数学第二章 直线和圆的方程本章综合与测试当堂达标检测题

这是一份数学第二章 直线和圆的方程本章综合与测试当堂达标检测题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第二章测评(二)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.2x+y+3=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-4=0 D.x-2y+6=0
解析由题意直线过(2,-1),(0,3),
故直线的斜率k=3+10-2=-2,
故直线的方程为y=-2x+3,即2x+y-3=0.
答案B
2.(2020山东德州期末)已知直线l1:xcos2α+3y+2=0,若l1⊥l2,则直线l2倾斜角的取值范围是(　　)
A.π3,π2 B.0,π6
C.π3,π2 D.π3,5π6
解析因为l1:xcos2α+3y+2=0的斜率k1=-cos2α3∈-33,0,当cosα=0,即k1=0时,直线l2的斜率k不存在,此时倾斜角为π2;
当k1≠0时,可知直线l2的斜率k=-1k1,
此时k≥3,
此时倾斜角的取值范围为π3,π2.
综上可得,l2倾斜角的取值范围为π3,π2.
答案C
3.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,实数m的值为(　　)
A.2 B.0 C.-1 D.1
解析直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2,1),所以当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,PQ垂直直线mx-y+1-2m=0,即m·2-13-2=-1,所以m=-1,故选C.
答案C
4.已知圆C1的标准方程是(x-4)2+(y-4)2=25,圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+3y+1=0对称,则圆C1与圆C2的位置关系为(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.内含
解析根据题意,圆C2:x2+y2-4x+my+3=0,其圆心为C22,-m2,
若圆C2关于直线x+3y+1=0对称,即点C2在直线x+3y+1=0上,则有2+3×-m2+1=0,解得m=23,
即圆C2的方程为(x-2)2+(y+3)2=4,其圆心为C2(2,-3),半径r=2.
此时,圆心距|C1C2|=(4-2)2+(4+3)2=23+83,
则有5-2<|C1C2|<5+2,
故两圆相交.
答案C
5.在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为(　　)
A.82-8 B.82+8
C.82 D.122
解析∵机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,
在行进过程中保持与点C的距离不变,
∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示.

∵A(-10,0)与B(0,10),
∴直线AB的方程为x-10+y10=1,
即为x-y+10=0.
则圆心C到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=82>8,
∴最近距离为82-8.
答案A
6.若直线ax+by+2=0(a>0,b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则1a+2b的最小值为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
解析由题意圆心坐标为(-2,-1),半径r=1,所以圆心到直线的距离为d=|-2a-b+2|a2+b2,
所以弦长2=21-|-2a-b+2|a2+b22,整理可得2a+b=2,a>0,b>0,
所以1a+2b=1a+2b·12·(2a+b)=122+2+ba+4ab≥124+2ba·4ab=4,当且仅当2a=b=1时,等号成立.所以1a+2b的最小值为4.
答案A
7.过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为P,则点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为(　　)
A.2+1 B.2+2
C.22+1 D.22+2
解析(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,
由2x+y-2=0,x-y+2=0,解得x=0,y=2,所以直线l过定点Q(0,2).
因为OP⊥l,
所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1.
因为圆心(0,1)到直线x-y+3=0的距离为d=22=2,
所以点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+1.
答案A
8.在平面直角坐标系中,设点A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得△MAB为直角三角形的点M的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析根据题意,作出图形,如图.

若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:
①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,
又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则直线AB的斜率kAB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,
则l1的斜率k1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,
此时原点O到直线l1的距离d=|0.42|2=0.212<1,
直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;
②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,
同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,
此时原点O到直线l2的距离d=|3.58|2=1.792>1,
直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;
③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,
又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=4+4=22,
则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=2,
此时|OC|=(0.02)2+(1.56)2,
则有2-1<|OC|<2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.
综上可得,有4个符合条件的点M.
答案D
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.下面说法错误的是(　　)
A.经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程x-x0=m(y-y0)表示
B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
C.不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示
D.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
解析当直线的斜率等于零时,经过定点P(x0,y0)的直线方程为y=y0,不能写成x-x0=m(y-y0)的形式,故A错误.
当直线的斜率不存在时,经过定点A(0,b)的直线的方程为x=0,不能用方程y=kx+b表示,故B错误.
不经过原点的直线,当斜率不存在时,方程为x=a(a≠0)的形式,不能用方程xa+yb=1表示,故C错误.
经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线,当斜率等于零时,y1=y2,x1≠x2,方程为y=y1,能用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示;
当直线的斜率不存在时,y1≠y2,x1=x2,方程为x=x1,能用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示,故D正确.
