2020-2021学年广东省四会市高三（下）第4次周练数学试卷人教A版（2019）

这是一份2020-2021学年广东省四会市高三（下）第4次周练数学试卷人教A版（2019），共14页。试卷主要包含了 已知倾斜角为α的直线l， 下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=x|x2−5x+4<0，集合B=x|x>2，则A∩B=（ ）
A.−1,0B.−1,4C.2,4D.0,4

2. 若复数z=m(m−1)+(m−1)i是纯虚数，实数m=( )
A.1B.0C.0或1D.1或−1

3. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，直线AD与直线BC1所成的角为60∘，则该长方体的体积为( )
A. 22B.2 C.23D.3

4. 为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y=bx+a ，已知i=110xi=220，i=110yi=1610，b=4 ，已知该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为( )厘米．
A.165B.169C.173D.178

5. 已知抛物线x2=4y的准线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是( )
A.2B.2C.5D.5

6. 已知函数f(x)=|x−1|⋅(x+1)，若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实数解，则实数k的值为( )
A.0B.1C.0和−1D.0和1

7. 已知倾斜角为α的直线l:y=kx−2与圆x2+y−12=1相切，则1−cs2αcsπ2+α的值为( )
A.−423B.423C.−433D.433

8. 已知四棱锥S−ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其侧面积等于23，则球O的体积等于( )
A.4π3B.8π3C.16π3D.22π3

9. 判断平面α与平面β平行的条件可以是( )
A.平面α内有无数条直线都与β平行
B.直线a⊂α，b⊂β，且a // β，b // α
C.平面γ // α，且平面γ // β
D.平面α内有两条不平行的直线都平行于平面β

10. 下列判断正确的是( )
A.“am2>bm2”是“a>b”的充分不必要条件
B.命题“∃x∈R，使x2+x−1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x−1>0”
C.若随机变量ξ服从二项分布：B(4,14)，则E(ξ)=1
D.若随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，P(ξ≤4)=0.79，则P(ξ≤−2)=0.21

11. 将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π4个单位，得到函数g(x)的图象，则( )
A.函数f(x)+g(x)的图象的一个对称中心为π8,0
B.函数f(x)⋅g(x)是奇函数
C.函数f(x)+g(x)在(0, π)上的单调递减区间是π8,5π8
D.函数f(x)⋅g(x)的图象的一个对称轴方程为x=−π8

12. 给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数．记f′′(x)=(f′(x))′，若f′′(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0,π2)上是凸函数的是( )
A.f(x)=sinx−csxB.f(x)=lnx−2xC.f(x)=−x3+2x−1D.f(x)=−xe−x
解答题

(x3−1x)4展开式中常数项为________．

新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市随机分配2名医生，则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为________．

《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为________尺．

已知定义域为R的函数fx=−2x+12x+1+m是奇函数，则不等式flg31x+flg31−x>0解集为________.

△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=4，b=27， 面积S=32accsB.
(1)求sinA的值；

(2)点D在线段AB上，满足2BD→=DA→，求线段CD的长．

已知数列an满足2an=Sn+n，Sn为数列an的前n项和．
(1)求证：an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；

(2)设bn=2nan⋅an+1，数列bn的前n项和为Sn，证明：Sn<1．

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．

(1)证明：平面A1AC⊥平面ABB1；

(2)求二面角C1−AB−A1的大小．

某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为
[9,10)，[10,11)，[11,12)，[12,13)，[13,14)，五个小组(所调查的芯片得分均在[9,14]内)，得到如图所示的频率分布直方图，其中a−b=0.18.

(1)求这100颗芯片评测分数的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替).

(2)芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试， 该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测.若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格. 已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）. 每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由.

