高中数学苏教版 (2019)必修 第一册2.1 命题、定理、定义课后练习题

课后素养落实(六)　命题、定理、定义

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(多选题)下列语句中不是命题的是(　　)

A．6>3 B．x>0

C．对于x∈R，总有x2>0 D．x2＋y2＝0

BD　[A为命题．B不能判断真假不是命题．D不能判断真假故不是命题．C为命题．]

2．下列命题为假命题的是(　　)

A．若x>1，则x2>1 

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若ac2>bc2，则a>b 

D．若A＝60°，则cos A＝

B　[因为|a|＝|b|，所以a＝b或a＝－b.故选B.]

3．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是(　　)

A．两条直线

B．一条直线

C．垂直

D．两条直线垂直于同一条直线

D　[命题的条件是“两条直线垂直于同一条直线”．故选D.]

4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为(　　)

①M中的元素都不是P的元素；

②M中有不属于P的元素；

③M中有属于P的元素；

④M中的元素不都是P的元素．

A．1 B．2 

C．3 D．4

B　[因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，因此M中有不属于P的元素，也可能有属于P的元素，故②④正确，因此选B.]

5．(多选题)下列命题是假命题的为(　　)

A．若＝，则x＝y

B．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则＝

D．若x<y，则x2<y2

BCD　[由＝得x＝y；而由x2＝1得x＝±1；

由于x＝y时，，不一定有意义；

而由x<y不一定得到x2<y2，故选BCD.]

二、填空题

6．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数．②四条边相等的四边形是正方形．③平形四边形是梯形，其中真命题的序号是________．

①　[②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形．③中平行四边形不是梯形．①正确．]

7．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．

(－∞，0)∪(0,1)　[由题意知解得a<1，且a≠0.]

8．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________， 结论q：________.它是________命题(填“真”或“假”)．

a>0　二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)　真　[a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]

三、解答题

9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)当ac>bc时，a>b；

(2)面积相等的两个三角形全等；

(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.

[解]　(1)若ac>bc，则a>b.

由于ac>bc，c<0时，a<b，所以是假命题．

(2)若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．是假命题．

(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.真命题．

10．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．

[解]　因为ax2－2ax－3>0不成立，

所以ax2－2ax－3≤0恒成立．

(1)当a＝0时，－3≤0成立；

(2)当a≠0时，应满足解之得－3≤a<0.

由(1)(2)得a的取值范围为[－3,0]．

1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是(　　)

A．红豆生南国 B．春来发几枝

C．愿君多采撷 D．此物最相思

A　[“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]

2．(多选题)给出命题“方程x2＋ax＋2＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的可能取值为(　　)

A．1 B．－2 

C．0 D．3

ABC　[由题意知Δ＝a2－8<0 故a2<8.故A、B、C适合题意．]

3．下列命题是真命题的是________．

①0是{0,1,2}的真子集；

②关于x的方程x2＋|x|＝0有四个实数根；

③设a，b，c是实数，若a>b，则ac2>bc2；

④若a≠0，则(a2＋1)2>a4＋a2＋1.

④　[对于①，0是集合{0,1,2}的元素，不是真子集，故①是假命题；对于②，由x2＋|x|＝0得|x|＝0，所以x＝0，方程有一个实数根，故②是假命题；

对于③，当c＝0时，ac2＝bc2，故③是假命题；

对于④，当a≠0得(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1>a4＋a2＋1，故④是真命题．]

4．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是________．

56　[由条件一：S是A的子集，满足条件的有26＝64(个)；

由条件二：在条件一的64个集合中，和B交集为空集的，必然不含元素4,5,6，那集合应该是{1,2,3}的子集，有23＝8(个)．

因此，满足两个条件的集合的个数为64－8＝56(个)．]

已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．

[解]　若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．