2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第一章第一讲　集合学案

这是一份2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第一章第一讲　集合学案，共7页。

第一章　集合、常用逻辑用语与不等式
第一讲　集　合


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列说法正确的是(　　)
①集合{x∈N|x3=x},用列举法表示为{ - 1,0,1}.
②{x|y=x2}={y|y=x2}={(x,y)|y=x2}.
③方程x-2 020+(y+2 021)2=0的解集为{2 020, - 2 021}.
④若5∈{1,m+2,m2+4},则m的取值集合为{1, - 1,3}.
⑤若P ∩M=P ∩N=A,则A⊆(M ∩N).
⑥设U=R,A={x|lg x<1},则∁UA={x|lg x≥1}={x|x≥10}.　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①③④ B.⑤⑥ C.⑤ D.②⑤
2.[易错题]已知集合A={x|1x-1<1},则∁RA=(　　)
A.(-∞,2] B.[1,2] C.(1,2] D.(-∞,2)
3.[2020广东四校联考]已知集合A={ - 1,0,1,2,3},B={x|x-2x+1≥0},则A∩B中元素的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.[2020大同市高三调研测试]已知集合A满足{0,1}⊆A⫋{0,1,2,3},则满足条件的集合A的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.[2019全国卷Ⅱ]设集合A={x|x2 - 5x+6>0},B={x|x - 1<0},则A∩B=(　　)
A.( - ∞,1) B.( - 2,1) C.( - 3, - 1) D.(3,+∞)
6.[2019天津高考]设集合A={ - 1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=(　　)
A.{2} B.{2,3} C.{ - 1,2,3} D.{1,2,3,4}


考法1 集合的含义与表示
命题角度1　集合元素的“三性”
1[福建高考]已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系①a≠2,②b=2,③c≠0中有且只有一个正确, 则100a+10b+c等于　　　　. 

给什么得什么
(i){a,b,c}={0,1,2}⇒a,b,c分别为0,1,2中的某一个且不重复.
(ii)①②③中有且只有一个正确.
求什么想什么
求100a+10b+c,实质上需要求a,b,c的值.
差什么找什么
解决本题的突破口显然在条件(ii),即分三种情形,分别假设①②③中有且只有一个成立,然后利用集合中元素的互异性进行分析.
可分下列三种情形:(1)若只有①正确,则a≠2,b≠2,c=0,推出a=b=1,与集合中元素的互异性相矛盾,所以只有①正确是不可能的;(2)若只有②正确,则b=2,a=2,c=0,与集合中元素的互异性相矛盾,所以只有②正确是不可能的;(3)若只有③正确,则c≠0,a=2,b≠2,推出b=0,c=1,满足集合中元素的互异性.所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.
解后反思
解决本例的关键在于集合元素“三性”(确定性、互异性、无序性)的灵活运用,即在求出有关参数后,应检查集合中的元素是否满足“三性”(特别是互异性).
命题角度2　求集合中元素的个数
2 [2018全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)| x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9 B.8 C.5 D.4

目标是什么
确定A中元素个数.
给什么得什么
A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},若从“数”的角度分析:由x2≤3 - y2≤3得 - 3≤x≤3,又x∈Z,所以x = ±1,0,同理得y=±1,0,再检验是否同时满足x2+y2≤3即可.若从“形”的角度分析:集合A实质上是圆x2+y2=3内(包括圆上)的整点(纵、横坐标均为整数)组成的集合,可以通过画图形来确定整点的个数.
解法一　由x2+y2≤3知, - 3≤x≤3, - 3≤y≤3.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{ - 1,0,1},y∈{ - 1,0,1}.当x= - 1时,y=1,0,1;当x=0时,y= - 1,0,1;当x=1时,y= - 1,0,1.所以A中元素的个数为9.
解法二　根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图1 - 1 - 1,易知在圆x2+y2=3中有9个整点,即集合A中的元素个数为9.

