升六年级数学奥数讲义-排列组合初步（教师版 学生版）

 学科培优 数学 

“排列组合初步”

知识定位

理解加乘原理的根本，分辨何时使用加法原理、何时使用乘法原理

知识梳理

一、乘法原理：

我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.

乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法 ，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.

二、加法原理：

无论自然界还是学习生活中，事物的组成往往是分门别类的，例如解决一件问题的往往不只一类途径，每一类途径往往又包含多种方法，如果要想知道一共有多少种解决方法，就需要用到加法原理.

加法原理：一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法 ，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N= m1 + m2 +…+mk 种不同的方法.

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.

加乘原理的区别：

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关。”

例题精讲

【试题来源】

【题目】用2、4、5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第多少个数？

【试题来源】

【题目】用0、1、2、3、4这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如1023、2341等，求全体这样的四位数之和。

【试题来源】

【题目】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？

【试题来源】

【题目】有5个标签分别对应着5个药瓶，恰好贴错3个标签的可能情况共有多少种？

【试题来源】

【题目】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。问：⑴如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？⑵如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？

【试题来源】

【题目】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成。现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会。从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？

【试题来源】

【题目】在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？

【试题来源】

【题目】如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续

（即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻），这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法。

【试题来源】

【题目】①有5个人排成一排照相，有多少种排法？
②5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法？
③5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？
④5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法

【试题来源】1.迎春杯决赛2. 兴趣杯少年数学邀请赛决赛

【题目】（1）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？

（2）在右图（2）中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个“兵”．有多少种不同的放法？

【试题来源】

【题目】有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？

【试题来源】

【题目】计算机上编程序打印出前10000个正整数：1、2、3、……、10000时，不幸打印机有毛病，每次打印数字3时，它都打印出x，问其中被错误打印的共有多少个数？

【试题来源】

【题目】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？

【试题来源】

【题目】有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？

【试题来源】

【题目】在1000到9999之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为2，并且4个数字各不相同的四位数有多少个？

【试题来源】

【题目】大林和小林共有小人书不超过50本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？

【试题来源】

【题目】（1）如右图（1），从学校到少年宫的最短路线有多少条？

（2）小君家到学校的道路如右图（2）所示。从小君家到学校的最短路线有多少种不同的走法？

【试题来源】

【题目】某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如下图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给下图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色．共有_____种不同的染色方法．

【试题来源】

【题目】用1～9可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成______个满足要求的三位数． 

【试题来源】

【题目】数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1。问：1999表示为1个或几个正整数的和的方法有多少种？

习题演练

【试题来源】

【题目】阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园再去图书馆；第三天公园修路不能通行．问：这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？

【试题来源】

【题目】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着。请问一共有多少种不同的放法？

【试题来源】

【题目】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？

（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.

（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.

（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.

（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排.

【试题来源】

【题目】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？

【试题来源】

【题目】.一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数?

【试题来源】

【题目】下图是一个道路图。A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有60个孩子到过路口B，那么先后共有多少个孩子到过路口C？