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，P22,0，Q1,72是椭圆C上的两点．
(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点M0,m，使|OA→+2OB→|=|OA→−2OB→|成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

已知函数f(x)=lnx−(m+2)x，k(x)=−mx2−2．
(1)讨论函数fx的单调性；

(2)设m>0，若存在x∈[12,1]，使得不等式f(x)参考答案与试题解析
2020-2021学年广东省四会市高三（下）第4次周练数学试卷
选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，A={x|1又B=x|x>2，
所以A∩B=2,4.
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
【解析】
利用纯虚数的定义即可得出．
【解答】
解：∵ 复数z=m(m−1)+(m−1)i是纯虚数，
∴ m(m−1)=0，m−1≠0，
∴ m=0.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
利用直线与直线所成角求解长方体的高，然后求解该长方体的体积．
【解答】
解：∵ BC // AD，直线AD与直线BC1所成的角为60∘，
∴ ∠C1BC是AC1与BC所成的角，
∴ ∠C1BC=60∘，AB=2，BC=1，
∴ CC1=3，
∴ 该长方体的体积V=2×1×3=23．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由题意首先确定样本中心点，然后求得回归方程，最后估计学生的身高即可．
【解答】
解：由题意，得x¯=22010=22，y¯=161010=161，
回归方程经过样本中心点(22,161)，
则161=4×22+a，
解得a=73，
所以回归方程为y=4x+73，
所以其身高为4×24+73=169厘米．
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
双曲线的准线方程
【解析】
求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，判断双曲线的渐近线的斜率，推出a＝b，由离心率公式即可得到所求．
【解答】
解：因为抛物线x2=4y的准线方程为y=−1，平行坐标轴，
双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线关于y轴对称，
抛物线的准线与双曲线的渐近线组成等腰直角三角形，
所以双曲线的渐近线的斜率为±1，
得a=b，
所以c=2a，
所以e=ca=2．
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
画出函数f(x)的图像，结合图像求出k的值即可．
【解答】
解：f(x)=|x−1|⋅(x+1)=x2−1,x>1,−(x2−1),x≤1,
画出函数f(x)的图象，如图所示，
结合函数图象，得k=1或k=0时，
方程f(x)=k有两个不同的实数解．
故选D．
7.
【答案】
A
【考点】
圆的切线方程
诱导公式
二倍角的余弦公式
直线与圆的位置关系
【解析】
由已知结合直线与圆相切的性质可求斜率k，然后结合直线倾斜角与斜率关系可求tanα，进而可求sinα，再由诱导公式进行化简可求．
【解答】
解：因为y=kx−2与圆x2+(y−1)2=1相切，
所以31+k2=1，
解得k=±22，
即tanα=±22.
因为α∈(0,π)，
所以sinα=223，
所以1−cs2αcsπ2+α=2sin2α−sinα=−2sinα=−423．
故选A．
8.
【答案】
A
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
当此四棱锥体积取得最大值时， SO⊥底面ABCD，设正方形ABCD的边长=a，可得4×12a12a2+22a2=23,解得a，进而得出结论．
【解答】
解：如图，
当此四棱锥体积取得最大值时，SO⊥底面ABCD，
设正方形ABCD的边长为a，
则4×12a(12a)2+(22a)2=23，
解得a=2，
则球的半径r=22a=1，
则球O体积V=4π3×13=4π3．
故选A．
9.
【答案】
C,D
【考点】
平面与平面平行的判定
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
对于A，α与β相交与平行；对于B，α与β相交与平行；对于C，由面面平行的判定定理得α // β；对于D，由面面平行的判定定理得α // β．
【解答】
解：平面α内有无数条直线都与β平行，则α与β相交与平行，故A错误；
直线a⊂α，b⊂β，且a // β，b // α，则α与β相交与平行，故B错误；
平面γ // α，且平面γ // β，由面面平行的判定定理，得α // β，故C正确；
平面α内有两条不平行的直线都平行于平面β，
由面面平行的判定定理，得α // β，故D正确．
故选CD．
10.
【答案】
