初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数同步达标检测题

专题24 利用二次函数解决喷水问题

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题)

1．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　)

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米

【答案】A

【详解】

）∵y=－x2＋4x=，

∴当x=2时，y有最大值4，

∴最大高度为4m

2．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是(    )

A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s

【答案】A

【详解】

由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．

解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0，

把h=0代入h=30t−5t2得：5t2−30t=0，

解得：t1=0(舍去),t2=6.

故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.

故选A.

3．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（    ）

A．2m B．3m C．4m D．5m

【答案】B

【分析】

以OB为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，A点坐标为（0，10），M点的坐标为（1，），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解．

【详解】

解：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+，

把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+，得a(0﹣1)2+＝10，

解得a＝﹣，

因此抛物线解析式为y＝﹣(x﹣1)2+，

当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；

即OB＝3米．

故选B．

【点睛】

本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．

4．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）

A．3s B．4s C．5s D．10s

【答案】C

【分析】

将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．

【详解】

解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，

∴当t＝5时，礼炮升到最高点．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．

5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点离墙1米，离地面3米，则水流下落点离墙的距离是(   )

A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米

【答案】B

【分析】

由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．

【详解】

解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，

把A（0，2.25）代入，得

2.25=a+3，

a=-0.75．

∴抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3．

当y=0时，

0=-0.75（x-1）2+3，

解得：x1=-1（舍去），x2=3．

OB=3米．

故选：B．

【点睛】

本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．

6．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（  ）

A．1米 B．2米 C．5米 D．6米

【答案】B

【分析】

先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值．

【详解】

解：∵y=-x2+6x=-（x2-4x）=-[（x-2）2-4]=-（x-2）2+6，
∴当x=2时，y有最大值，
∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2．
故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

7．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论：

(1)柱子OA的高度为m；

(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；

(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；

(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.

其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】

在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．

【详解】

解：当x=0时，y=，故柱子OA的高度为m；(1)正确；

∵y=﹣x2+2x+=﹣（x﹣1）2+2.25，

∴顶点是（1，2.25），

故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故(2)正确，(3)错误；

解方程﹣x2+2x+=0，

得x1=﹣，x2=，

故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确．

故选C．

【点睛】

考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键．

8．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度与水流时间之间的解析式为，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

求出解析中h＝0时t的值即可得．

【详解】

在h＝30t−5t2中，令h＝0可得30t−5t2＝0，

解得：t＝0或t＝6，

所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确解析式中水流落到地面所对应的函数值为0．

9．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（　　）

A．0.55米 B．米 C．米 D．0.4米

【答案】B

【分析】

如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．

【详解】

解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，

由题意得，对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），

设解析式为y＝ax2+bx+c，

∴，

解得：，

所以解析式为：y＝x2+x+，

当x＝2.75时，y＝，

∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣＝，

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键

10．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．

【详解】

解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），

把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：

，

解得：，

∴函数表达式为：，

∵a＜0，故函数有最大值，

∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2，

答：水流喷出的最大高度为2米．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．

二、填空题(共5小题)

11．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下如图如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流如图，水流喷出的高度米与水平距离米之间的关系式是，那么圆形水池的半径至少为______米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．

【答案】

【分析】

求出函数解析式中y=0时x的值，结合x＞0可得最终的x的值，从而得出OB的长．

【详解】

解：在 中，当y=0时， ，

解得 ， ，

，

，即 ，

圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不至于落在池外，

故答案为．

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确函数解析式中两个变量的实际意义．

12．某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y＝－x2＋4x＋，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流不落在水池外．

【答案】

【详解】

当y=0时，即-x2+4x+=0，
解得x1=，x2=-（舍去）．
答：水池的半径至少米时，才能使喷出的水流不落在水池外．
故答案是：．

13．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝_____m．

【答案】5

【分析】

设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.25，将A（0，1.25）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B坐标，从而可得CB的长．

【详解】

解：设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.25

∵点A（0，1.25）在抛物线上

∴1.25＝a（0﹣1）2+2.25

解得：a＝﹣1

∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25

令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+2.25

解得：x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）

∴点B坐标为（﹣2.5，0）

∴OB＝OC＝2.5

∴CB＝5

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．

14．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为9m，则水管的长度OA是_____m．

【答案】．

【分析】

设抛物线的表达式为：y=a（x-h）2+k=（x-3）2+5，将点（9，0）代入上式求出a，进而求解．

【详解】

解：设抛物线的表达式为：y=a（x-h）2+k=a（x-3）2+5，

将点（9，0）代入上式并解得：，

故抛物线的表达式为：，

令x=0，则，即

故答案为：

【点睛】

本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．

15．如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处M（1，2.25），如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要______m，才能使喷出的水流不至落到池外．

【答案】2.5

【分析】

由水流路线最高处B（1，2.25）可设顶点式，再根据图象过点A（0，1.25）即可得出函数解析式，然后设y=0求出点B的坐标得出答案．

【详解】

设抛物线的解析式为，

∵图象过点A（0，1.25）  ∴，解得：a=－1，

∴抛物线的解析式为，

当y=0时，解得：x=2.5或x=－0.5，  ∴水池半径至少要2.5m．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的应用，属于基础题型，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握．解决这个问题的关键是求出函数解析式．

三、解答题(共2小题)

16．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？

【答案】水管长为2.25m．

【分析】

以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．

【详解】

以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．

由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，

则设抛物线的解析式为：

y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），

代入（3，0）求得：a＝．

将a值代入得到抛物线的解析式为：

y＝（x﹣1）2+3（0≤x≤3），

令x＝0，则y＝＝2.25．

故水管长为2.25m．

【点睛】

本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．

17．用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．

科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：m），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）．

应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔．

（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?

（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；

（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．

【答案】（1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm

【分析】

（1）将s2=4h(20-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；

（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解变形即可得出答案；

（3）设垫高的高度为m，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．

【详解】

解：(1)∵s2=4h(H-h)，

∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400，

∴当h=10时，s2有最大值400，

∴当h=10时，s有最大值20cm．

∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；

故答案为：最大射程是20cm.

(2) ∵s2=4h(20-h)，

设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：

4a(20-a)=4b(20-b)，

∴20a-a2=20b-b2，

∴a2-b2=20a-20b，

∴(a+b)(a-b)=20(a-b)，

∴(a-b)(a+b-20)=0，

∴a-b=0或a+b-20=0，

∴a=b或a+b=20.

故答案为：a=b或a+b=20.

(3)设垫高的高度为m，则

∴当时，

∴时，此时

∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．

故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm.

【点睛】

本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．