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第2.5讲 圆的综合题-备战中考数学热点难点突破（教师版）学案
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这是一份第2.5讲 圆的综合题-备战中考数学热点难点突破（教师版）学案，共31页。
1．圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系的证明会有所下降趋势，不会有太复杂的大题出现.
2．今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．
基础知识回顾:
知识点1：圆的有关性质和计算
①弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等．
②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．
④圆内接四边形的性质：
圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角．
知识点2：点与圆的位置关系
①设点与圆心的距离为，圆的半径为，
则点在圆外； 点在圆上； 点在圆内．
②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆． 一个三角形有且只有一个外接圆．
③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．[来源:Z|X|X|K]
知识点3：直线与圆的位置关系
①设圆心到直线的距离为，圆的半径为，
则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交．
②切线的性质：与圆只有一个公共点；
圆心到切线的距离等于半径；
圆的切线垂直于过切点的半径．
③切线的识别：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线．
到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
④三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．
三角形的内心到三角形三边的距离相等．
⑤切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
⑥切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．！
知识点4：圆与圆的位置关系
①圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
②两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴．
由对称性知：两圆相切，连心线经过切点．两圆相交，连心线垂直平分公共弦．
③两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线．
两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线．
两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线．
④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．
知识点5：与圆有关的计算
①弧长公式： 扇形面积公式：
（其中为圆心角的度数，为半径）
②圆柱的侧面展开图是矩形．
圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．
圆柱的侧面积＝底面周长×高
圆柱的全面积＝侧面积＋2×底面积
③圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．
④圆锥的侧面积＝×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积
应用举例:
招数一、圆的基本性质证明计算题
【例1】如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
【答案】（1）DE＝4；（2）圆O的半径为5．
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，
【例2】如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．
（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；
（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
【答案】（1）∠POA=90°，x=；（2）当直线PQ与⊙O相切时时，此时x的值为﹣32.5；（3）满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．
【解析】（1）如图1中，
（2）如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小．
在Rt△OPQ中，OQ=OP÷=32.5，此时x的值为﹣32.5；
（3）分三种情况：
①如图2中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，QH=3k．
在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，
整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，
解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），
∴OQ=5k=31.5．
此时x的值为31.5．
②如图3中，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH=4k，QH=3k．
③如图4中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，AH=3k．
在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，
整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，
解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），
∴OQ=5k=31.5不合题意舍弃．
此时x的值为﹣31.5．
综上所述，满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．
【例3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求∠BOM的度数．
【答案】（1）答案见解析；（2）135°．
招数二、圆与三角形全等、相似、四边形知识结合
【例4】如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F落在OA中点处，则BC的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】解：连接OC．
故选：D．！
【例5】如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）填空：①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是 ；
②若AB=2，当∠CAB的度数为 时，四边形DEFG是正方形．
【答案】（1）详见解析；（2）①；②75°或15°．
【解析】（1）四边形DEFG是平行四边形．
∵点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，
∴DG∥AB，DG=AB，EF∥AB，EF=AB，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）①连接OC，
∵CA=CB，∴，∴DG⊥OC，
∵AD=DC，AE=EO，
∴DE∥OC，DE=OC=1，同理EF=AB=，
∴DE⊥DG，∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的面积=．
故答案为；
【例6】（2016秋•平舆县期中）如图，⊙O的半径为1，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）填空：
①PC、PB、PA之间的数量关系是 ；
②四边形APBC的最大面积为 ．
（2）①如图1，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP，
故答案为：CP=BP+AP；
②当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，
∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=，
∴S四边形APBC=×2×=．，
故答案为：．
招数三、圆与三角函数等其他知识结合
【例7】如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CE，CD，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且∠FAB=∠ABC，连接BF．
（1）求证：∠BCD=∠BEC；
（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sin∠ABF的值．
【答案】（1）见解析；（2）CE=， sin∠ABF=.
