江苏无锡市·新城中学八年级期中）在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形，如格点三角形△ABC．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）△ABC的形状为 ；
（3）根据图中标示的各点（A、B、C、D、E、F）位置，与△ABC全等的格点三角形是 ．
【答案】（1）2；（2）直角三角形；（3）△DBC，△DAB，△DAC．
【解析】
（1）△ABC的面积为：2×3﹣﹣﹣＝2，
故答案为：2；
（2）由勾股定理得：AC＝＝2，BC＝＝，AB＝＝，
所以AC2+BC2＝AB2，
即∠ACB＝90°，
即△ABC是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（3）与△ABC全等的格点三角形是△DBC，△DAB，△DAC，
故答案为：△DBC，△DAB，△DAC．
5．（2019·江苏姑苏区·八年级期中）在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
其中m、n为正整数，且m＞n．
（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．
（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a= ，b= ，c= ．
（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
【答案】（1）a、b、c的值能为直角三角形三边的长；理由见解性；（2）a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形；理由见解析；
【解析】
解：（1）当m=2，n=1时，a=5、b=4、c=3，
∵32+42=52，
∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；
（2）观察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；
（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，
∵a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4，
b2+c2=m4﹣2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，
∴a2=b2+c2，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．
6．（2019·无锡市玉祁初级中学八年级期中）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
（1）若∠BAC=40°，求∠AEB的度数；
（2）求证：∠AEB=∠ACF；
（3）求证：EF2+BF2=2AC2．
【答案】（1）∠AEB=25°；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
解：（1）∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAC=40°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=40°+90°=130°，
∴∠AEB=（180°﹣130°）÷2=25°；
（2）∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAF=∠CAF．
在△BAF和△CAF中
，
∴△BAF≌△CAF（SAS），
∴∠ABF=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF；
（3）∵△BAF≌△CAF，
∴BF=CF，
∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=90°，AC=AE，
∴EC2=AC2+AE2=2AC2，即EF2+BF2=2AC2．
∴AC2＋AB2＝BC2，
7．（2019·江苏姜堰区·八年级期中）在△ABC中，AB=13，AC=5，BC边上的中线AD=6，点E在AD的延长线上，且AD=DE．
（1）试判断△ABE的形状并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）△ABE是直角三角形；证明见解析；（2）30
【解析】
（1）∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD．
在△ACD与△EBD中，∵，∴△ACD≌△EBD，∴BE=AC=5．
∵AD=DE=6，∴AE=12．
∵AE2+BE2=52+122=169，AB2=132=169，∴AE2+BE2= AB2，∴∠E=90°，∴△ABE是直角三角形．
（2）∵△ACD≌△EBD ，∴S△ABC=S△ABE=×EA×BE=×12×5 =30．
8．（2019·江苏鼓楼区·南京市第二十九中学八年级期中）如图，已知等边，点为内的一点，连接、、，，以为边向上方作等边，连接（）.
（1）求证：≌
（2）若，，则的面积为 .
（3）若，，（为大于1的整数）.求证：.
【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析
【解析】
（1）证明：在等边中，，，即
在等边中，，，即
∴
∴
在和中
∴≌（）
（2）由（1）得，
∵
∴
∴
则,
∴
∵
∴是等边三角形
∴
（3）证明：∵是等边三角形
∴，
由（1）得≌
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
在中，由勾股定理得.
9．（2021·江苏锡山区·八年级期中）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：
（1）试说明；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．
【答案】（1）证明见解析；（2）5cm
【解析】
证明：（1）如图：
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1＝∠3，
由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，
∴△ADC≌△CEB；
（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，
∵∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），
∴每块砖厚度为5cm．
10．（2020·江苏赣榆区·八年级期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
【答案】解：(1)是，理由见解析； (2)新路CH比原路CA少0.05千米．
【解析】
解：(1)是，理由如下：
在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，
即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
(2)设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知设AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，
故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
11．（2019·江苏常熟市·八年级期中）已知，在长方形中，，，点，分别是边，上的点，连接，，．
（1）如图①，当时，试说明是直角三角形；
（2）如图②，若点是边的中点，平分，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
（1）∵，，，
∴，，BF=4，
∵四边形是长方形，
∴.
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴是直角三角形，且．
（2）如图，作于，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
∵点E为AB中点，
∴BE=AE=4，
∴
在与中，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，即．
12．（2021·江苏锡山区·八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ．
（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析
【解析】
解：（1）填直角梯形，长方形；
（2）如图，
（3）证明：∵△ABD为等边三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝60°，
∵∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
又∵BE＝BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
13．（2019·无锡外国语学校八年级期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AD＝8，CD＝4，BD＝2，
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）动点P从点A出发，向终点B运动，速度为每秒1个单位，运动时间为t秒．
①当t为何值时，△PDC≌△BDC；
②当t为何值时，△PBC是等腰三角形．
【答案】（1）答案见解析；（2）①t=6s；②t=5s或s或6s
【解析】
（1）证明：由题意知，AB=AD+BD=8+2=10，∴，
又， ，
∴，∴△ABC是直角三角形；
（2）①如图，若PD=BD，则在△PDC和△BDC中，
PD=BD，∠PDC=∠BDC，CD=CD，△PDC≌△BDC，
此时AP=AD-PD=8-2=6，∴t=，
即t=6s时，△PDC≌△BDC；
②此题分三种情况：
a、如图，若PC=PB，则△PBC是等腰三角形，
此时，，
由可得：，即16=4PD+4，∴PD=3，
∴AP=AD-PD=8-3=5，t=；
b、如图，若BC=PB，则△PBC是等腰三角形，
此时，AP=AB-PB=10-，t=；
c、如图，若BC=PC，则△PBC是等腰三角形，
则由题意得：PD=DB=2，
此时AP=AD-PD=8-2=6，t=；
综上所述，当t=5s或或6s时，△PBC是等腰三角形．
14．（2019·无锡市钱桥中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，取斜边AB的中点E，易得△BCE是等边三角形，从而得到“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”利用这个结论解决问题：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，若动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A．B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段DC的长；
（2）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．
【答案】（1）；（2）t的值为或或
【解析】
（1）在Rt△ABC中，利用结论可得,
∴
在Rt△ADP中，由题意AP=2t，PD=t，
∴，
∴
∵点P不与点A.B重合，∴
故.
