数学九年级上册2.6 正多边形与圆巩固练习

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.6正多边形和圆》

常考热点优生辅导训练（附答案）

1．正六边形的半径与边心距之比为（　　）

A． B． C． D．

2．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°

3．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上任意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

5．如图，要拧开一个边长为a（a＝6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（　　）

A．4mm B．6mm C．4mm D．12mm

6．对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是（　　）

A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴 

B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心 

C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角 

D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补

7．半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a

8．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（　　）

A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD

9．已知正多边形的一个外角为72°，则该正多边形的内角和为　     　．

10．若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是　     　．

11．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需　 　个正五边形．

12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为，则BF的长为　                　．

13．一个半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于　               　．

14．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是　   　度．

15．已知⊙O的内接正方形的面积为8，则⊙O的内接正八边形的面积为　            　．

16．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是　      　．

17．如图，在正五边形ABCDE中，连接对角线AC，AD和CE，AD交CE于F．

（1）请列出图中两对全等三角形　          　，　          　．（不另外添加辅助线）

（2）请选择所列举的一对全等三角形加以证明．

18．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．

（1）求证：△ABC是等边三角形．

（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．

19．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB+PC；

（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；

（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．

20．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．

（1）求图①中∠APB的度数；

（2）图②中，∠APB的度数是　    　，图③中∠APB的度数是　    　；

（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

参考答案

1．解：∵正六边形的半径为R，

∴边心距r＝R，

∴R：r＝1：＝2：，

故选：D．

2．解：连接AC、GE、EC，如图所示：

则四边形ACEG为正方形，

∴∠EAG＝45°，

故选：C．

3．解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，

∴这个多边形的中心角＝60°，

∴＝60°，

∴n＝6，

故选：D．

4．解：连接OB，OC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOC＝90°，

∴∠BPC＝∠BOC＝45°．

故选：B．

5．解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，

∴∠AOB＝∠BOC＝60°，

∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，

∴四边形ABCO是菱形，

∵AB＝6mm，∠AOB＝60°，

∴AM＝6×＝3（mm），

∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，

∴AM＝MC＝AC，

∴AC＝2AM＝6（mm）．

解法2：连接OC、OD，过O作OM⊥CD于M，如图1所示：

则∠COD＝＝60°，

∴∠COM＝90°﹣60°＝30°，△OCD是等边三角形，

∴OC＝OD＝CD＝6mm，

∵OM⊥CD，

∴CM＝DM＝CD＝3（mm），OM＝CM＝3（mm），

∴b＝2OM＝6（mm），

故选：B．

6．解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故选项不符合题意；

B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项符合题意；

C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故选项不符合题意误；

D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故选项不符合题意误．

故选：B．

7．解：设圆的半径为R，

则正三角形的边心距为a＝R．

四边形的边心距为b＝R，

正六边形的边心距为c＝R．

∵RRR，

∴a＜b＜c，

故选：A．

8．解：从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA＝OC＝OD，

∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，

∴点O是△ACD的外心，

故选：D．

9．解：多边形的边数为：360°÷72°＝5，

正多边形的内角和的度数是：（5﹣2）•180°＝540°．

故答案为：540°．

10．解：∵一个正多边形的一个外角为60°，

∴360°÷60°＝6，

∴这个正多边形是正六边形，

设这个正六边形的半径是r，

则外接圆的半径r，

∴内切圆的半径是正六边形的边心距，即是r，

∴它的内切圆半径与外接圆半径之比是：2．

故答案为：2．

11．解：∵多边形是正五边形，

∴内角是×（5﹣2）×180°＝108°，

∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）﹣（180°﹣108°）＝36°，

36°度圆心角所对的弧长为圆周长的，

即10个正五边形能围城这一个圆环，

所以要完成这一圆环还需7个正五边形

故答案为：7．

12．方法一：

解：连接BD，DF，过点C作CN⊥BF于点N，

∵正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为，

∴BD＝2，

∴AD＝AB＝BC＝CD＝2，

∵E为DC的中点，

∴CE＝1，

∴BE＝，

∴CN×BE＝EC×BC，

∴CN×＝2，

∴CN＝，

∴BN＝，

∴EN＝BE﹣BN＝﹣＝，

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BFD＝90°，

∴△CEN≌△DEF，

∴EF＝EN，

∴BF＝BE+EF＝+＝，

故答案为：．

方法二：

解：连接DF，BD，

∵正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为，

∴BD＝2，

∴AD＝AB＝BC＝CD＝2，

∵E为DC的中点，

∴CE＝1，

∴BE＝，

∵∠DFB＝∠C＝90°，∠DEF＝∠CEB，

∴设EF＝x，

解得：x＝，

故BF＝BE+EF＝+＝，

故答案为：．

13．解：如图所示：

设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，

∠AOB＝60°，OA＝OB＝2cm，

则△OAB是正三角形，

∴AB＝OA＝2cm，

OC＝（cm），

∴S△OAB＝AB•OC＝×2×＝（cm2），

∴正六边形的面积＝6×＝6（cm2）．

故答案为：6cm2．

14．解：连接OA、OB、OC，

∠AOB＝＝72°，

∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，

∴∠OAB＝∠OBC，

在△AOM和△BON中，

∴△AOM≌△BON，

∴∠BON＝∠AOM，

∴∠MON＝∠AOB＝72°，

故答案为：72．

15．解：设⊙O的内接正方形的边长为a，

∵⊙O的内接正方形的面积为8，

∴a2＝8，得a＝，

∴此正方形的对角线为：，

∴圆的半径为2，

∴⊙O的内接正八边形的面积为：＝8，

故答案为：8．

16．解：如图所示：∵A（0，a），

∴点A在y轴上，

∵C，D的坐标分别是（b，m），（c，m），

∴B，E点关于y轴对称，

∵B的坐标是：（﹣3，2），

∴点E的坐标是：（3，2）．

故答案为：（3，2）．

17．解：（1）△ABC≌△AED，△AFE≌△CFD；

（2）∵五边形ABCDE是正五边形，

∴AB＝BC＝AE＝ED，∠ABC＝∠AED．

∴△ABC≌△AED．

18．（1）证明：在⊙O中，

∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，

∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，

又∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°，

∴△ABC为等边三角形；

（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，

则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，

∵OB＝2，

∴OD＝1，

∴等边△ABC的边心距为1．

19．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，

连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，

∴∠BAC+∠BPC＝180°，

∵∠BPC+∠EPC＝180°，

∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC，

∴△PCE是等边三角形，

∴CE＝PC，∠E＝60°；

又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，

∴∠BCE＝∠ACP，

∵△ABC、△ECP为等边三角形，

∴CE＝PC，AC＝BC，

∴△BEC≌△APC（SAS），

∴PA＝BE＝PB+PC．

（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．

∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°

∴∠1＝∠3，

∴∠APB＝45°，

∴BP＝BE，∴；

又∵AB＝BC，

∴△ABE≌△CBP，

∴PC＝AE．

∴．

（3）答：；

证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，

连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，

∴△ABQ≌△CBP，

∴BQ＝BP．

∴MP＝QM，

又∵∠APB＝30°，

∴PM＝PB，

∴

∴

20．解：（1）∠APB＝120°

图1：∵△ABC是正三角形，

∴∠ABC＝60°．

∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，

∴∠BAM＝∠CBN，

又∵∠APN＝∠BPM，

∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°，

∴∠APB＝180°﹣∠APN＝120°；

（2）同理可得：∠APB＝90°；∠APB＝72°．

（3）由（1）可知，∠APB＝所在多边形的外角度数，故在图n中，