（2）∵∠BCD=∠BEC，∠EBC=∠EBC，
∴△BDC∽△BCE，
∴，
∵BC=2，BD=1，∴BE=4，EC=2CD，
∴DE=BE﹣BD=3，
在Rt△DCE中，DE2=CD2+CE2=9，∴CD=，CE=，
过点F作FM⊥AB于M，
∵∠FAB=∠ABC，∠FMA=∠ACB=90°，
∴△AFM∽△BAC，∴，∵DE=3，
∴AD=AF=AC=，AB=，∴FM=，
【例8】已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
【答案】（1）AC=；（2）ct∠ABD=；（3）S△ACD=．
（2）如图1，连接BC，
∵AB为直径，OD⊥AC，∴∠AFO=∠C=90°，
∴OD∥BC，∴∠D=∠EBC，
∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC=DF、EC=EF，
又∵AO=OB，∴OF是△ABC的中位线，
设OF=t，则BC=DF=2t，
∵DF=DO﹣OF=1﹣t，∴1﹣t=2t，
解得：t=，
则DF=BC=、AC==，
∴EF=FC=AC=，
∵OB=OD，∴∠ABD=∠D，
则ct∠ABD=ct∠D=；！
（3）如图2，
招数三、求阴影部分面积问题
【例9】如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作半圆，交于点.
（1）求证：是的切线；
（2）若点是的中点，，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点是边上的动点，当取最小值时，直接写出的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）过作垂线，垂足为
∵，∴平分
∵∴
∵为⊙的半径，∴为⊙的半径，
∴是⊙的切线
（3）作关于的对称点，交于，连接交于
此时最小
由（2）知，，∴
∵∴，，
∵，∴∽
∴即
∵，∴即，
∴.
方法、规律归纳:
1．在弄清题意的基础上把复杂图形分解为几个基本图形进行思考，并适当添加辅助线补全或构造基本图形，在直径或有切线的条件下，构造直角三角形或利用圆内角的关系构造相似三角形，从而使已知和未知之间建立联系．
2．掌握常规的与圆有关的问题的证明方法与技巧(如证角相等、证线段相等、证线段垂直等)，掌握与圆有关的图形(如圆外切三角形、圆内接三角形、圆内接四边形、圆内接正n边形等)的特殊性质与计算公式，对于求阴影部分的面积有以下几种解决方法：方法一：加减法，将阴影部分变成几个规则图形的和或差；方法二：割补法，将阴影部分分割成几部分，然后将它们补在某些合适的地方；方法三：覆盖法，几个规则图形覆盖在一起，重叠部分就是阴影部分。
3．注意数学思想方法的运用，如转化思想，通过与圆有关的直角三角形的勾股定理把证明问题转化为方程计算问题等，熟悉并掌握这类问题的常用解题方法和解题策略。
实战演练:
1. 在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
∵OH•CD=OC•OD，
∴OH=.
2. 如图，A是半径为6cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以πcm/s的速度沿圆周按顺时针方向运动，当点P回到A时立即停止运动．设点P运动时间为t（s）;
（1）当t=6s时，∠POA的度数是________；
（2）当t为多少时，∠POA=120°；
（3）如果点B是OA延长线上的一点，且AB=AO，问t为多少时，△POB为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）180；当点P运动的时间t为4s或8s时，∠POA=120°；（3）当点P运动的时间为2s或3s或9s或10s时，△POB为直角三角形．
【解析】（1）设∠POA=n°，则
弧AP的长=6π=，
∴n=180．
即∠POA的度数是180．
故答案为180；
（2）当∠POA=120°时，如图，点P运动的路程为⊙O周长的（图中P1处）或（图中P2处），
设点P运动的时间为ts．
当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，
解得t=4；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，
解得t=8；
∴当点P运动的时间t为4s或8s时，∠POA=120°；
②当∠OPB=90°时，如图，（图中P3处）或（图中P4处），
设点P运动的时间为ts．
当点P运动P3处时，连接AP3．
∵∠OP3B=90°，OA=AB，
∴AP3=OA=OP3，
∴△OAP3是等边三角形，
∴∠AOP3=60°，
∴π•t=•2π•6，
解得t=2；
当点P运动P4处时，连接AP4．
∵∠OP4B=90°，OA=AB，
综上可知，当点P运动的时间为2s或3s或9s或10s时，△POB为直角三角形．！
（
3. 如图，在△ABC中，∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O是AB上一点，经过A,E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sin∠EFA=,AF=,求线段AC的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）6.4.