A,C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
不等式的基本性质
命题的否定
二项分布的应用
正态分布的密度曲线
【解析】
直接利用不等式的性质，命题的否定，二项分布，正态分布的关系式的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】
解：对于A，当“am2>bm2”时，则“a>b”成立，
当“a>b”且m=0时，“am2>bm2”不成立，
故“am2>bm2”是“a>b”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题“∃x∈R，使x2+x−1<0”的否定是：
“∀x∈R，均有x2+x−1≥0”，故B错误；
对于C，随机变量ξ服从二项分布：B(4,14)，则E(ξ)=4×14=1，故C正确；
对于D，随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，P(ξ≤4)=0.79，
则P(ξ≤−2)=1−P(ξ≤4)=1−0.79=0.21，故D正确．
故选ACD．
11.
【答案】
B,C,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的对称性
正弦函数的单调性
函数奇偶性的判断
【解析】
根据“左加右减”的平移原则和诱导公式可知g(x)＝cs2x，由辅助角公式可得f(x)+g(x)＝sin(2x+），由二倍角公式可得f(x)⋅g(x)＝sin4x，再根据正弦函数的图象与性质逐一判断四个选项即可．
【解答】
解：由题意，得gx=sin2x+π4=cs2x，
选项A，fx+gx=sin2x+cs2x=2sin2x+π4，
令2x+π4=kπ，k∈Z，
则x=kπ2−π8，k∈Z，
所以函数fx+gx的对称中心为kπ2−π8,0，k∈Z，
不包含点π8,0，故选项A错误；
选项B，fx⋅gx=sin2x⋅cs2x=12sin4x，
则f(x)为奇函数，故选项B正确；
选项C，fx+gx=2sin2x+π4，
令2x+π4∈π2+2kπ,3π2+2kπ，k∈Z，
则x∈π8+kπ,5π8+kπ，k∈Z，
则函数fx+gx的单调递减区间为[π8+kπ,5π8+kπ]，k∈Z，
则函数fx+gx在x∈0,π单调递减区间为[π8,5π8] ，故选项C正确；
选项D，fx⋅gx=12sin4x，
令4x=π2+kπ，k∈Z，
则x=π8+kπ4，k∈Z，
当k=−1时，函数fx⋅gx的图象的一个对称轴方程为x=−π8，故选项D正确．
故选BCD．
12.
【答案】
B,C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数新定义问题
【解析】
根据凸函数的定义,分别对各选项求二阶导,然后判断f′′(x)是否小于0,从而得到正确选项．
【解答】
解：A，∵ fx=sinx−csx，得f′x=csx+sinx，
∴ f″x=−sinx+csx=2csx+π4.
∵ x∈0,π2，
∴ 当x=π4时，f″x=2csπ2=0，故A错误；
B，∵ fx=lnx−2x，
∴ f′x=1x−2，
∴ f″x=−1x2<0在0,π2上恒成立，故B正确；
C，由fx=−x3+2x−1，得f′x=−3x2+2，
∴ f″x=−6x，
∵ x∈0,π2，
∴ f′′x=−6x<0恒成立，故C正确；
D，由fx=−xe−x，得f′x=e−xx−1，
∴ f′′x=e−x2−x．
∵ x∈0,π2，
∴ 2−x>0，e−x>0，
∴ f″x=e−x2−x>0恒成立，故D错误．
故选BC．
解答题
【答案】
−4
【考点】
二项式系数的性质
【解析】
利用二项展开式的通项公式Tr+1=C4r•(x3)4−r⋅(−1x)r即可求得展开式中的常数项．
【解答】
解：设(x3−1x)4展开式的通项为Tr+1，
则Tr+1=C4r⋅(x3)4−r⋅(−1x)r=(−1)rC4r⋅x12−4r,
令12−4r=0，解得r=3，
则开式中常数项为(−1)3×C43=−4．
故答案为：−4．
【答案】
23
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
每市随机分配2名医生，先求出基本事件总数，再求出甲、乙两人被分配在不同城市包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙两人被分配在不同城市的概率．
【解答】
解：新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，
每市随机分配2名医生，基本事件总数n=C42C22A22⋅A22=6，
甲、乙两人被分配在不同城市包含的基本事件个数m=C21A22=4，
则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为P=mn=23．
故答案为：23.
【答案】
12.5
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的性质
【解析】
由题意构造等差数列{an}，然后得到关于a1和d的关系，求出a1和d，然后利用等差数列的通项公式求解a4即可．
【解答】
