2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.8 函数与方程

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.8 函数与方程，共7页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记4个知识点
1．函数的零点的概念
对于函数y＝f(x)，x∈D，我们把使①________的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点．
2．方程的根与函数的零点的关系
由函数的零点的概念可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与②________的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根⇔③________________________⇔函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是④__________的一条曲线，并且⑤________________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得⑥________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
4．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的区间⑦______，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到⑧__________的方法叫做二分法．
二、必明2个易误点
1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是函数图象与x轴交点的横坐标，是一个实数，易误认为是一个点而写成坐标形式．
2.
由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
二、教材改编
2．函数f(x)＝ln x－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(eq \f(1,e)，1)和(3,4) D．(4，＋∞)
3．若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________．
三、易错易混
4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
5．设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
四、走进高考
6．[2019·全国卷Ⅲ]函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
eq \x(考点一) 函数零点的区间[自主练透型]
1．[2021·湖北襄阳七校联考]设a是方程2ln x－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内( )
A．(0,1) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)
2．[2021·河北石家庄检测]已知实数a>1,0A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
3．函数f(x)＝lg3x＋x－2的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
悟·技法
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
考点二 判断函数零点个数[互动讲练型]
[例1] (1)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－x－2，x≥0,x2＋2x，x<0))的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)[2021·广西宜州联考]若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－lg3|x|的零点个数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
悟·技法
判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·山西临汾质检]若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且部分数据的对应值如表所示．
函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x，x≤1，,lg\f(1,3)x，x>1，))，则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点三 函数零点的应用[分层深化型]
考向一：根据函数零点个数或存在情况求参数范围
[例2] [2020·天津卷]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≥0，,－x，x<0.))若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(2eq \r(2)，＋∞)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(0,2eq \r(2))
C．(－∞，0)∪(0,2eq \r(2))
D．(－∞，0)∪(2eq \r(2)，＋∞)
考向二：求函数各个零点(方程根)的和(范围)
[例3] [2021·天津南开检测]设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－5x＋6，x≥0，,4x＋4，x<0，))若函数g(x)＝x＋a－f(x)有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是________．
悟·技法
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3种方法
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x>0，))
g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
4．[2021·河北衡水中学调考]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤1，,x－1，x>1，))则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，a的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．[－1,2)
C．[－1,0]∪(1,2] D．[0,1]
第八节 函数与方程
【知识重温】
①f(x)＝0 ②x轴 ③函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 ④连续不断 ⑤f(a)·f(b)<0 ⑥f(c)＝0 ⑦一分为二 ⑧零点近似值
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
(5)√
2．解析：∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－eq \f(2,3)>0，且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数，∴f(x)的零点在区间(2,3)内．
答案：B
3．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝4x－1.令f(x)＝0，得4x－1＝0，x＝eq \f(1,4)∈(－1,1)．
∴当a＝0时，f(x)在(－1,1)内恰有一个零点．
(2)当a≠0时，Δ＝42－4×24a×(－1)＝16＋96a.
①若Δ＝0，即a＝－eq \f(1,6)，
则函数f(x)的图象与x轴交于点(eq \f(1,2)，0)，
x＝eq \f(1,2)是(－1,1)内的唯一零点．
②若Δ>0，
即a>－eq \f(1,6)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－\f(1,6)，,f－1f1＝24a－524a＋3<0))
⇔－eq \f(1,8)综上可得，a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,6)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(5,24))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,6)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(5,24)))
4．解析：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有A不满足此条件．故选A.
答案：A
5．解析：由函数零点存在定理知，函数f(x)的图象在[a，b]内与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝0在[a，b]内只有一个实根．
答案：D
6．解析：由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcs x＝2sin x(1－cs x)＝0得sin x＝0或cs x＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π.即零点有3个．故选B.
答案：B
课堂考点突破
考点一
1．解析：令f(x)＝2ln x－3＋x，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－2<0，f(2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f(x)在(1,2)内有零点，即a在区间(1,2)内．
答案：D
2．解析：因为a>1,00，所以f(x)的零点在区间(－1,0)内．故选B项．
答案：B
3．解析：解法一(定理法) 函数f(x)＝lg3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝lg32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝lg3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．
解法二(图象法) 函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lg3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.
答案：B
例1 解析：(1)当x<0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2，或x＝0(舍去)．所以当x<0时，只有一个零点；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(2)＝e2－4>0，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有两个零点．
(2)∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－lg3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg3|x|的图象，如图所示．显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg3|x|的图象有4个交点，故选B项．
答案：(1)C (2)B
变式练
1．解析：由题中表格得f(1)f(2)<0，f(4)f(5)<0，因为函数的图象是连续不断的，所以函数在(1,2)内至少有一个零点，在(4,5)内至少有一个零点，所以函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有两个．故选C项．
答案：C
2．解析：函数y＝f(x)＋x－4的零点，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的交点的横坐标．如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B项．
答案：B
例2 解析：由题意知函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|恰有4个零点等价于方程f(x)－|kx2－2x|＝0，即f(x)＝|kx2－2x|有4个不同的根，即函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点．
图1
当k＝0时，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f(x)与y＝|2x|的图象如图1所示，由图1知两图象只有2个不同的公共点，不满足题意．
当k<0时，y＝|kx2－2x|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,k)))2－\f(1,k)))，其图象的对称轴为直线x＝eq \f(1,k)<0，直线x＝eq \f(1,k)与y＝|kx2－2x|的图象的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)，－\f(1,k)))，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)，－\f(1,k)))在直线y＝－x上，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象如图2所示，由图2易知函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点，满足题意．
图2
当k>0时，函数y＝|kx2－2x|的图象与x轴的2个交点分别为原点(0,0)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)，0))，则当x>eq \f(2,k)时，由kx2－2x＝x3，得x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－8＝0，得k＝2eq \r(2)，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象如图3所示，由图3知两图象有3个不同的公共点，不满足题意．令Δ＝k2－8>0，得k>2eq \r(2)，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象如图4所示，由图4知两图象有4个不同的公共点，满足题意．令Δ＝k2－8<0，得0图3 图4
综上可知，实数k的取值范围是(－∞，0)∪(2eq \r(2)，＋∞)，故选D.
答案：D
例3 解析：函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－5x＋6，x≥0，,4x＋4，x<0，))
函数g(x)＝x＋a－f(x)有三个零点，即方程a＝f(x)－x有三个根，f(x)－x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－6x＋6，x≥0，,3x＋4，x<0，))所以函数y＝a和y＝f(x)－x的图象有三个交点．在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示．
设三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,3)，6))
变式练
3．解析：令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
故选C.
答案：C
4．解析：由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1，因为函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a2－a－1>－1，解得a<0或a>1.故选A项．
答案： Ax
1
2
3
4
5
6
y
－5
2
8
12
－5
－10
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
分离参
数法
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决
数形结
合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解