初中数学北师大版八年级上册5 应用二元一次方程组——里程碑上的数教案设计

5．5　应用二元一次方程组——里程碑上的数

1．利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题；(重点)

2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程．

一、情境导入

小刚的爸爸开车带着小刚出去玩，他们匀速行驶在公路上.10：00时，小刚看到里程碑上是一个两位数，它的两个数字之和是8；11：00时，他又看到里程碑上是一个两位数，它的两个数字与第一次看到的两位数的数字刚好互换了位置；14：00时他看到里程碑上的数变成了三位数，它的百位数字比第一次看到的两位数的十位数字少1，十位数字比第一次看到的两位数的个位数字多1，个位数字是0.你能算出小刚第一次看到的里程碑上的数是多少吗？

二、合作探究

探究点一：利用二元一次方程组解决数字问题

【类型一】 年龄问题

父亲给儿子出了一道题，要儿子猜出答案：有一对母女，5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍只多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？

解析：先分别设出现在这对母女的年龄，再用它们表示出5年前母女的年龄和15年后母女的年龄，则根据①5年前，母亲的年龄是女儿年龄的15倍；②15年后，母亲的年龄是女儿年龄的2倍再加6，列出方程组.

　　解：设现在这对母女的年龄分别是x岁和y岁，由题意，得解得

答：现在这对母女的年龄分别是35岁和7岁．

方法总结：解答年龄问题的关键是年龄差不变及增长岁数相同．

【类型二】 数字问题

一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大9，求这个两位数．

解析：若个位上的数字为x，十位上的数字为y，“数字之和为9”及“新两位数比原两位数大9”可列方程组．

解：设这个两位数的个位上的数字为x，十位上的数字为y.

根据题意，得

解得则10y＋x＝45.

故这个两位数是45.

方法总结：数字问题中所求的未知量一般是原数，解题时，一般先设原数数位上的数字为未知数，再写出这个数．

探究点二：利用二元一次方程组解决行程问题

【类型一】 相遇问题

某体育场的一条环形跑道长400m.甲、乙两人从跑道上同一地点出发，分别以不变的速度练习长跑和骑自行车．如果背向而行，每隔min他们相遇一次；如果同向而行，每隔1min乙就追上甲一次．问甲、乙每分钟各行多少米？

解析：题中的两个相等关系为：①乙骑车的路程＋甲跑步的路程＝400m(背向)；②乙骑车的路程－甲跑步的路程＝400m(同向)．

解：设乙骑车每分钟行xm，甲每分钟跑ym，由题意，得解得

答：甲每分钟跑250m，乙每分钟骑550m.

方法总结：环路上的等量关系：若同时同地出发，当背向而行，第一次相遇时，二者路程之和＝环路的周长；若同时同地出发，同向而行，第一次相遇时，快者的路程－慢者的路程＝环路的周长．

【类型二】 行程问题

A、B两码头相距140km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7h，逆水航行用了10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．

解析：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，列表如下，

解：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h.由题意，得解得

答：这艘轮船在静水中的速度为17km/h，水流速度为3km/h.

方法总结：本题关键是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组．

三、板书设计

“里程碑上的数”问题

数学思想方法是数学学习的灵魂．教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法(如化归方法)，介绍化归思想及其运用，既可提高学生的学习兴趣，开阔视野，同时也提高学生对数学思想的认识，提升解题能力．