解：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{an}，
由已知可冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，
所以a1+a2+a3=3a1+3d=43.5，a12=a1+11d=4.5，
解得a1=15.5，d=−1，
所以立春的日影子长为a4=a1+3d=12.5尺．
故答案为：12.5.
【答案】
12,1
【考点】
函数的单调性及单调区间
函数奇偶性的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意，定义域为R的函数fx=−2x+12x+1+m是奇函数，
则有f−x=−fx ，即−2x+121−x+m=−−2x+12x+1+m，
变形可得： 2x−1m−2=0，必有m=2，
则fx=−2x−12x+1+2=−121−22x+1，
故fx在R上为减函数，
则flg31x+f[lg31−x]>0⇒0⇒f−lg3x+f[lg31−x]>0⇒−flg3x+f[lg31−x]>0⇒f[lg31−x]>flg3x，
则有 1−x>0，x>0，1−x解可得12即不等式的解集为12,1.
故答案为： 12,1.
【答案】
解：(1)因为S=32accsB=12acsinB，
所以tanB=3.
因为B∈(0,π)，
所以B=π3，
由正弦定理，得4sinA=2732，
所以sinA=217.
(2)因为a=4， b=27，B=π3，
由余弦定理，得b2=a2+c2−2accsB，
得28=16+c2−2×4×c×12，
即c2−4c−12=0，
解得c=6或c=−2（舍去），
因为2BD→=DA→，可得BD=2，
所以在△BDC中，
由余弦定理，得CD=BD2+a2−2BD⋅a⋅csB
=22+42−2×2×2×4×12=23.
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
(Ⅰ)由已知结合三角形的面积公式进行化简可得tanB，结合B的范围求出B，然后结合正弦定理得到sinA的值，
(Ⅱ)由已知利用余弦定理可得c2−4c−12=0，解方程可得c的值，由已知可求BD的值，在△BDC中，由余弦定理可求得CD的值．
【解答】
解：(1)因为S=32accsB=12acsinB，
所以tanB=3.
因为B∈(0,π)，
所以B=π3，
由正弦定理，得4sinA=2732，
所以sinA=217.
(2)因为a=4， b=27，B=π3，
由余弦定理，得b2=a2+c2−2accsB，
得28=16+c2−2×4×c×12，
即c2−4c−12=0，
解得c=6或c=−2（舍去），
因为2BD→=DA→，可得BD=2，
所以在△BDC中，
由余弦定理，得CD=BD2+a2−2BD⋅a⋅csB
=22+42−2×2×2×4×12=23.
【答案】
证明：(1)2an=Sn+n①，
2an−1=Sn−1+n−1②，
①−②得，an+1=2an−2an−1，
即an+1an−1+1=2，
所以a1=1，a1+1=2，
所以an+1是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)bn=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，
所以Sn=b1+b2+b3+⋯+bn
=[(121−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12n−1−12n+1−1)]
=1−12n+1−1.
因为n≥1，
所以12n+1−1>0，
所以Sn<1．
【考点】
等比数列
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)2an=Sn+n①，
2an−1=Sn−1+n−1②，
①−②得，an+1=2an−2an−1，
即an+1an−1+1=2，
所以a1=1，a1+1=2，
所以an+1是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)bn=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，
所以Sn=b1+b2+b3+⋯+bn
=[(121−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12n−1−12n+1−1)]
=1−12n+1−1.
因为n≥1，
所以12n+1−1>0，
所以Sn<1．
【答案】
(1)证明：如图，连接A1C.
因为A1在底面ABC上的射影恰为点B，
所以A1B⊥平面ABC，
所以A1B⊥AC.
因为AB⊥AC，且A1B∩AB=B，
A1B⊂平面ABB1，AB⊂平面ABB1，
所以AC⊥平面ABB1，
又AC⊂平面A1AC，
所以平面A1AC⊥平面ABB1．
(2)解：因为AC // A1C1，AB⊥AC，
所以AB⊥A1C1，
因为A1B⊥平面ABC，
所以AB⊥A1B，
所以AB⊥平面A1BC1，
所以AB⊥C1B，AB⊥A1B，
所以∠A1BC1为二面角C1−AB−A1的平面角，
因为AC // A1C1，A1B⊥AC，
所以A1C1⊥A1B，
又因为AC=A1B，AC=A1C1，
