2020-2021学年湖北省高二（上）期末数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省高二（上）期末数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∀x∈[−1, 0]，x2−3x+2>0”的否定是（ ）
A.∀x∈[−1, 0]，x2−3x+2<0B.∀x∈[−1, 0]，x2−3x+2≤0
C.∃x0∈[−1, 0]，x02−3x0+2≤0D.∃x0∈[−1, 0]，x02−3x0+2<0

2. 已知i为虚数单位，且复数，则复数z的共轭复数为（ ）
A.−1+2iB.−1−2iC.1+2iD.1−2i

3. 已知双曲线的：的实轴长为虚轴长的3倍，则双曲线的离心率e为（ ）
A.B.C.D.

4. 已知x与y之间的一组数据如表：
若y与x线性相关，根据上表求得y与x的线性回归方程，中的为8，据此模型预报x＝7时y的值为（ ）
A.70B.63C.65D.66

5. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
B.若m // n，n⊂β，则m // β
C.若m⊥α，m // n，n // β，则α⊥β
D.若m⊂α，n⊂α，m // β，n // β，则α // β

6. 在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AB＝BC，AC＝2，AA1＝，点E为A1C1的中点，点F在BC的延长线上且，则异面直线BE与C1F所成的角为（ ）

A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘

7. 皮埃尔•德•费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的(p−1)次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理若在数集{2, 3, 5, 6}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（ ）
A.B.C.D.

8. 已知y＝(1−x)f′(x)的图象如图所示，其中f′(x)是函数f(x)的导数，则所给选项的四个图象中，函数y＝f(x)的图象可能是（ ）

A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

已知函数f(x)＝x⋅csx，x∈R，则下列说法正确的有（ ）
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是周期函数
C.曲线y＝f(x)在点（π, f(π)）处的切线方程为x+y＝0
D.在区间上，f(x)单调递增

下列说法正确的是（ ）
A.向量，，且与共线，则实数k为−2
B.“a2>4”是“a>2”的必要不充分条件
C.“0D.对于命题“∀x∈R，ax2+4x≥x2−2”是真命题，则实数a的取值范围是{a|a≥3}

已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆C的离心率为B.存在点A使得AF1⊥AF2
C.若|AF2|+|BF2|＝8，则|AB|＝12D.△AF1F2面积的最大值为12

如图，点M是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中的线段A1D上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）

A.存在点M，使CM // 平面A1BC1
B.不存在点M满足CM⊥AD1
C.存在点M，使异面直线C1M与AB所成的角是60∘
D.二面角B−C1D−M的正弦值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

已知向量，，且与互相垂直，则k＝________．

用长为24cm的钢条围成一个长方体框架，要求长方体的长与宽之比为3:1，则长方体的宽为________时，其体积最大．

抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，经过点F的斜率为的直线l1交抛物线于A，B两点，交点B在x轴的下方，BB1⊥l，垂足为点B1，则△BFB1的面积为________．

已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，f(−2)=0，且当x>0时，f(x)−xf′(x)x2<0，则不等式(x−1)2f(x−1)>0的解集是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

已知函数f(x)=x2+x−1ex．
(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线的方程；

(2)求函数y=f(x)的极值．

在①平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AP；②AB⊥PA，PA⊥CD；③BC⊥平面PAB，AB⊥AP．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
如图，在四棱柱P−ABCD中，底面ABCD是梯形，点E在BC上，AD // BC，AB⊥AD，BC＝2AB＝2AD＝2AP＝4BE＝4，且______．

（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；

（2）求直线PE与平面PAC所成的角的正弦值．

已知抛物线x2＝4y，焦点为F，过点M(0, 2)作直线l交抛物线于A，B两点．

（1）证明：KOA⋅KOB为定值（O为原点，KOA，KOB为直线OA，OB的斜率）；

（2）求三角形AFB的面积S△AFB的最小值．

某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了解本次竞赛的学生成绩情况，从中随机抽取了n名学生的成绩（假设竞赛成绩均在[50, 100]内）作为样本进行统计．按照[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]分为五组作出了如图频率分布直方图，并列出了分数在[50, 60)和[90, 100]的茎叶图．

（1）由图中数据求出n，a，b的值；

（2）若从竞赛成绩在[70, 80),[80, 90),[90, 100]的学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成环保知识宣传小组，定期在校内进行义务宣传，并在这6名学生中随机抽取2名学生参加市组织的环保知识竞赛，求竞赛成绩在[80, 90)内的学生至少有1名学生被抽到的概率．

