新高考数学一轮复习教师用书：第六章　6 第6讲　数学归纳法学案

这是一份新高考数学一轮复习教师用书：第六章　6 第6讲　数学归纳法学案，共12页。

第6讲　数学归纳法

1．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
2．明确数学归纳法的两步证明
数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　)
(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)
(4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
[教材衍化]
1．(选修2­2P99B组T1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
解析：选C.凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.
2．(选修2­2P96A组T2改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________．
答案：3　4　5　n＋1
[易错纠偏]
(1)误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为n＝1；
(2)利用数学归纳法证明时，添加的项出错，或不利用归纳假设．
1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)
A．2 B．3 C．5 D．6
解析：选C.当n＝1时，21＝2＝12＋1，
当n＝2时，22＝4<22＋1＝5，
当n＝3时，23＝8<32＋1＝10，
当n＝4时，24＝16<42＋1＝17，
当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，
当n＝6时，26＝64>62＋1＝37，故起始值n0应取5.
2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是______________．
解析：当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，
当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，
所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．
答案：(2k＋2)＋(2k＋3)


　　　　　　用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．
【证明】　(1)当n＝1时，左边＝＝，
右边＝＝.
左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有
＋＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝
＝
＝.
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．

用数学归纳法证明恒等式的注意事项
(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．
(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．
(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．　
　(2020·温州七校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝1＋＋＋…＋，记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，用数学归纳法证明Sn＝(n＋1)an－n.
证明：当n＝1时，a1＝1，S1＝a1＝1，满足条件．
假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，Sk＝(k＋1)ak－k成立，
则当n＝k＋1时，
因为ak＝1＋＋＋…＋
＝1＋＋＋…＋＋－
＝ak＋1－，
所以Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝(k＋1)ak－k＋ak＋1
＝(k＋1)(ak＋1－)－k＋ak＋1
＝(k＋1)ak＋1－1－k＋ak＋1
＝(k＋2)ak＋1－(1＋k)．
从而Sn＝(n＋1)an－n成立．

　　　　　　用数学归纳法证明不等式
(2020·衢州模拟)在数列{an}中，已知a1＝a(a>2)，且an＋1＝(n∈N*)．
(1)用数学归纳法证明：an>2(n∈N*)；
(2)求证an＋1 【证明】　(1)①当n＝1时，a1＝a>2，命题成立．
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，即ak>2.
则当n＝k＋1时，
ak＋1－2＝－2＝>0，
所以当n＝k＋1时ak＋1>2也成立，
由①②得，对任意正整数n，都有an>2.
(2)an＋1－an＝－an＝，
由(1)可知an>2>0，
所以an＋1
数学归纳法证明不等式的注意事项
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．　
　已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1，a－a＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋＋…＋≤对一切n∈N*恒成立．
解：(1)由a－a＝2得a＝2n－1，
所以an＝.
(2)证明：①当n＝1时，1＝1成立；当n＝2时，左边<右边．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，＋＋＋…＋<成立，
那么当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋
<＋
<＋
＝，不等式成立．
由①②可得＋＋＋…＋≤对一切n∈N*恒成立．

　　　　　　归纳—猜想—证明
(2020·宁波效实中学高三期中)已知数列{an}，a1＝3，an＋1＝(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
【解】　(1)因为a1＝3，且an＋1＝，
所以a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，由此猜想an＝.
(2)证明：①当n＝1时，a1＝＝3，满足要求，猜想成立；
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立，
即ak＝，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝＝，
这就表明当n＝k＋1时，猜想成立，
根据①②可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即an＝.

