高中数学北师大版必修51.2数列的函数特征课后练习题

课时分层作业(二)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．已知an＝3n－2，n∈N＋，则数列{an}的图像是(　　)

A．一条直线　　 B．一条抛物线

C．一个圆 D．一群孤立的点

D　[∵an＝3n－2，n∈N＋，∴数列{an}的图像是一群孤立的点．]

2．已知数列{an}满足a1＞0,2an＋1＝an，则数列{an}是(　　)

A．递增数列 B．递减数列

C．常数列 D．以上都不对

B　[∵a1＞0，an＋1＝an，∴an＞0，∴＝＜1，∴an＋1＜an.]

3．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　)

A．R B．(0，＋∞)

C．(－∞，0) D．(－∞，0]

C　[∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.]

4．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}中第几项最大(　　)

A．第6项 B．第7项

C．第6项或第7项 D．第5项

D　[an＝－n2＋10n＋11＝－(n2－10n＋25)＋36

＝－(n－5)2＋36，所以当n＝5时，an最大．]

5．一给定函数y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意a0∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an，则该函数的图像是(　　)

A　[由an＋1＝f(an)，an＋1＞an，得f(an)＞an，即f(x)＞x，结合图像知A正确．]

二、填空题

6．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为______(填序号)．

①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝；④an＝(－1)n.

①③　[可以通过画函数的图像一一判断．②中第一、二项相等，④是摆动数列．]

7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)n.

则当an取最大值时，n等于________．

5或6　[由题意知解得

所以n＝5或6.]

8．已知数列{an}为单调递增数列，通项公式为an＝n＋，则λ的取值范围是________．

(－∞，2)　[由于数列{an}为单调递增数列，an＝n＋，所以an＋1－an＝－＝1－>0，即λ<n(n＋1)(n∈N＋)，所以λ<2.]

三、解答题

9．已知数列{an}中，an＝(n∈N＋)．

(1)求a2＋a3；(2)证明{an}是递增数列．

[解]　(1)由已知得a2＋a3＝＋＝.

(2)证明：当n≥2时，

an－an－1＝－＝>0.

所以{an}是递增数列．

10．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，

(1)数列中有多少项为负数？

(2)n为何值时，an有最小值？并求此最小值．

[解]　(1)由n2－5n＋4<0得1<n<4，n∈N＋，所以n＝2或3.所以数列中有2项为负数．

(2)因为an＝n2－5n＋4＝2－，

又因为n∈N＋，

所以n＝2或3时，an有最小值－2.

[能力提升练]

1．在数列{an}中，已知an＝(c∈R)，则对于任意正整数n有(　　)

A．an<an＋1

B．an与an＋1的大小关系和c有关

C．an>an＋1

D．an与an＋1的大小关系和n有关

B　[因为an＝＝1＋，n＋1≥2，

所以当c－1>0，

即c>1时，ƒ(n)＝an单调递减，

an＋1<an，

当c－1＝0，即c＝1时，an＝1，an＋1＝an＝1，

当c－1<0，即c<1时，ƒ(n)＝an单调递增，an＋1>an，

所以an＋1与an的大小关系和c有关，和n无关，故选B.]

2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是(　　)

A．16 B．20

C．33 D．120

C　[a1＝1，a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，

a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，

a6＝2a5＝14，

∴前6项之和为33.]

3．数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N＋，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项为________．

1 024　[∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，∴＝2＞1，∴an＞an－1，即数列{an}单调递增，∴{an}的最大项为a10＝2a9＝4a8＝…＝29·a1＝29·2＝210＝1 024.]

4．已知数列{an}满足an＝(n∈N＋)，则数列{an}中的最小项是第________项．

5　[an＝＝

＝＋，

令3n－16<0，得n<.

又数列{an}在上单调递减，且n∈N＋，

所以当n＝5时，an取最小值．]

5．数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn＋2.

(1)若a2＝a7，求数列{an}的最小项；

(2)若不等式an≥a4恒成立，求实数k的取值范围．

[解]　(1)由a2＝a7得k＝－9，即an＝n2－9n＋2＝2－.

因为n∈N＋，所以当n＝4或5时，{an}的最小项为a4＝a5＝－18.

(2)an＝n2＋kn＋2＝2＋2－，

因为不等式an≥a4恒成立，所以3.5≤－≤4.5，

解得－9≤k≤－7.