2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第九章第四讲　双曲线学案

这是一份2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第九章第四讲　双曲线学案，共11页。

第四讲　双曲线


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.[多选题]以下说法正确的是 (　　)
A.若点(2,3)在焦距为4的双曲线x2a2- -y2b2=1(a>0,b>0)上,则此双曲线的离心率e=1
B.若点F,B分别是双曲线x2a2- -y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上
C.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于2
D.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与y2b2- -x2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1(称这两条双曲线互为共轭双曲线)
2.[2016全国卷Ⅰ]已知方程x2m2+n- -y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(　　)
A.( - 1,3) B.( - 1,3) C.(0,3) D.(0,3)
3.[2019全国卷Ⅲ]双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F ,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF |,则
△PF O的面积为(　　)
A.324 B.322 C.22 D.32
4.[2019全国卷Ⅱ]设F 为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF |,则C的离心率为 (　　)
A.2 B.3 C.2 D.5
5.[2018天津高考]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　)
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.x23-y29=1 D.x29-y23=1
6.[双空题]已知双曲线E:x2a2- -y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程是22x-y=0,则双曲线E的离心率e=;若双曲线E的实轴长为2,过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C:x2+y2-2x+4y+m=0相切,则实数m的取值范围是　　　　. 

　　　　　　　　　　　　　　　　
考法1 双曲线定义的应用
1(1)已知点F 1( - 3,0)和F 2(3,0),动点P到F 1,F 2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为
A.x24-y25=1(y>0) B.x24-y25=1(x>0)
C.y24-x25=1(y>0) D.y24-x25=1(x>0)
(2)已知F 1,F 2为双曲线C:x2 - y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|·|PF 2|=
A.2 B.4 C.6 D.8
(1)由题设知点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支,(注意“距离之差”与“距离之差的绝对值”的区别)
设其方程为x2a2-y2b2=1(x>0,a>0,b>0),由题设知c=3,a=2,则b2=5,所以点P的轨迹方程为x24-y25=1(x>0).
(2)由双曲线的方程得a=1,c=2,
由双曲线的定义得||PF 1| - |PF 2||=2.
在△PF 1F 2中,由余弦定理得
|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2 - 2|PF 1|·|PF 2|cos 60°,
即(22)2=|PF 1|2+|PF 2|2 - |PF 1|·|PF 2|
=(|PF 1| - |PF 2|)2+|PF 1|·|PF 2|
=22+|PF 1|·|PF 2|,
解得|PF 1|·|PF 2|=4.
(1)B　(2)B
1.[2020广东七校第一次联考]P是双曲线C:x22 - y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,F 1是双曲线C的左焦点,则|PF 1|+|PQ|的最小值为(　　)
A.1 B.2+155 C.4+155 D.22+1
考法2 求双曲线的标准方程
2 [2017全国卷Ⅲ]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,且C与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为
A.x28-y210=1　 B.x24-y25=1　 C.x25-y24=1　 D.x24-y23=1
思路一　根据双曲线的渐近线方程得出a,b的关系,根据C与椭圆共焦点求出c,利用c2=b2+a2求出a2 ,b2,即得双曲线的标准方程.
思路二　利用与椭圆共焦点的双曲线方程的设法求解.
解法一　根据双曲线C的一条渐近线方程为y=52x,可知ba=52　①.因为椭圆x212+y23=1的焦点坐标为(3,0)和( - 3,0),所以a2+b2=9　②,根据①②可知a2=4,b2=5.
所以双曲线C的方程为x24-y25=1.
解法二　因为双曲线与椭圆有共同的焦点,所以设双曲线方程为x212-λ+y23-λ=1(3<λ<12).
令x212-λ+y23-λ=0,得y2=λ-312-λx2.
又双曲线的渐近线方程为y=52x,
所以λ-312-λ=54,解得λ=8.
所以双曲线C的方程为x24-y25=1.
B
3 [2019辽宁五校联考]已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y=±3x,则该双曲线的标准方程是
A.7x216-y212=1　B.y23-x22=1　C.x2 - y23=1　D.3y223-x223=1
解法一　若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则由题意可得4a2-9b2=1,ba=3,解得a=1,b=3,所以双曲线的标准方程为x2 - y23=1;若双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),则由题意可得9a2-4b2=1,ab=3,该方程组无解.
综上,所求双曲线的标准方程为x2 - y23=1.
解法二　设双曲线的方程为x2m-y2n=1(mn>0),则由题意可得4m-9n=1,nm=3,解得m=1,n=3,所以所求双曲线的标准方程为x2 - y23=1.
解法三　因为双曲线的渐近线方程为y=±3x,所以可设双曲线的方程为3x2 - y2=λ(λ≠0),则由双曲线过点(2,3),可得λ=3×22 - 32=3,故双曲线的方程为3x2 - y2=3,其标准方程为x2 - y23=1.
C
2.[2017天津高考]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F ,离心率为2.若经过F 和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(　　)
A.24-y24=1 B.x28-y28=1 C.x24-y28=1 D.x28-y24=1
考点3 双曲线的几何性质
命题角度1　求双曲线的渐近线　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
4(1)[2018全国卷Ⅱ]双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,则其渐近线方程为
A.y=±2x　 B.y=±3x 　 C.y=±22x　 D.y=±32x
(2)[2018全国卷Ⅰ]已知双曲线C:x23 - y2=1,O为坐标原点,F 为C的右焦点,过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=
A.32 B.3 C.2 3 D.4
(1)解法一　由题意知,e=ca=3,所以c=3a,所以b=c2-a2=2a,所以ba=2,所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x.
解法二　由e=ca=1+(ba)2=3,得ba=2,所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x.
(2)易知双曲线x23 - y2=1的渐近线方程为y=±33x,所以∠MON=60°.不妨设过点F 的直线与直线y=33x交于点M,由△OMN为直角三角形,不妨设∠OMN=90°,则∠MF O=60°,又直线MN过点F (2,0),所以直线MN的方程为y= - 3(x - 2),由y=-3(x-2),y=33x,得x=32,y=32,所以M(32,32),所以|OM|=(32)2+(32)2=3,所以|MN|=3|OM|=3.
(1)A　(2)B
命题角度2　求双曲线的离心率或其范围
5[2019全国卷Ⅰ]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1B·F2B=0,则C的离心率为　　　　. 