图1 - 1 - 1
A
1.[2017全国卷Ⅲ]已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
考法2 集合间的基本关系
3(1)已知集合A={x∈Z|x2 - 2x - 3≤0},B={y|y=2x},则A ∩B的子集的个数为　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.10 B.16 C.8 D.7
(2)已知集合A={0,1},B={x|x⊆A},则下列集合A与B的关系中正确的是
A.B∈A B.A⫋B C.B⫋A D.A∈B
(1)根据集合A,B确定集合A∩B,代入公式求解.(2)确定集合B,即可判断集合A,B的关系.
(1)(公式法)因为A={ - 1,0,1,2,3},B=(0,+∞),所以A∩B={1,2,3},其子集的个数为23=8.
(2)因为x⊆A,所以B={∅,{0},{1},{0,1}},又集合A={0,1}是集合B中的元素,所以A∈B.
(1)C　(2)D
第(2)小题易错选B.题中所给的两个集合比较特殊,集合B中的元素就是集合,当集合A是集合B中的元素时,A与B是属于关系.
解题时要思考两个问题: (1)两个集合中的元素分别是什么;(2)两个集合中元素之间的关系是什么.
4 (1)[2020湖北武汉模拟]已知集合A={x| - 2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m - 1},若B⊆A,则实数m的取值范围为　　　　　. 
(2)若将(1)中“集合A={x| - 2≤x≤5}”改为“集合A={x|x< - 2或x>5}”,则实数m的取值范围为　　　　. 
(1)因为B⊆A,所以分以下两种情况.
①若B=∅,则2m - 1 ②若B≠∅,则2m-1≥m+1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3.由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为( - ∞,3].
(2)因为B⊆A,所以分以下两种情况.
①若B=∅,则2m - 1 ②若B≠∅,则m+1≤2m-1,m+1>5或m+1≤2m-1,2m-1<-2,解得m>4.
综上可知,实数m的取值范围为( - ∞,2)∪(4,+∞).
2.(1)[2020山东青岛两校联考]已知集合M={x|y=x-1},N={y|y=x-1},则M与N的关系为(　　)
A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N=∅
(2)[2020湖南岳阳两校联考]设集合A={0, - 4},B={x|x2+2(a+1)x+a2 - 1=0,x∈R}.若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　　. 
考法3 集合的基本运算
5 (1)[2018全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x2 - x - 2>0},则∁RA=
A.{x| - 1 C.{x|x< - 1}∪{x|x>2} D.{x|x≤ - 1}∪{x|x≥2}
(2)[2019全国卷Ⅰ]已知集合M={x| - 4 A.{x| - 4 C.{x| - 2 (1)解法一　∵ A={x|(x - 2)(x+1)>0}={x|x< - 1或x>2},∴∁RA={x| - 1≤x≤2}.
解法二　∵ A={x|x2 - x - 2>0},∴∁RA={x|x2 - x - 2≤0}={x| - 1≤x≤2}.
(2)解法一　∵ N={x| - 2 解法二　由(M∩N)⊆M可排除A,D.由1∈M,1∈N,知1∈(M∩N),排除B,选C.
(1)B　(2)C
6 (1)设集合A={x| - 1≤x<2},B={x|x A. - 12 C.a≥ - 1 D.a> - 1
(2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为
A.0 B.1 C.2 D.4

(1)借助数轴来求解 A∩B≠∅,则集合A,B在数轴上有重叠的部分确定a在数轴上的位置,得到其取值范围
(2)a∈(A∪B),a2∈(A∪B)确定a和a2的值

(1)因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,在数轴上表示出集合A,B,如图1 - 1 - 2所示,易知a> - 1.

