2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.3 函数的奇偶性与周期性

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.3 函数的奇偶性与周期性，共9页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记3个知识点
1．函数的奇偶性
2.奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑦______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性⑧________(填“相同”、“相反”)．
(2)在公共定义域内
(ⅰ)两个奇函数的和函数是⑨________，两个奇函数的积函数是⑩________.
(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是⑪________.
(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是⑫________.
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，则f(0)＝⑬________.
3．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝⑭________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中⑮__________________的正数，那么这个⑯________就叫做f(x)的最小正周期．
(3)常见结论：若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a；若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则T＝2a.
二、必明2个易误点
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．( )
(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.( )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( )
(5)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．( )
(6)若T为y＝f(x)的一周期，那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．( )
二、教材改编
2．下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cs x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
3．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)的解析式为________．
三、易错易混
4．关于函数f(x)＝eq \r(x2－4)＋eq \r(4－x2)与h(x)＝eq \r(x－4)＋eq \r(4－x)的奇偶性，下列说法正确的是( )
A．两函数均为偶函数
B．两函数都既是奇函数又是偶函数
C．函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
D．函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
5．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(2)＝0，则eq \f(fx,x)<0的解集为( )
A．{x|x<－2或x>2} B．{x|x<－2或0C．{x|－22} D．{x|－2四、走进高考
6．[2019·全国卷Ⅱ]已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.
eq \x(考点一) 函数的奇偶性[分层深化型]
考向一：判断函数的奇偶性
1．[2021·成都市高三阶段考试]已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)；
(2)f(x)＝(1－x) eq \r(\f(1＋x,1－x))；
(3)f(x)＝eq \f(lg1－x2,|x－2|－2)；
(4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0.))
考向二：函数奇偶性的应用
3．(1)[2019·全国卷Ⅱ]设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
(2)[2021·浙江高三月考]若函数f(x)＝eq \f(x,x＋2x－a)为奇函数，则实数a的值为________．

悟·技法
1.判断函数奇偶性的三种方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数奇偶性的应用
(1)求函数值：将特求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
[注意] 对于定义域为I的奇函数f(x)，若0∈I，则f(0)＝0.
考点二 函数的周期性[互动讲练型]
[例1] (1)[2021·绵阳模拟]函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，－1≤x<3，,fx－4，x≥3，))则f(9)＝________.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝eq \f(1,fx)，当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，则f(2 020)＝________.
悟·技法
1.求函数周期的方法
2.函数周期性的应用
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________，f(20)＝________.
2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．
考点三 函数性质的综合应用[分层深化型]
考向一：单调性与奇偶性的综合
[例2] [2020·山东卷]若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
考向二：周期性与奇偶性结合
[例3] [2018·全国卷Ⅱ]已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
考向三：单调性、奇偶性和周期性结合
[例4] [2021·青岛二中模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)为奇函数；③当x∈[0,1)时，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(x1≠x2)恒成立，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)))，f(4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)))的大小关系正确的是( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)))>f(4)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)))
B．f(4)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)))
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)))>f(4)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)))
D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)))>f(4)
悟·技法函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．解此类问题常利用以下两个性质：①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
3．[2020·全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))单调递增
B．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))单调递减
C．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))单调递增
D．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))单调递减
[变式练]——(着眼于举一反三)
4．[2021·武昌区调研考试]已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数y＝f(x－1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝________.
[拓展练]——(着眼于迁移应用)
5．[2021·广东珠海模拟]定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 019\f(1,2)))＝( )
A. eq \f(9,4) B. eq \f(1,4)
C．－eq \f(9,4) D．－eq \f(1,4)
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)B．f(80)C．f(11)D．f(－25)第三节 函数的奇偶性与周期性
【知识重温】
①任意一个 ②f(－x)＝f(x) ③y轴 ④任意一个 ⑤f(－x)＝－f(x) ⑥原点 ⑦相同 ⑧相反 ⑨奇函数 ⑩偶函数 ⑪偶函数 ⑫奇函数 ⑬0 ⑭f(x) ⑮存在一个最小 ⑯最小正数
【小题热身】
1．答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
(5)√ (6)×
2．解析：A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．
答案：A
3．解析：当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)(1－x)＝－x(1－x)．
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x(1－x)，即f(x)＝x(1－x)．
答案：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x，x≥0,x1－x，x<0))
4．解析：函数f(x)＝eq \r(x2－4)＋eq \r(4－x2)的定义域满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4≥0，,4－x2≥0，))即x2＝4，因此函数f(x)的定义域为{－2,2}，关于原点对称，此时f(x)＝0，满足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．而函数h(x)＝eq \r(x－4)＋eq \r(4－x)的定义域为{4}，不关于原点对称，因此函数h(x)是非奇非偶函数．
答案：D
5．解析：∵f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上也为减函数．
∵f(2)＝0，∴f(－2)＝－f(2)＝0，故函数f(x)的大致图象如图所示．
则由eq \f(fx,x)<0，可得xf(x)<0，即x和f(x)异号，由图象可得x<－2或x>2.
