三年（2019-2021）高考数学（理）真题分项汇编之专题01集合与常用逻辑用语（解析版）

专题01  集合与常用逻辑用语

1．【2021·浙江高考真题】设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由交集的定义结合题意可得：.

故选：D.

2．【2021·全国高考真题】设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题设有，故选：B .

3．【2021·全国高考真题（理）】设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以,

故选：B.

4．【2021·全国高考真题（理）】已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】任取，则，其中，所以，，故，

因此，.

故选：C.

5．【2021·浙江高考真题】已知非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】若，则，推不出；若，则必成立，

故“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

6．【2021·全国高考真题（理）】已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由于，所以命题为真命题；

由于，所以，所以命题为真命题；

所以为真命题，、、为假命题.

故选：A．

7．【2021·全国高考真题（理）】等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】由题，当数列为时，满足，

但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．

若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．

故选：B．

8．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=

A．–4 B．–2

C．2 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.

【详解】求解二次不等式可得，

求解一次不等式可得.

由于，故，

解得.

故选B．

【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则

A．{−2，3}  B．{−2，2，3}

C．{−2，−1，0，3}  D．{−2，−1，0，2，3}

【答案】A

【解析】

【分析】

首先进行并集运算，然后计算补集即可.

【详解】由题意可得，则.

故选A

【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.

10．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合，，则中元素的个数为

A．2  B．3

C．4  D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

采用列举法列举出中元素的即可.

【详解】由题意，中的元素满足，且，

由，得，

所以满足的有，

故中元素的个数为4.

故选C．

【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.

11．【2020年高考天津】设全集，集合，则

A． B．

C．  D．

【答案】C

【解析】

【分析】

首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.

【详解】由题意结合补集的定义可知，则.

故选C．

【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.

12．【2020年高考北京】已知集合，，则

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据交集定义直接得结果.

【详解】，

故选D．

【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

13．【2020年高考天津】设，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选A．

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=

A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}

C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合并集概念求解.

【详解】.

故选C

【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．【2020年高考浙江】已知集合P=，Q=，则PQ=

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据集合交集定义求解

【详解】.

故选B.

【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

16．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两相交”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.

【详解】依题意，是空间不过同一点的三条直线，

当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.

当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.

综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.

故选B.

【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.

17．【2020年高考北京】已知，则“存在使得”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.

【详解】(1)当存在使得时，

若为偶数，则；

若为奇数，则；

(2)当时，或，，即或，

亦即存在使得．

所以，“存在使得”是“”的充要条件.

故选C．

【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.

18．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合，则=

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】由题意得，

则．

故选C．

【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分．

19．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=

A．(–∞，1) B．(–2，1)    

C．(–3，–1) D．(3，+∞)

【答案】A

【解析】由题意得，或，，则．

故选A．

【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．

20．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合，则

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】∵∴，∴，

又，∴.

故选A．

【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.

21．【2019年高考天津理数】设集合，则

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】因为，所以.

故选D.

【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．

22．【2019年高考浙江】已知全集，集合，，则=

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵，∴.

故选A.

【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.

23．【2019年高考浙江】若a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；

当时，满足，但此时，必要性不成立，

综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

故选A.

【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

24．【2019年高考天津理数】设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由可得，由可得，

易知由推不出，

由能推出，

故是的必要而不充分条件，

即“”是“”的必要而不充分条件.

故选B.

【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到的取值范围.

25．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行           B．α内有两条相交直线与β平行    

C．α，β平行于同一条直线              D．α，β垂直于同一平面

【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；

由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.

故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.

故选B．

【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.

26．【2019年高考北京理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】∵A､B､C三点不共线，∴|+|>|||+|>|-|

|+|2>|-|2·>0与的夹角为锐角，

故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件.

故选C.

【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.

27．【2020年高考江苏】已知集合，则_____.

【答案】

【解析】

【分析】

根据集合的交集即可计算.

【详解】∵,，

∴.

故答案为.

【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．

28．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．

则下述命题中所有真命题的序号是__________．

① ② ③ ④

【答案】①③④

【解析】

【分析】

利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.

【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，

同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题，若直线平面，

则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，

命题为真命题.

综上可知，，为真命题，，为假命题，

真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故答案为①③④.

【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.

29．【2019年高考江苏】已知集合，，则  ▲   .

【答案】

【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.

由题意知，.

【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.