已知函数f(x)＝(1−x)2−3aln(2+x)．
（1）若a＝−1，求函数f(x)的单调区间；

（2）若f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围．

已知椭圆的左、右焦点分别为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，且椭圆C上的点M满足，∠MF1F2＝120∘．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）作直线垂直于x轴，交椭圆C于点Q，R，点P是椭圆C上异于Q，R两点的任意一点，直线PQ，PR分别与x轴交于S，T两点，判断|OS|⋅|OT|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
D
【考点】
复数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
B
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
A
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
B
【考点】
函数的图象与图象的变换
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
【答案】
A,C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
B,D
【考点】
全称量词与存在量词
命题的真假判断与应用
全称命题与特称命题
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
B,C,D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,D
【考点】
异面直线及其所成的角
直线与平面平行
二面角的平面角及求法
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
【答案】
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
1cm
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
(−1, 1)∪(3, +∞)
【考点】
奇偶性与单调性的综合
利用导数研究函数的单调性
【解析】
先根据fxx′>0判断函数y=fxx的单调性，进而分别看x>2和0【解答】
解：y=fx是定义在R上的奇函数，f−2=0则f(2)=0，
fxx′=xf′x−fxx2>0，即x>0时y=fxx是增函数，
当x>2时，fxx>f22=0，fx>0，
0又fx是奇函数，所以−20，
x<−2时fx=−f−x<0
则不等式x−12fx−1>0即fx−1>0，
故x−1>2或−2解得：x>3或−1故答案为：−1,1∪3,+∞．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【答案】
解：(1)函数f(x)=x2+x−1ex定义域为R，
且f′(x)=−x2+x+2ex=−(x+1)(x−2)ex.
∵ 曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线斜率k=f′(0)=2，
又f(0)=−1，
∴切点为(0,−1)，
∴ 所求切线方程为y−(−1)=2(x−0)，即2x−y−1=0．
(2)∵ f′(x)=−(x+1)(x−2)ex，ex>0，
由f′(x)=0，得x=−1或x=2.
当x∈(−∞, −1)和(2, +∞)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(−1, 2)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．
∴f(x)极小值=f(−1)=−e，f(x)极大值=f(2)=5e2.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
(1)求出函数的定义域，函数的导数，求解切线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程；
(2)求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的极值即可．
【解答】
解：(1)函数f(x)=x2+x−1ex定义域为R，
且f′(x)=−x2+x+2ex=−(x+1)(x−2)ex.
∵ 曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线斜率k=f′(0)=2，
又f(0)=−1，
∴切点为(0,−1)，
∴ 所求切线方程为y−(−1)=2(x−0)，即2x−y−1=0．
(2)∵ f′(x)=−(x+1)(x−2)ex，ex>0，
由f′(x)=0，得x=−1或x=2.
当x∈(−∞, −1)和(2, +∞)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(−1, 2)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．
∴f(x)极小值=f(−1)=−e，f(x)极大值=f(2)=5e2.
【答案】
证明：由PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，即DE⊥PA，
又，
∴ ，则，有DE⊥AC，
又PA，AC⊂平面PAC，
∴ DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE．
由（1）可得平面PAC的一个法向量为，
又，
∴ PE与平面PAC所成的角的正弦值为：．
【考点】
直线与平面所成的角
平面与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：依题意分析得直线l的斜率存在，设为k．
又过点M(0, 2)
设A(x7, y1)，B(x2, y7)
由消去字母y得x2−4kx−3＝0，
∵ 直线l与抛物线交于A，B两点，则，
∴ ，
又，，则，，
故为定值．
弦AB的长＝＝，
焦点F到直线l:y＝kx+m即kx−y+2＝8的距离，
∴
∵ k∈R，则k2≥8
∴ k＝0时，△AFB的面积最小为．
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
依题意得：样本容量，
，
又(0.005+0.035+a+4.020+b)×10＝1，
代入解得a＝0.030．
第三组竞赛成绩在[70, 80)内的人数为8.030×10×100＝30，
第四组竞赛成绩在[80, 90)内的人数为0.020×10×100＝20，
第五组竞赛成绩在[90, 100)内的人数为0.010×10×100＝10．
从中抽取2人，则抽样比例为
∴ 第三组竞赛成绩在[70, 80)中抽取的学生人数为​1，A6，A3
第四组竞赛成绩在[80, 90)中抽取的学生人数为​1，B2
第五组竞赛成绩在[90, 100]中抽取的学生人数
从6名学生中随机抽取2名的可能情况有：
(A1, A2)(A3, A3)(A1, B4)(A1, B2)(A5, C)(A2, A3)(A3, B1)(A2, B8)
(A2, C)(A3, B3)(A3, B2)(A7, C)(B1, B2)(B7, C)(B2, C)共15种，
其中第四组竞赛成绩在[80, 90)中抽取的2名学生中至少有5名被抽到的事件有：
(A1, B1)(A5, B2)(A2, B2)(A2, B2)(A8, B1)(A3, B4)(B1, C)(B2, C)(B2, B2)共9种，
其概率为．
【考点】
频率分布直方图
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
当a＝−1时，f(x)＝(1−x)3+3ln(2+x)(x>−2)，
，
当f′(x)＝0时，，
当f′(x)>0时，或，此时f(x)为增函数，
当f′(x)<4时，，此时f(x)为减函数，
∴ f(x)的单调递增区间为，，
单调递减区间为；
函数f(x)＝(1−x)5−3aln(2+x)的定义域为{|x>−8}，
，
∵ 函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝3，
即方程2x2+3x−3a−4＝5在x∈(−2, +∞)上由两个不等实根，
设g(x)＝2x3+2x−3a−8，
结合二次函数的性质分析可得：，
解得，故a的取值范围是（-．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
依题意得：c＝1，|F1F7|＝2C＝2．
由椭圆定义知|MF5|+|MF2|＝2a，
又，则，
在△MF1F2中，∠MF8F2＝120∘，由余弦定理得：，
即，解得a＝3，
又b2＝a2−c4＝3，
故所求椭圆方程为．
依题意得知：Q，R两点关于x轴对称，
设P(x0, y0)，Q(x2, y1)，则R(x1, −y5)，
则，，
∴ ，同理，
又直线PQ的方程为，
由y＝0得点S的横坐标，
同理直线PR的方程为，
由y＝7得点R的横坐标，
∴
＝
＝
＝
＝＝7．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答x
3
4
5
6
y
30
40
60
50