答案ABC
10.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有(　　)
A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0
B.2ax1+2by1=a2+b2
C.x1+x2=a
D.y1+y2=2b
解析两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;
分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2,得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,
两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,
即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;
由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,
∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.
答案ABC
11.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为(　　)
A.4 B.6
C.32+1 D.8
解析直线y=kx-1恒过定点A(0,-1),当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1的距离最大,
所以最大值为(-3)2+(3+1)2+1=6.
当直线与圆有交点时距离最小为0.
所以点P到直线y=kx-1距离的取值范围为[0,6].
答案ABC
12.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有(　　)
A.曲线C是轴对称图形
B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外
C.曲线C是中心对称图形
D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2
解析设P(x,y),由题意可得yx+2+yx-2=2,化简得x2-xy=4(x≠±2),
当x=0时,0=4不成立,所以x≠0,所以由x2-xy=4化简得y=x-4x(x≠±2且x≠0).
函数y=x-4x是奇函数,所以曲线C不是轴对称图形,是中心对称图形,故A错误,C正确;
x2+y2=x2+x-4x2=2x2+16x2-8≥82-8>2,故B正确;
横坐标x满足x≠±2且x≠0,故D错误.
答案BC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是　　　　　　　　. 
解析根据题意,分2种情况讨论:
①直线经过原点,则直线l的方程为y=4x,即4x-y=0;
②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a,把点P(1,4)代入可得1-4=a,解得a=-3,
即直线的方程为x-y+3=0.
综上可得,直线的方程为4x-y=0或x-y+3=0.
答案4x-y=0或x-y+3=0
14.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A,B,C三点共线,当k<0时,若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为　　　　　. 
解析由题意可得AB=(4-k,-7),BC=(6,k-5),由于AB和BC共线,
故有(4-k)(k-5)+42=0,解得k=11或k=-2.
∵k<0,k为直线的斜率,
∴过点(2,-1)的直线方程为y+1=-2(x-2),
即2x+y-3=0.
答案2x+y-3=0
15.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|·|CD|的最小值为.
解析直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,由x-y=0,y-1=0,得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1).
∵C,D分别为OA,AB的中点,
∴|CD|=12|OB|=2.当OP⊥AB时,|AB|最小,此时|AB|=2(22)2-(2)2=26.
∴|AB|·|CD|=2|AB|≥2×26=43.
答案43
16.已知点O(0,0),A(4,0),B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(-2,0),则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　　;若从点M(m,0),m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射,再经直线OB反射后回到点M,则光线所经过的路程是　　　　　　　　(结果用m表示). 
解析根据题意,设点P1(a,b)与点P(1,0)关于直线AB对称,则P1在反射光线所在的直线上.
又A(4,0),B(0,4),则直线AB的方程为x+y=4,
则有ba-1=1,a+12+b2=4,解得a=4,b=3,即P1(4,3),
反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12,
则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0.
设点M1(a0,b0)与点M关于直线AB对称,点M2与M关于y轴对称,易得M2(-m,0),线段M1M2的长度就是光线所经过的路程,
则有b0a0-m=1,m+a02+b02=4,解得a0=4,b0=4-m,
即M1(4,4-m).
则|M1M2|=(4+m)2+(4-m)2=2m2+32.
答案x-2y+2=0　2m2+32
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)求满足下列条件的直线的方程.
(1)直线过点(-1,2),且与直线x+y-2=0平行;
(2)直线过点(0,1)且与直线3x+y+1=0垂直.
解(1)设所求直线的方程为x+y+m=0,
∵点(-1,2)在直线上,∴-1+2+m=0,
∴m=-1.
故所求直线的方程为x+y-1=0.
(2)设所求直线的方程为x-3y+m=0.
∵点(0,1)在直线x-3y+m=0上,
∴0-3+m=0,解得m=3.
故所求直线的方程为x-3y+3=0.
18.(12分)(2021北京海淀模拟)已知直线l1:mx-2(m+1)y+2=0,l2:x-2y+3=0,l3:x-y+1=0是三条不同的直线,其中m∈R.
(1)求证:直线l1恒过定点,并求出该点的坐标;
(2)若以l2,l3的交点为圆心,23为半径的圆C与直线l1相交于A,B两点,求|AB|的最小值.
(1)证明l1:mx-2(m+1)y+2=0可化为m(x-2y)-(2y-2)=0,
由x-2y=0,2y-2=0,得x=2,y=1,
∴直线l1恒过定点D(2,1).
(2)解l2:x-2y+3=0,l3:x-y+1=0联立可得交点坐标C(1,2),当|AB|最小时,CD⊥直线l1.
