2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十八） 抛物线中的最值问题

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求解与抛物线有关的最值问题方法较多，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．
1．定义转换法
[例1] 已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，B(－1,1)，点P到直线l：x＝－eq \f(1,2)的距离为d，求d＋|PB|的最小值．
解析：由题意得抛物线y2＝2x的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，直线l是抛物线的准线，如图，连接BF，PF，所以d＝|PF|，则d＋|PB|＝|PF|＋|PB|≥|BF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(1,2)))2＋1－02)＝eq \f(\r(13),2)，当且仅当B，P，F三点共线时取等号，所以d＋|PB|的最小值为eq \f(\r(13),2).
名师点评 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算.
2.平移直线法
[例2] 抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．
解析：解法一 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x2，,4x＋3y＋b＝0，))
消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－eq \f(4,3)，所以切线方程为4x＋3y－eq \f(4,3)＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝eq \f(|8－\f(4,3)|,5)＝eq \f(4,3).
解法二 由y＝－x2，得y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－eq \f(4,3)，
所以m＝eq \f(2,3)，即切点Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(4,9)))，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)－\f(4,3)－8)),\r(16＋9))＝eq \f(4,3)，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
名师点评 若抛物线上的点P到直线l的距离最小，则过点P与l平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．
3．函数法
针对上面的例2，我们给出第三种解决方法：
解法三 设P(x，－x2)，则点P到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝eq \f(|4x－3x2－8|,\r(16＋9))＝eq \f(1,5)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)))2＋\f(20,3)))＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)))2＋eq \f(4,3)，在抛物线y＝－x2中，x∈R，所以当x＝eq \f(2,3)时，d取得最小值eq \f(4,3)，即抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是eq \f(4,3).
[例3] 若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．
解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3,0)，则|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小．设P(x0，y0)，则yeq \\al(2,0)＝x0，|PA|＝eq \r(x0－32＋y\\al(2,0))＝eq \r(x\\al(2,0)－6x0＋9＋x0)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(5,2)))2＋\f(11,4))，当且仅当x0＝eq \f(5,2)时，|PA|取得最小值eq \f(\r(11),2)，此时|PQ|取得最小值eq \f(\r(11),2)－1.
答案：eq \f(\r(11),2)－1
名师点评 解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．