故eq \f(fx,x)<0的解集为{x|x<－2或x>2}，故选A.
答案：A
6．解析：解法一 由x>0可得－x<0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，
∴x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，
则f(ln 2)＝e－aln 2＝8，
∴－aln 2＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.
解法二 由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，
∴f(ln 2)＝－f(ln eq \f(1,2))＝－(－ealn eq \f(1,2))＝8，
∴aln eq \f(1,2)＝ln 8＝3ln 2，
∴a＝－3.
答案：－3
课堂考点突破
考点一
1．解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由f(|－x|)＝f(|x|)，知①是偶函数；由f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，知②是奇函数；由y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝x是定义在R上的奇函数，奇×奇＝偶，知③是偶函数；由f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，知④是奇函数．
答案：D
2．解析：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq \r(3)，即函数f(x)的定义域为{－eq \r(3)，eq \r(3)}，
∴f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由eq \f(1＋x,1－x)≥0得－1≤x<1，所以f(x)的定义域为[－1,1)，所以函数f(x)是非奇非偶函数．
(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq \f(lg1－x2,－x).
又f(－x)＝eq \f(lg[1－－x2],x)＝eq \f(lg1－x2,x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，
总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
3．解析：(1)当x<0时，－x>0，因为当x≥0时，f(x)＝ex－1，所以f(－x)＝e－x－1.又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.故选D项．
(2)由于函数f(x)为奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0，
即eq \f(－x,－x＋2－x－a)＋eq \f(x,x＋2x－a)＝0，
即eq \f(4－2ax2,x＋2－x＋2x＋ax－a)＝0，故4－2a＝0，即a＝2.
答案：(1)D (2)2
考点二
例1 解析：(1)f(9)＝f(9－4)＝f(5)＝f(5－4)＝f(1)＝2×1－1＝1.
(2)因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝eq \f(1,fx)，所以f(x＋4)＝eq \f(1,fx＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.
当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，
所以f(2 020)＝f(505×4＋0)＝f(0)＝0＋e0＝1.
答案：(1)1 (2)1
变式练
1．解析：因为f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，
所以f(x＋4)＝－eq \f(1,fx＋2)＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期T＝4.
f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.
f(20)＝f(4×4＋4)＝f(4)＝f(2＋2)＝－eq \f(1,f2)＝－eq \f(1,2×2－1)＝－eq \f(1,3).
答案：1 －eq \f(1,3)
2．解析：因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．
答案：7
考点三
例2 解析：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，选D.
答案：D
例3 解析：∵ f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，
∴ f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，
∴ －f(x－1)＝f(x＋1)，∴ f(x＋2)＝－f(x)，
∴ f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴ 函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵ f(1－x)＝f(1＋x)，
∴ f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴ f(2)＝f(0)＝0，∴ f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴ f(－1)＝－2，
∴ f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴ f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
故选C.
答案：C
例4 解析：由f(x＋2)＝f(x)可知函数f(x)的周期为2，所以f(x)＝f(x－2)，
又f(x－2)为奇函数，所以f(x)为奇函数，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)＋2×4))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，
f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)＝0.
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)－2×3))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
又x∈[0,1)时，f(x)单调递增．
故奇函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))>f(0)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)))>f(4)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2))).
答案：C
同类练
3．解析：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x＋1|>0，,|2x－1|>0))⇒x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠±\f(1,2)))，x∈R))，∴函数f(x)的定义域关于原点对称，又∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除A、C；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，则f′(x)＝eq \f(2,2x＋1)－eq \f( －2,1－2x)＝eq \f(4,1－4x2)>0，∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))单调递增，排除B；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)，则f′(x)＝eq \f(－2,－2x－1)－eq \f( －2,1－2x)＝eq \f(4,1－4x2)<0，∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))单调递减，∴D正确．
答案：D
变式练
4．解析：解法一 因为f(x)是R上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期T＝4，因为0≤x≤1时，f(x)＝x3，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－4))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(1,8).
解法二 因为f(x)是R上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，由题意知，当－1≤x<0时，f(x)＝x3，故当－1≤x≤1时，f(x)＝x3，当1答案：－eq \f(1,8)
拓展练
5．解析：因为f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数，因为f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 019\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 020－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，
因为在[0,1]上有f(x)＝x2，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,4)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 019\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(1,4).
答案：D
6．解析：因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝8，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)，又因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)答案： D奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果函数f(x)的定义域内①______x都有②______________________，那么函数f(x)是偶函数
关于③______对称
奇函数
如果函数f(x)的定义域内④______x都有⑤______________________，那么函数f(x)是奇函数
关于⑥______对称
方法
解读
适合题型
定义法
具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期
非零常数T容易确定的函数
递推法
采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期
含有f(x＋a)与f(x)的关系式
换元法
通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期
f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式