“归纳——猜想——证明”的模式
“归纳——猜想——证明”的模式是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式．　
　(2020·宁波市九校联考)已知n∈N*，Sn＝(n＋1)·(n＋2)…(n＋n)，Tn＝2n×1×3×…×(2n－1)．
(1)求S1，S2，S3，T1，T2，T3；
(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．
解：(1)S1＝T1＝2，S2＝T2＝12，S3＝T3＝120.
(2)猜想：Sn＝Tn(n∈N*)．
证明：①当n＝1时，S1＝T1；
②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝Tk，
即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)，
则当n＝k＋1时，
Sk＋1＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)
＝(k＋2)(k＋3)…(2k)(2k＋1)(2k＋2)
＝×(2k＋1)(2k＋2)
＝2k＋1×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝Tk＋1.
即n＝k＋1时也成立，
由①②可知，n∈N*，Sn＝Tn成立．
[基础题组练]
1．凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　)
A．f(n)＋n＋1　　　　　 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)
A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)
B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)
C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)
D．假设n＝k时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N*)
解析：选B.因为n为正奇数，所以n＝2k－1(k∈N*)．
3．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．
解析：当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋ 答案：2k
4．(2020·绍兴模拟)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为________．
解析：因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.
答案：f(2n)>(n≥2，n∈N*)
5．已知数列{an}满足，a1＝1，an＝－.
(1)求证：≤an≤1；
(2)求证：|an＋1－an|≤.
证明：(1)由已知得an＋1＝，计算a2＝，a3＝，a4＝，猜想≤an≤1.
下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，命题显然成立；
②假设n＝k时，有≤an≤1成立，则当n＝k＋1时，ak＋1＝≤＜1，
ak＋1＝≥＝，即当n＝k＋1时也成立，
所以对任意n∈N*，都有≤an≤1.
(2)当n＝1时，|a1－a2|＝，
当n≥2时，因为(an＋)(an－1＋)＝(an＋)·＝1＋≥1＋＝，
所以|an＋1－an|＝
＝≤|an－an－1|≤…≤|a2－a1|＝·.
6．(2020·温州高考模拟节选)已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝4，且2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值；
(2)猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
解：(1)因为2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，
且a1＝2，b1＝4.
令n＝1，得到解得a2＝6，b2＝9；同理令n＝2，3分别解得a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
(2)证明：猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．
②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，
bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
7．(2020·台州市高三期末考试)在正项数列{an}中，已知a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)证明：an≥.
解：(1)因为在正项数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)，
所以a2＝2×1－＝，a3＝2×－＝.
(2)证明：①当n＝1时，由已知a1＝1≥＝1，不等式成立；
②假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥，
因为f(x)＝2x－在(0，＋∞)上是增函数，
所以ak＋1＝2ak－≥2－
＝＋－
＝＋
＝＋，
因为k≥1，所以2×－3≥2×－3＝0，
所以ak＋1≥，
即当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据①②知不等式对任何n∈N*都成立．
8．(2020·台州市书生中学月考)已知数列{an}中，a1＝，an≠0，Sn为该数列的前n项和，且Sn＋1＝an(1－an＋1)＋Sn，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若不等式an＋an＋1＋an＋2＋…＋a3n>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论．
解：(1)因为Sn＋1＝an(1－an＋1)＋Sn，n∈N*，
所以Sn＋1－Sn＝an(1－an＋1)，
所以an＋1＝an(1－an＋1)＝an－anan＋1，
所以an－an＋1＝anan＋1.又an≠0，
所以－＝1，
所以构成以2为首项，以1为公差的等差数列，
所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
所以an＝，n∈N*.
(2)当n＝1时，＋＋>，即>，
所以a<26.
而a是最大的正整数，
所以取a＝25.
下面用数学归纳法证明：＋＋…＋>.
①当n＝1时，已证；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，
有＋＋…＋
＝＋＋…＋＋＋＋－>＋.
因为＋＝>＝，
即＋>，
所以＋－>0.
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由①②知，对一切正整数n，都有
＋＋…＋>，
所以a的最大值等于25.
[综合题组练]
1．(2020·宁波市诺丁汉大学附中高三期中考试)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a＋2an，n∈N*，设bn＝log2(an＋1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求证：1＋＋＋…＋＜n(n≥2)；
(3)若2cn＝bn，求证：2≤＜3.
解：(1)由an＋1＝a＋2an，
则an＋1＋1＝a＋2an＋1＝(an＋1)2，
由a1＝3，则an＞0，两边取对数得到
log2(an＋1＋1)＝log2(an＋1)2＝2 log2(an＋1)，
即bn＋1＝2bn.
又b1＝log2(a1＋1)＝2≠0，
所以{bn}是以2为公比的等比数列．
即bn＝2n.
又因为bn＝log2(an＋1)，
所以an＝22n－1.
(2)证明：用数学归纳法证明：①当n＝2时，左边为1＋＋＝＜2＝右边，此时不等式成立；
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，
则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋
＜k＋＋＋…＋＜k＋＋＋…＋2k个,＜k＋1＝右边，
所以当n＝k＋1时，不等式成立．
综上可得，对一切n∈N*，n≥2，命题成立．
(3)证明：由2cn＝bn得cn＝n，
所以＝＝，
首先＝C＋C＋C＋…＋C＋…
＋C≥2，
其次因为C＝＜≤＝－(k≥2)，
所以＝C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＜1＋1＋1－＋－＋…＋－＝3－＜3，
当n＝1时显然成立．所以得证．
2．已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nan(n∈N*)，e为自然对数的底数．
(1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较与e的大小；
(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明．
解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex.
当f′(x)>0，即x<0时，f(x)单调递增；
当f′(x)<0，即x>0时，f(x)单调递减.
故f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞).
当x>0时，f(x) 令x＝，得1＋ 即n (2)＝1·1＝1＋1＝2；
＝·＝2·22＝(2＋1)2＝32；
＝·＝32·33＝(3＋1)3＝43.
由此推测：＝(n＋1)n.(*)
下面用数学归纳法证明(*)成立．
①当n＝1时，左边＝右边＝2，(*)成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，(*)成立，
即＝(k＋1)k.
当n＝k＋1时，bk＋1＝(k＋1)k＋1ak＋1，
由归纳假设可得
＝·＝(k＋1)k·(k＋1)·k＋1＝(k＋2)k＋1，
所以当n＝k＋1时，(*)也成立.
根据①②可知(*)对一切正整数n都成立.