思路一 由F1B·F2B=0推得F1B⊥F2B由F1A=AB推得F1B⊥OA→由tan∠BOF 2=tan 2∠BF 1O建立关于a,b的方程→可求得离心率的值
思路二 由1B·F2B=0推得F1B⊥F2B由F1A=AB推得△OBF2为等边三角形→由点B在直线y=bax上建立关于a,b的方程→可求得离心率的值
解法一　因为F1B·F2B=0,所以 F 1B⊥F 2B,如图9 - 4 - 1.所以|OF 1|=|OB|,所以
∠BF 1O=∠F 1BO,所以∠BOF 2=2∠BF 1O.因为F1A=AB,所以点A为线段F 1B的中点,又点O为线段F 1F 2的中点,所以OA∥BF 2,所以F 1B⊥OA.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所以tan∠BF 1O=ab,tan∠BOF 2=ba.因为tan∠BOF 2=tan 2∠BF 1O,所以ba=2×ab1-(ab)2,所以b2=3a2,所以c2 - a2=3a2,即2a=c,所以双曲线的离心率e=ca=2.
解法二　因为F1B·F2B=0,所以F 1B⊥F 2B.在Rt△F 1BF 2中,|OB|=|OF 2|,所以∠OBF 2=∠OF 2B.又F1A=AB,所以A为线段F 1B的中点,所以OA∥F 2B,所以∠F 1OA=∠OF 2B.又∠F 1OA=∠BOF 2,所以△OBF 2为等边三角形.由F 2(c,0)可得B(c2,3c2),因为点B在直线y=bax上,所以32c=ba·c2,所以ba=3,所以e=1+b2a2=2.
命题角度3　与双曲线有关的范围(或最值)问题
6 [2020湘东六校联考]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A1,A2,F 为双曲线的一个焦点,B为虚轴的一个端点,若在线段BF 上(不含端点)存在两点P1,P2,使得∠A1P1A2=∠A1P2A2=π2,则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是
A.(1,5+12) B.(1,3+12) C.(0,5+12) D.(3+12,32)