所以A1B=A1C1，
所以∠A1BC1=45∘，
即二面角C1−AB−A1的大小为45∘．
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定
二面角的平面角及求法
【解析】
(Ⅰ)根据平面与平面垂直的判定定理证明；
(Ⅱ)寻找二面角的平面角，转化到等腰直角三角形中求解．
【解答】
(1)证明：如图，连接A1C.
因为A1在底面ABC上的射影恰为点B，
所以A1B⊥平面ABC，
所以A1B⊥AC.
因为AB⊥AC，且A1B∩AB=B，
A1B⊂平面ABB1，AB⊂平面ABB1，
所以AC⊥平面ABB1，
又AC⊂平面A1AC，
所以平面A1AC⊥平面ABB1．
(2)解：因为AC // A1C1，AB⊥AC，
所以AB⊥A1C1，
因为A1B⊥平面ABC，
所以AB⊥A1B，
所以AB⊥平面A1BC1，
所以AB⊥C1B，AB⊥A1B，
所以∠A1BC1为二面角C1−AB−A1的平面角，
因为AC // A1C1，A1B⊥AC，
所以A1C1⊥A1B，
又因为AC=A1B，AC=A1C1，
所以A1B=A1C1，
所以∠A1BC1=45∘，
即二面角C1−AB−A1的大小为45∘．
【答案】
解：(1)依题意， 0.05+a+b+0.35+0.28×1=1，
故a+b=0.32.
又因为a−b=0.18，
所以a=0.25，b=0.07.
所求平均数为：
9.5×0.05+10.5×0.25+11.5×0.35+12.5×0.28+13.5×0.07
=0.475+2.625+4.025+3.5+0.945
=11.57(万分).
(2)由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率
P=0.35+0.28+0.07=0.7 .
设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500，
P(X=600)=0.32=0.09，
P(X=900)=0.73+0.7×0.32+0.3×0.7×0.3=0.469，
PX=1200=C31×0.3×0.72×0.3=0.1323，
PX=1500=C31×0.3×0.72×0.7=0.3087 ，
故每颗芯片的测试费用的数学期望为
E(X)=600×0.09+900×0.469+1200×0.1323+1500×0.3087=1097.91(元),
因为100×1097.91>100000，
所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片.
【考点】
众数、中位数、平均数
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)依题意， 0.05+a+b+0.35+0.28×1=1，
故a+b=0.32.
又因为a−b=0.18，
所以a=0.25，b=0.07.
所求平均数为：
9.5×0.05+10.5×0.25+11.5×0.35+12.5×0.28+13.5×0.07
=0.475+2.625+4.025+3.5+0.945
=11.57(万分).
(2)由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率
P=0.35+0.28+0.07=0.7 .
设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500，
P(X=600)=0.32=0.09，
P(X=900)=0.73+0.7×0.32+0.3×0.7×0.3=0.469，
PX=1200=C31×0.3×0.72×0.3=0.1323，
PX=1500=C31×0.3×0.72×0.7=0.3087 ，
故每颗芯片的测试费用的数学期望为
E(X)=600×0.09+900×0.469+1200×0.1323+1500×0.3087=1097.91(元),
因为100×1097.91>100000，
所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片.
【答案】
解：(1)根据题意，得a=22，1a2+74b2=1，a2=b2+c2，
解得b2=2，c2=6，
故椭圆的方程为x28+y22=1.
(2)假设直线存在，
由已知可得直线的斜率存在，设直线方程为y=kx+m，
由 y=kx+m，x28+y22=1，
整理，得1+4k2x2+8kmx+4m2−8=0，
Δ=168k2−m2+2>0，，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x2=−8km4k2+1，x1x2=4m2−84k2+1，
y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m2
=m2−8k24k2+1，
∵ |OA→+2OB→|=|OA→−2OB→|，
∴ OA→⊥OB→，
即OA→⋅OB→=0，
∴ x1x2+y1y2=0，
∴ 8k2=5m2−8≥0，
解得m>2105或m<−2105，
即m的取值范围为(−∞,−2105)∪(2105,+∞).
【考点】
椭圆的应用
椭圆的标准方程