∵|CD|=(2-1)2+(1-2)2=2,
∴|AB|的最小值为212-2=210.
19.(12分)已知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)2+y2=4的两条切线,设切点分别为A,B.
(1)求直线AB的一般式方程;
(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.
解(1)∵直线l:y-1=a(x-3),
∴直线l恒过定点P(3,1).
由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).
由圆的性质可知AB⊥PC,
∵直线PC的斜率kPC=1-03-1=12,
∴直线AB的斜率kAB=-2,
∴直线AB的方程为y=-2(x-3),
即2x+y-6=0.
(2)由题意知|PC|=(3-1)2+(1-0)2=5.
∵PA⊥AC,PB⊥BC,
∴四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为2,12,∴四边形PACB的外接圆为(x-2)2+y-122=54.
20.(12分)已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0.
(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,若直线l过点(2,1),且与圆C2的相交弦长为23,求直线l的方程.
解(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),半径r1=1,
由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,
则C2(3,0),半径r2=9-m(m<9).
∵圆C1与圆C2外切,∴|C1C2|=r1+r2,
∴3=1+9-m,解得m=5.
(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4,
则C2(3,0),r2=2.
由题意可得圆心C2到直线l的距离d=1,
当直线l斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;
当直线l斜率为k时,则直线方程为y-1=k(x-2),
化为一般形式为kx-y-2k+1=0,
则圆心(3,0)到直线l的距离d=|k+1|k2+1=1,
解得k=0,得直线方程为y=1.
综上,直线l的方程为x-2=0或y-1=0.
21.(12分)(2020福建厦门模拟)已知圆C:x2+y2-8y=0与动直线l:y=kx-2k+2交于A,B两点,l恒过定点P,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
解(1)直线l:y=kx-2k+2过定点P(2,2),
圆C:x2+y2-8y=0可化为x2+(y-4)2=16,圆心C(0,4).
设动点M(x,y),
∵M为AB中点,∴CM⊥AB,
∴CM·MP=0.
又CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y),
∴CM·MP=x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
化简得x2+y2-2x-6y+8=0,
即(x-1)2+(y-3)2=2,
∴点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)得M的轨迹为圆,圆心为D(1,3),半径为2,P(2,2),如图,

∵点P(2,2),M均在圆上,|OP|=|OM|,
∴由圆的性质可知OD⊥PM.
又直线OD的斜率kOD=3,
∴直线l的斜率k=-1kOD=-13,
∴直线l的方程为y-2=-13(x-2),
即x+3y-8=0,
∴O(0,0)到直线l的距离为d=|0+0-8|10=4105.
又|PM|=2(22)2-41052=4105,
∴S△POM=12×|PM|×d=12×4105×4105=165,
综上,l的方程为x+3y-8=0,△POM的面积为165.
22.(12分)已知圆心为C的圆过点(3,3),且与直线y=2相切于点(0,2).
(1)求圆C的方程;
(2)已知点M(-3,4),且对于圆C上任一点P,线段MC上存在异于点M的一点N,使得|PM|=λ|PN|(λ为常数),试判断使△OPN的面积等于4的点P有几个,并说明理由.
解(1)依题意可设圆心C坐标为(0,t),则半径为|t-2|,
圆C的方程可写成x2+(y-t)2=(t-2)2.
∵圆C过点(3,3),
∴(3)2+(3-t)2=(t-2)2,
∴t=4,
则圆C的方程为x2+(y-4)2=4.
(2)由题知,直线MC的方程为y=4,设N(b,4)(b≠-3),P(x,y),则|PM|2=λ2|PN|2,
∴(x+3)2+(y-4)2=λ2(x-b)2+λ2(y-4)2,
则(6+2bλ2)x-(λ2b2+4λ2-13)=0,
∵上式对任意x∈[-2,2]恒成立,
∴6+2bλ2=0,且λ2b2+4λ2-13=0,
解得λ=32或λ=1(舍去,与M重合),b=-43,
∴点N-43,4,则|ON|=4103,kON=-3,直线ON方程为3x+y=0,
点C到直线ON的距离d=410=2105.
若存在点P使△OPN的面积等于4,则S△OPN=12×4103×d=4,∴d=3105.
①当点P在直线ON的上方时,点P到直线ON的距离的取值范围为0,2105+2,
∵3105<2105+2,
∴当点P在直线ON的上方时,使△OPN的面积等于4的点有2个.
②当点P在直线ON的下方时,点P到直线ON的距离的取值范围为0,2-2105,
∵3105>2-2105,
∴当点P在直线ON的下方时,使△OPN的面积等于4的点有0个.
综上可知,使△OPN的面积等于4的点P有2个.