【解析】证明：（1）如图1，连接，
∵，∴.
∵平分，∴.∴.∴∥ ,
∴.∴
∵为的半径，∴是的切线.
（2）如图2，连接.
∵，，
4.已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如图，连接CD、OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
又∵△ABC是等边三角形，∴AD=BD，
∵BO=CO，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
5.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC）=30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD=OB•cs∠OBC=4×=2，
∴BC=4．
故选：B．
6. 如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF=OC；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
【答案】（1）DE是⊙O的切线；（2）①证明见解析；②4π+12+．
（2）①由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC；
7.如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，
8. 如图，已知AB，CD是的直径，过点C作的切线交AB的延长线于点P，的弦DE交AB于点F，且DF=EF．
（1）求证：CO2=OF·OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=，PB=4，求GH的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
．！
（2）解：如图作于，连接、．设．
在中，，
，
，
，
是直径，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
方法二：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴=，
∴DC2=AD•DE
∵AC=2DE，
∴设DE=x，则AC=2x，
则AC2﹣AD2=AD•DE，
期（2x）2﹣AD2=AD•x，
整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，
解得：AD=4x或﹣5x（负数舍去），
则DC==2x，
故tan∠ABD=tan∠ACD===2．
10. 如图1，直线l：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点以点A为圆心，AC长为半径作交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交于点F．
求直线l的函数表达式和的值；
如图2，连结CE，当时，
求证：∽；
求点E的坐标；
当点C在线段OA上运动时，求的最大值．
【答案】（1）直线l的函数表达式，；证明见解析；E； 最大值为．
如图2，连接DF，，
，
，
过点于M，
由知，，
设，则，
，，
，，
，
由知，∽，
，
，
，
，
，
舍或，
，，
；
连接FH，
是直径，
，，
，
∽，
，
，
时，最大值为．！
1．圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系的证明会有所下降趋势，不会有太复杂的大题出现.
2．今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．
基础知识回顾:
知识点1：圆的有关性质和计算
①弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等．
②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．
④圆内接四边形的性质：
圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角．
知识点2：点与圆的位置关系
①设点与圆心的距离为，圆的半径为，
则点在圆外； 点在圆上； 点在圆内．
②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆． 一个三角形有且只有一个外接圆．
③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．[来源:Z|X|X|K]
知识点3：直线与圆的位置关系
①设圆心到直线的距离为，圆的半径为，
则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交．
②切线的性质：与圆只有一个公共点；
圆心到切线的距离等于半径；
圆的切线垂直于过切点的半径．
③切线的识别：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线．
到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
④三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．
三角形的内心到三角形三边的距离相等．
⑤切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
⑥切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．！
知识点4：圆与圆的位置关系
①圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
②两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴．
由对称性知：两圆相切，连心线经过切点．两圆相交，连心线垂直平分公共弦．
③两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线．
两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线．
两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线．
④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．
知识点5：与圆有关的计算
①弧长公式： 扇形面积公式：
（其中为圆心角的度数，为半径）
②圆柱的侧面展开图是矩形．
圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．
圆柱的侧面积＝底面周长×高
圆柱的全面积＝侧面积＋2×底面积
③圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．
④圆锥的侧面积＝×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积
应用举例:
招数一、圆的基本性质证明计算题
【例1】如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
【答案】（1）DE＝4；（2）圆O的半径为5．