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
(Ⅰ)由椭圆过点P，Q，列方程组，解得a，b，c，进而可得答案．
(Ⅱ)假设存在这样的直线，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线方程为y＝kx+m，联立椭圆的方程，结合韦达定理，可得x1+x2，x1x2，y1y2，由|+2|＝|−2|，得⊥，即x1x2+y1y2＝0，即8k2＝5m2−8≥0，代入△>0，即可得出答案．
【解答】
解：(1)根据题意，得a=22，1a2+74b2=1，a2=b2+c2，
解得b2=2，c2=6，
故椭圆的方程为x28+y22=1.
(2)假设直线存在，
由已知可得直线的斜率存在，设直线方程为y=kx+m，
由 y=kx+m，x28+y22=1，
整理，得1+4k2x2+8kmx+4m2−8=0，
Δ=168k2−m2+2>0，，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x2=−8km4k2+1，x1x2=4m2−84k2+1，
y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m2
=m2−8k24k2+1，
∵ |OA→+2OB→|=|OA→−2OB→|，
∴ OA→⊥OB→，
即OA→⋅OB→=0，
∴ x1x2+y1y2=0，
∴ 8k2=5m2−8≥0，
解得m>2105或m<−2105，
即m的取值范围为(−∞,−2105)∪(2105,+∞).
【答案】
解：(1)∵ fx=lnx−m+2x的定义域为0,+∞，
∴ f′x=1x−m+2.
当m+2≤0，即m≤−2时，f′x=1x−m+2>0恒成立，
∴ 函数fx在0,+∞上单调递增；
当m+2>0，即m>−2时，令f′x>0，解得0令f′x<0，解得x>1m+2，
∴ 函数fx在0,1m+2上单调递增，在1m+2,+∞上单调递减，
综上，当m≤−2时，函数fx在0,+∞上单调递增；
当m>−2时，函数fx在0,1m+2上单调递增，在1m+2,+∞上单调递减.
(2)若存在x∈12,1使得不等式fx即存在x∈12,1使mx2−m+2x+lnx+2<0成立，
令gx=mx2−m+2x+lnx+2，x∈12,1，
则gxmin<0.
g′x=2mx2−m+2x+1x=2mx−12x−1mx，
①当m≥2时，1m≤12，g′x≥0，函数gx在12,1上单调递增，
gxmin=g12=m4−m+22+ln12+2<0，
解得m>41−ln2；
②当1gx在12,1m上单调递减，在1m,1上单调递增，
gxmin=g1m=1m+ln1m−(m+2)×1m+2
=−lnm−1m+1.
令ℎx=−lnx−1x+1，x∈(1,2)，
ℎ′x=−1x+1x2=1−xx2<0恒成立，
即函数ℎx在x∈(1,2)上单调递减.
又ℎ1=−ln1−11+1=0，
所以ℎx=−lnx−1x+1<0在x∈(1,2)上恒成立，
即gxmin=−lnm−1m+1<0，
解得m∈(1,2)，符合题意；
③当0所以函数gx在12,1上单调递减，
所以gxmin=g(1)=m+ln1−(m+2)×1+2=0，不符题意.
综上，m的取值范围是(1,+∞).
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
(Ⅰ)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(Ⅱ)将原问题转化为函数最小值小于零的问题，然后结合导函数研究函数的性质即可确定实数m的取值范围．
【解答】
解：(1)∵ fx=lnx−m+2x的定义域为0,+∞，
∴ f′x=1x−m+2.
当m+2≤0，即m≤−2时，f′x=1x−m+2>0恒成立，
∴ 函数fx在0,+∞上单调递增；
当m+2>0，即m>−2时，令f′x>0，解得0令f′x<0，解得x>1m+2，
∴ 函数fx在0,1m+2上单调递增，在1m+2,+∞上单调递减，
综上，当m≤−2时，函数fx在0,+∞上单调递增；
当m>−2时，函数fx在0,1m+2上单调递增，在1m+2,+∞上单调递减.
(2)若存在x∈12,1使得不等式fx即存在x∈12,1使mx2−m+2x+lnx+2<0成立，
令gx=mx2−m+2x+lnx+2，x∈12,1，
则gxmin<0.
g′x=2mx2−m+2x+1x=2mx−12x−1mx，
①当m≥2时，1m≤12，g′x≥0，函数gx在12,1上单调递增，
gxmin=g12=m4−m+22+ln12+2<0，
解得m>41−ln2；
②当1gx在12,1m上单调递减，在1m,1上单调递增，
gxmin=g1m=1m+ln1m−(m+2)×1m+2
=−lnm−1m+1.
令ℎx=−lnx−1x+1，x∈(1,2)，
ℎ′x=−1x+1x2=1−xx2<0恒成立，
即函数ℎx在x∈(1,2)上单调递减.
又ℎ1=−ln1−11+1=0，
所以ℎx=−lnx−1x+1<0在x∈(1,2)上恒成立，
即gxmin=−lnm−1m+1<0，
解得m∈(1,2)，符合题意；
③当0所以函数gx在12,1上单调递减，
所以gxmin=g(1)=m+ln1−(m+2)×1+2=0，不符题意.
综上，m的取值范围是(1,+∞).