图1 - 1 - 2
(2)根据并集的概念,可知{a,a2}={4,16},故a=4.
(1)D　(2)D
第(1)小题易忽视讨论区间端点值而致误.这里a不能取 - 1,因为当a= - 1时,B={x|x< - 1},这时A∩B=∅,不符合题意.
3.(1)[2020百校联考]已知集合A={x|x2+2x=0},B={x|2|x - 1|=2},则A∪B=(　　)
A.{0} B.{0,2} C.{0, - 2} D.{ - 2,0,2}
(2)[2020湖北八校第一次联考]已知集合X={x|ex>12},Y={x|x2+x - 6≤0},则(∁RX)∩Y= (　　)
A.[ - 3, - ln 2) B.[ - 2, - ln 2] C.[ - 3, - ln 2] D.[ - ln 2,2]



数学探究 集合中的创新问题
7 [2015湖北高考]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|
(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为
A.77 　　　B.49 C.45 　　　D.30
因为集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合A中有 5个元素(即5个点),即图1 - 1 - 3中圆内及圆上的整点.集合B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}中有25个元素(即25个点),即图1 - 1 - 3中正方形 ABCD内及正方形ABCD上的整点.集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}中的元素可看作图1 - 1 - 3中正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点,共7×7 - 4=45(个).

图1 - 1 - 3
C
素养探源 　
核心素养
考查途径
素养水平
直观想象
利用直角坐标系画图可以形象直观地分析和解决问题.
二
逻辑推理
由A和B中的元素推断A⊕B中的元素个数.
二

4.当两个集合有公共元素,且互不为对方的子集时,我们称这两个集合“相交”.对于集合M={x|ax2 - 1=0,a>0},N=
{ - 12,12,1},若M与N“相交”,则a=　　　　　. 
2








1.C　对于①,由于 - 1∉N,故①错误.
对于②,{x|y=x2}=R,{y|y=x2}={y|y≥0}=[0,+∞),以上两集合均为数集,{(x,y)|y=x2}表示抛物线y=x2上所有点的集合,故②错误.
对于③,方程中含有两个未知数,解集为{(2 020, - 2 021)},故③错误.
对于④,当m= - 1时,m+2=1,不满足集合中元素的互异性,故④错误.易知⑤正确.
对于⑥,A={x|0 2.B　由1x-1<1得x<1或x>2,所以A=( - ∞,1)∪(2,+∞),所以∁RA=[1,2],故选B.
3.B　由x-2x+1≥0可得x< - 1或x≥2,所以B={x|x< - 1或x≥2},则A∩B={2,3},A∩B中有2个元素,故选B.
4.C　由题意可知A可能为{0,1},{0,1,2},{0,1,3},则满足条件的集合A的个数为3,故选C.
5.A　因为A={x|x2 - 5x+6>0}={x|x>3或x<2},B={x|x - 1<0}={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.
6.D　由题意可得A∩C={1,2},故(A∩C)∪B={1,2,3,4}.故选D.

1.B　集合A表示圆x2+y2=1上的点的集合,集合B表示直线y=x上的点的集合,直线y=x与圆x2+y2=1有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.
2.(1)B　由题意知M=[1,+∞),N=[0,+∞),则M⊆N.故选B.
【易错警示】　注意集合M中的代表元素是x,集合M表示函数y=x-1的定义域,集合N中的代表元素是y,集合N表示函数y=x-1的值域.
(2)( - ∞, - 1]∪{1}　①当B=A时,B={0, - 4},则0和 - 4是方程x2+2(a+1)x+a2 - 1=0的两个根,由此可得Δ=4(a+1)2-4(a2-1)>0,-2(a+1)=-4,a2-1=0,解得a=1;
②当B≠∅且B≠A时,B={0}或B={ - 4},
则Δ=4(a+1)2 - 4(a2 - 1)=0,解得a= - 1,此时B={0},满足题意;
③当B=∅时,Δ=4(a+1)2 - 4(a2 - 1)<0,解得a< - 1.
综上所述,实数a的取值范围是( - ∞, - 1]∪{1}.
3.(1)D　因为A={x|x2+2x=0}={ - 2,0},B={x|2|x - 1|=2}={0,2},所以A∪B={ - 2,0,2}.
(2)C　由已知得X=( - ln 2,+∞),Y=[ - 3,2],所以∁RX=( - ∞, - ln 2],所以(∁RX)∩Y=[ - 3, - ln 2],故选C.
4.1　M={ - 1a,1a},若1a=12,则a=4;若1a=1,则a=1.
当a=4时,M={ - 12,12},此时M⊆N,不合题意;
当a=1时,M={ - 1,1},满足题意.故a=1.