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，
【例2】如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．
（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；
（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
【答案】（1）∠POA=90°，x=；（2）当直线PQ与⊙O相切时时，此时x的值为﹣32.5；（3）满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．
【解析】（1）如图1中，
（2）如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小．
在Rt△OPQ中，OQ=OP÷=32.5，此时x的值为﹣32.5；
（3）分三种情况：
①如图2中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，QH=3k．
在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，
整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，
解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），
∴OQ=5k=31.5．
此时x的值为31.5．
②如图3中，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH=4k，QH=3k．
③如图4中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，AH=3k．
在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，
整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，
解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），
∴OQ=5k=31.5不合题意舍弃．
此时x的值为﹣31.5．
综上所述，满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．
【例3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求∠BOM的度数．
【答案】（1）答案见解析；（2）135°．
招数二、圆与三角形全等、相似、四边形知识结合
【例4】如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F落在OA中点处，则BC的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】解：连接OC．
故选：D．！
【例5】如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）填空：①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是 ；
②若AB=2，当∠CAB的度数为 时，四边形DEFG是正方形．
【答案】（1）详见解析；（2）①；②75°或15°．
【解析】（1）四边形DEFG是平行四边形．
∵点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，
∴DG∥AB，DG=AB，EF∥AB，EF=AB，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）①连接OC，
∵CA=CB，∴，∴DG⊥OC，
∵AD=DC，AE=EO，
∴DE∥OC，DE=OC=1，同理EF=AB=，
∴DE⊥DG，∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的面积=．
故答案为；
【例6】（2016秋•平舆县期中）如图，⊙O的半径为1，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）填空：
①PC、PB、PA之间的数量关系是 ；
②四边形APBC的最大面积为 ．
（2）①如图1，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP，
故答案为：CP=BP+AP；
②当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，
∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=，
∴S四边形APBC=×2×=．，
故答案为：．
招数三、圆与三角函数等其他知识结合
【例7】如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CE，CD，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且∠FAB=∠ABC，连接BF．
（1）求证：∠BCD=∠BEC；
（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sin∠ABF的值．
【答案】（1）见解析；（2）CE=， sin∠ABF=.
（2）∵∠BCD=∠BEC，∠EBC=∠EBC，
∴△BDC∽△BCE，
∴，
∵BC=2，BD=1，∴BE=4，EC=2CD，
∴DE=BE﹣BD=3，
在Rt△DCE中，DE2=CD2+CE2=9，∴CD=，CE=，
过点F作FM⊥AB于M，
∵∠FAB=∠ABC，∠FMA=∠ACB=90°，
∴△AFM∽△BAC，∴，∵DE=3，
∴AD=AF=AC=，AB=，∴FM=，
【例8】已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
【答案】（1）AC=；（2）ct∠ABD=；（3）S△ACD=．
（2）如图1，连接BC，
∵AB为直径，OD⊥AC，∴∠AFO=∠C=90°，
∴OD∥BC，∴∠D=∠EBC，
∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC=DF、EC=EF，
又∵AO=OB，∴OF是△ABC的中位线，
设OF=t，则BC=DF=2t，
∵DF=DO﹣OF=1﹣t，∴1﹣t=2t，
解得：t=，
则DF=BC=、AC==，
∴EF=FC=AC=，
∵OB=OD，∴∠ABD=∠D，
则ct∠ABD=ct∠D=；！
（3）如图2，
招数三、求阴影部分面积问题
【例9】如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作半圆，交于点.
（1）求证：是的切线；
（2）若点是的中点，，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点是边上的动点，当取最小值时，直接写出的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）过作垂线，垂足为
∵，∴平分
∵∴
∵为⊙的半径，∴为⊙的半径，
∴是⊙的切线
（3）作关于的对称点，交于，连接交于
此时最小
由（2）知，，∴
∵∴，，
∵，∴∽
∴即
∵，∴即，
∴.