由以A1A2为直径的圆O上存在两点P1,P2,使得∠A1P1A2=∠A1P2A2=π2→由圆心O到直线BF 的距离小于圆的半径a建立关于a,b的不等式→可求得双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围
不妨设点F 为双曲线的左焦点,点B在y轴正半轴上,则F ( - c,0),B(0,b),直线BF 的方程为bx - cy= - bc.如图9 - 4 - 2所示,以O为圆心,A1A2为直径作圆O,则P1,P2在圆O上.
由题意可知b>a,bcb2+c2 A
3.（1）[2019郑州高三第三次质量预测]F 1,F 2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在点P满足PF1·PF2= - a2,则该双曲线离心率的取值范围为(　　)
A.[3,+∞) B.[2,+∞) C.(1,3] D.(1,2]
(2)[2020广东省百校联考]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,点M( -a,0),
(0,b),点P为线段MN上的动点,当PF1·PF2取得最小值和最大值时,△PF 1F 2的面积分别为S1,S2,则S2S1=(　　)
A.4 B.8 C.23 D.43
考法4 直线与双曲线的综合问题
7 已知双曲线C:x2 - y2=1及直线l:y=kx - 1.
(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为2,求实数k的值.
(1)联立双曲线方程与直线方程,消去y→x2的系数不为0且Δ>0→求k的取值范围
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)→S△OAB转化为S△OAD±S△OBD→根与系数的关系→解关于k的方程
(1)联立双曲线C与直线l的方程得x2-y2=1,y=kx-1,消去y整理得(1 - k2)x2+2kx - 2=0.
因为l与C有两个不同的交点,即上式有两个不同的实数根,
所以1-k2≠0,Δ=4k2+8(1-k2)>0,
解得 - 2 (2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0, - 1),由(1)知,联立双曲线C和直线l的方程并整理得(1 - k2)x2+2kx - 2=
0( - 2 所以x1+x2=-2k1-k2,x1x2=-21-k2.
当A,B在双曲线的同一支上且|x1|>|x2|时,
S△OAB=S△OAD - S△OBD=12(|x1| - |x2|)=12|x1 - x2|;
当A,B分别在双曲线的两支上且x1>x2时,
S△OAB=S△OAD+S△OBD=12(|x1|+|x2|)=12|x1 - x2|.
综上,S△OAB=12|x1 - x2|=2,
所以(x1 - x2)2=(x1+x2)2 - 4x1x2=(22)2,
即(-2k1-k2)2+81-k2=8,解得k=0或k=±62.
所以当△AOB的面积为2时,实数k的值为0或62或 - 62.
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1.BCD　对于A,双曲线的焦点为(- 2,0),(2,0),2a=|(2+2)2+(3- 0)2-(2- 2)2+(3- 0)2|=2,a=1,从而离心率e=2,所以A错误;
对于B,F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±c2,±b2)不满足双曲线的渐近线方程y=±bax,所以B正确;
对于C,由等轴双曲线的性质可得C正确;
对于D,由共轭双曲线的性质可知D正确.故选BCD.
2.A　解法一　因为双曲线x2m2+n-y23m2- n=1两焦点之间的距离为4,则:
①当焦点在x轴上时,22=m2+n+3m2- n,3m2- n>0,m2+n>0,解得m2=1,- 1 ②当焦点在y轴上时, 22=- m2- n- 3m2+n,3m2- n<0,m2+n<0,无解.
综上,- 1 解法二　取n=0,满足题意,排除C,D;取n=2,满足题意,排除B.选A.
解法三　不考虑双曲线焦点的位置,根据双曲线的性质可得(m2+n)(3m2- n)>0,|m2+n+3m2- n|=4,化简可得(m2+n)(3m2- n)>0,m2=1,
则- 1 【技巧点拨】　破解此类问题需用构造的思想,即根据双曲线的方程表示的意义,构造关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)得出参数的取值范围.若是选择题,则采用特殊值法可更快找到解题的突破口.
3.A　设点P在第一象限,根据题意可知c2=6,所以|OF|=6.又tan∠POF=ba=22,所以等腰三角形PFO底边OF上的高h=62×22=32,所以S△PFO=12×6×32=324.故选A.
4.A　如图D 9- 4- 1,