（2）①当PQ的垂直平分线与PQ交于点G，且经过AB的中点F时，如图1，
在△APD和△QPD中，
∴
∴PA=PQ，∠PQD=∠A=30°，AD=QD=
∵GF是PQ的中垂线，∴，
在△APD和△FPG中，
∴
∴PA=PF=2t
∵F为AB中点，∴AF=PA+PF=AB，
即2t+2t=2，解得t=
②当PQ的垂直平分线经过AC的中点M时，如图2，
由①可知PG=QG=PQ=t，
在Rt△MGQ中，设MG=x，∵∠MQG=30°，∴MQ=2x
由勾股定理得
即，解得或（舍去）
∴，
∵M为AC的中点，∴AM=AC=，
AM+MQ=2AD，即+=，解得t=
③当PQ的垂直平分线经过BC的中点N，与AB的延长线交于H点时，如图3，
在Rt△PFG中，，
∵∠ABC=∠H+∠BNH=60°，∴∠BNH=∠H=30°，∴BH=BN==1
同①可证△PHG≌△PAD，∴PH=PA=2t，
由AB+BH=PA+PH=2PA得4+1=4t，解得t=
综上，当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.
15．（2019·镇江实验学校八年级期中）阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和全等解决问题．
如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECD具有共同的顶点C，我们容易证明△BCE≌△ACD，从而得到BE= ；
理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD=5，BD=4，CD=3，以CD为边在它的下方作等边三角形CDE，求∠BDC的度数；
应用：如图3，在△ABC中，AC=10，BC=12，点D在△ABC外，位于BC下方，△ABD为等边三角形，当∠ACD=30°时， ．
【答案】阅读：AD；理解：150°；应用：44
【解析】
解：阅读：如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，
故答案为：AD；
理解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD＝3，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD＝5，
∵BD2+DE2＝42+32＝25，BE2＝25，
∴BD2+DE2＝BE2，
∴△BDE是直角三角形，∠BDE＝90°，
∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°+60°＝150°；
应用：以CD为边在△ABC的下方作等边△CDE，连接AE，如图3所示：
则∠CDE＝∠DCE＝60°，CD＝ED，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝BD，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴AE＝BC＝12，
∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝30°+60°＝90°，
∴CE2＝AE2﹣AC2＝122﹣102＝44，即CD2=44．
故答案为：44．
16．（2020·盐城市初级中学八年级期中）如图，△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．
（1）请判断△ABC的形状，说明理由．
（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q两点之间的距离为？
【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）当t＝3、6或5.4 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；（3）当t为秒或秒，P、Q两点之间的距离为．
【解析】
解：（1）△ABC是直角三角形．
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AC2＋BC2＝100＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）如图，当点P在AC上时，CP＝CB＝6，则t＝6÷2＝3秒，
；
如图，当点P在AB上时，分两种情况：
若BP＝BC＝6，则AP＝4，
故t＝（8＋4）÷2＝6秒；
若CP＝CB＝6，作CM⊥AB于M，则
×AB×MC＝×BC×AC，
×10×MC＝×6×8，
解得MC＝4.8，
∴由勾股定理可得PM＝BM＝3.6，即BP＝7.2，
∴AP＝2.8，
故t＝（8＋2.8）÷2＝5.4秒．
综上所述，当t＝3、6或5.4 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；
（3）①如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时（0≤t≤4），
由勾股定理可得：（2t）2＋t2＝10，
解得t＝；
②当点P在AB上，点Q在BC上时，
当P运动到A点时，t=4，
此时PQ=，
当Q运动到B点时，t=6，
此时PQ的长为10-2×（6-4）=6，
∴PQ的长大于6且小于，不符合题意；
③当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时（8＜t≤9），
由题可得：2t＋t−24＝，
解得t＝，
∵t＝>9，
∴不成立，舍去．
④如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧时（6≤t＜8），
由题可得：24−2t−t＝，
解得t＝；
综上所述，当t为秒或秒，P、Q两点之间的距离为．
m
2
3
3
4
…
n
1
1
2
3
…
a
22+12
32+12
32+22
42+32
…
b
4
6
12
24
…
c
22﹣12
32﹣12
32﹣22
42﹣32
…
相关试卷
数学八年级上册3.1 勾股定理优秀测试题： 这是一份数学八年级上册3.1 勾股定理优秀测试题，文件包含专题07勾股定理解析版docx、专题07勾股定理原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
专题03 轴对称及性质八年级数学上学期期中考试好题汇编（苏科版）（解析版）： 这是一份专题03 轴对称及性质八年级数学上学期期中考试好题汇编（苏科版）（解析版），文件包含专题03轴对称及性质八年级数学上学期期中考试好题汇编苏科版原卷版docx、专题03轴对称及性质八年级数学上学期期中考试好题汇编苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
专题04 线段、角的轴对称性八年级数学上学期期中考试好题汇编（苏科版）（解析版）： 这是一份专题04 线段、角的轴对称性八年级数学上学期期中考试好题汇编（苏科版）（解析版），文件包含专题04线段角的轴对称性八年级数学上学期期中考试好题汇编苏科版原卷版docx、专题04线段角的轴对称性八年级数学上学期期中考试好题汇编苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