方法、规律归纳:
1．在弄清题意的基础上把复杂图形分解为几个基本图形进行思考，并适当添加辅助线补全或构造基本图形，在直径或有切线的条件下，构造直角三角形或利用圆内角的关系构造相似三角形，从而使已知和未知之间建立联系．
2．掌握常规的与圆有关的问题的证明方法与技巧(如证角相等、证线段相等、证线段垂直等)，掌握与圆有关的图形(如圆外切三角形、圆内接三角形、圆内接四边形、圆内接正n边形等)的特殊性质与计算公式，对于求阴影部分的面积有以下几种解决方法：方法一：加减法，将阴影部分变成几个规则图形的和或差；方法二：割补法，将阴影部分分割成几部分，然后将它们补在某些合适的地方；方法三：覆盖法，几个规则图形覆盖在一起，重叠部分就是阴影部分。
3．注意数学思想方法的运用，如转化思想，通过与圆有关的直角三角形的勾股定理把证明问题转化为方程计算问题等，熟悉并掌握这类问题的常用解题方法和解题策略。
实战演练:
1. 在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
∵OH•CD=OC•OD，
∴OH=.
2. 如图，A是半径为6cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以πcm/s的速度沿圆周按顺时针方向运动，当点P回到A时立即停止运动．设点P运动时间为t（s）;
（1）当t=6s时，∠POA的度数是________；
（2）当t为多少时，∠POA=120°；
（3）如果点B是OA延长线上的一点，且AB=AO，问t为多少时，△POB为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）180；当点P运动的时间t为4s或8s时，∠POA=120°；（3）当点P运动的时间为2s或3s或9s或10s时，△POB为直角三角形．
【解析】（1）设∠POA=n°，则
弧AP的长=6π=，
∴n=180．
即∠POA的度数是180．
故答案为180；
（2）当∠POA=120°时，如图，点P运动的路程为⊙O周长的（图中P1处）或（图中P2处），
设点P运动的时间为ts．
当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，
解得t=4；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，
解得t=8；
∴当点P运动的时间t为4s或8s时，∠POA=120°；
②当∠OPB=90°时，如图，（图中P3处）或（图中P4处），
设点P运动的时间为ts．
当点P运动P3处时，连接AP3．
∵∠OP3B=90°，OA=AB，
∴AP3=OA=OP3，
∴△OAP3是等边三角形，
∴∠AOP3=60°，
∴π•t=•2π•6，
解得t=2；
当点P运动P4处时，连接AP4．
∵∠OP4B=90°，OA=AB，
综上可知，当点P运动的时间为2s或3s或9s或10s时，△POB为直角三角形．！
（
3. 如图，在△ABC中，∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O是AB上一点，经过A,E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sin∠EFA=,AF=,求线段AC的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）6.4.
【解析】证明：（1）如图1，连接，
∵，∴.
∵平分，∴.∴.∴∥ ,
∴.∴
∵为的半径，∴是的切线.
（2）如图2，连接.
∵，，
4.已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如图，连接CD、OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
又∵△ABC是等边三角形，∴AD=BD，
∵BO=CO，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
5.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC）=30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD=OB•cs∠OBC=4×=2，
∴BC=4．
故选：B．
6. 如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF=OC；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
【答案】（1）DE是⊙O的切线；（2）①证明见解析；②4π+12+．
（2）①由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC；
7.如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，
8. 如图，已知AB，CD是的直径，过点C作的切线交AB的延长线于点P，的弦DE交AB于点F，且DF=EF．
（1）求证：CO2=OF·OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=，PB=4，求GH的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
．！
（2）解：如图作于，连接、．设．
在中，，
，
，
，
是直径，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
方法二：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴=，
∴DC2=AD•DE
∵AC=2DE，
∴设DE=x，则AC=2x，
则AC2﹣AD2=AD•DE，
期（2x）2﹣AD2=AD•x，
整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，
解得：AD=4x或﹣5x（负数舍去），
则DC==2x，
故tan∠ABD=tan∠ACD===2．
10. 如图1，直线l：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点以点A为圆心，AC长为半径作交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交于点F．
求直线l的函数表达式和的值；
如图2，连结CE，当时，
求证：∽；
求点E的坐标；
当点C在线段OA上运动时，求的最大值．
【答案】（1）直线l的函数表达式，；证明见解析；E； 最大值为．
如图2，连接DF，，
，
，
过点于M，
由知，，
设，则，
，，
，，
，
由知，∽，
，
，
，
，
，
舍或，
，，
；
连接FH，
是直径，
，，
，
∽，
，
，
时，最大值为．！
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