图D 9- 4- 1
由题意知,以OF为直径的圆的方程为(x- c2)2+y2=c24　①,将x2+y2=a2记为②式,①- ②得x=a2c,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=a2c,所以|PQ|=2a2- (a2c)2.由|PQ|=|OF|,得2a2- (a2c)2=c,整理得c4- 4a2c2+4a4=0,即e4- 4e2+4=0,又e>1,解得e=2,故选A.
5.C　解法一　因为直线AB经过双曲线的右焦点,所以不妨取A(c,b2a),B(c,- b2a),取双曲线的一条渐近线为直线bx- ay=0,由点到直线的距离公式可得d1=|bc- b2|a2+b2=bc- b2c,d2=|bc+b2|a2+b2=bc+b2c,因为d1+d2=6,所以bc- b2c+bc+b2c=6,所以2b=6,得b=3.因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,即ca=2,所以a2+b2a2=4,所以a2+9a2=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.
解法二　由直线AB过双曲线的右焦点且垂直于x轴,d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以ca=2,所以a2+b2a2=4,所以a2+9a2=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.
6.3　(- 3,5)　因为双曲线E的一条渐近线的方程是22x- y=0,所以ba=22,所以e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=1+(22)2=3.因为双曲线E的实轴长为2,所以2a=2,即a=1,所以c=3,F(3,0).由题意得右焦点F在圆C外,所以需满足32+02- 2×3+4×0+m>0,(x- 1)2+(y+2)2=5- m>0,解得- 3
1.D　设双曲线的右焦点为F2,因为|PF1|- |PF2|=22,所以|PF1|=22+|PF2|,|PF1|+|PQ|=22+|PF2|+|PQ|.当且仅当Q,P,F2三点共线,且P在Q,F2之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为点F2到直线l的距离.由题意可得直线l的方程为y=±22x,焦点F2(3,0),点F2到直线l的距离d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值为22+1,故选D.
2.B　由e=2知,双曲线为等轴双曲线,则其渐近线方程为y=±x,由P(0,4)知左焦点F的坐标为(- 4,0),所以c=4,则a2=b2=c22=8.故选B.
3. (1)B　由题意可得F1(- c,0),F2(c,0),设P(m,n),则PF1=(- c- m,- n),PF2=(c- m,- n),m2+n2≥a2.由PF1·PF2=(- c- m,- n)·(c- m,- n)=m2- c2+n2=- a2,知m2+n2=c2- a2,所以c2- a2≥a2,得c2≥2a2,所以c2a2≥2,得e2≥2,所以e≥2,故选B.
(2)A　由e=ca=2,得c=2a,则b=c2- a2=3a,所以线段MN所在的直线方程为y=3(x+a).又点P在线段MN上,可设P点坐标为(m,3m+3a),其中m∈[- a,0].由F1(- c,0),F2(c,0),即F1(- 2a,0),F2(2a,0),得PF1=(- 2a- m,- 3m- 3a),PF2=(2a- m,- 3m- 3a),所以PF1·PF2=4m2+6ma- a2=4(m+34a)2- 134a2.又m∈[- a,0],可知当m=- 34a时,PF1·PF2取得最小值,此时yP=34a;当m=0时,PF1·PF2取得最大值,此时yP=3a.所以S2S1=3a3a4=4.故选A.