多维层次练50-双曲线学案

这是一份多维层次练50-双曲线学案，共12页。

1．双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,20)＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(4,5)x B．y＝±eq \f(5,4)x
C．y＝±eq \f(1,5)x D．y＝±eq \f(2\r(5),5)x
解析：在双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,20)＝1中，a＝5，b＝2eq \r(5)，所以其渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(5),5)x，故选D.
答案：D
2．若直线l：x－2y－5＝0过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1
C.eq \f(x2,4)－y2＝1 D.x2－eq \f(y2,4)＝1
解析：根据题意，令y＝0，则x＝5，即c＝5.又eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲线的方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1.
答案：A
3．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y－1＝0垂直，则双曲线的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \r(5)
C.eq \f(\r(3)＋1,2) D.eq \r(3)＋1
解析：由已知得eq \f(b,a)＝2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(\f(5a2,a2))＝eq \r(5)，故选B.
答案：B
4．(多选题)若点P是以F1，F2为焦点的双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1上的一点，且|PF1|＝12，则|PF2|的值可以是( )
A．2 B．22
C．4 D．20
解析：由双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1得a＝5，b＝3，c＝eq \r(34)，由双曲线的定义得||PF2|－|PF1||＝10，即|PF2|＝|PF1|±10＝12±10＝22或2.
答案：AB
5．(2020·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝eq \f(1,2)×a×|DE|＝eq \f(1,2)×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.
答案：B
6．已知直线l与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，O为坐标原点，则eq \(OM,\s\up15(→))·eq \(ON,\s\up15(→))＝( )
A．3 B．4
C．5 D．与P的位置有关
解析：设切点P(x0，y0)，则eq \f(xeq \\al(2,0),4)－yeq \\al(2,0)＝1，切线l的方程为eq \f(1,4)x0x－y0y＝1.由题意知该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，不妨设M为直线l与渐近线y＝eq \f(1,2)x的交点，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)x0x－y0y＝1，,y＝\f(1,2)x，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,x0－2y0)，,y＝\f(2,x0－2y0)，))即交点M(eq \f(4,x0－2y0)，eq \f(2,x0－2y0))，同理可得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x0＋2y0)，\f(－2,x0＋2y0)))，所以eq \(OM,\s\up15(→))·eq \(ON,\s\up15(→))＝eq \f(12,xeq \\al(2,0)－4yeq \\al(2,0))＝eq \f(12,4)＝3，故选A.
答案：A
7．(2020·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5)＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，则该双曲线的离心率是________．
解析：法一 由题意，得双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5)＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(5),a)x.又该双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，所以eq \f(\r(5),a)＝eq \f(\r(5),2)，所以a＝2.又b2＝5，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝3.故该双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2).
法二 由题意，得双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5)＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(5),a)x.又该双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，所以eq \f(\r(5),a)＝eq \f(\r(5),2)，所以a＝2.又b2＝5，所以该双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(5,22))＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
8．已知曲线eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,k2－k)＝1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是______________；当曲线表示双曲线时k的取值范围是________．
解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2－k>2，
所以k<－1或k>2；
当曲线表示双曲线时，k2－k<0，所以0答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) (0，1)
9．若双曲线E：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率等于eq \r(2)，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6eq \r(3)，求k的值．
解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\r(2)，,a2＝c2－1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1，,c2＝2，))
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2－y2＝1，))得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
因为直线与双曲线右支交于A，B两点，
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k>1，,Δ＝（2k）2－4（1－k2）×（－2）>0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k>1，,－\r(2)故k的取值范围为(1，eq \r(2))．
(2)由①得x1＋x2＝eq \f(2k,k2－1)，x1x2＝eq \f(2,k2－1)，
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝
2eq \r(\f(（1＋k2）（2－k2）,（k2－1）2))＝6eq \r(3)，整理得28k4－55k2＋25＝0，
所以k2＝eq \f(5,7)或k2＝eq \f(5,4).又110．已知双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为eq \f(2\r(5),5).
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若eq \(AP,\s\up15(→))＝eq \(PB,\s\up15(→))，求△AOB的面积．
解：(1)依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＝2，,\f(|2×0＋a|,\r(5))＝\f(2\r(5),5)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，))
故双曲线的方程为eq \f(y2,4)－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m>0，n>0.
由eq \(AP,\s\up15(→))＝eq \(PB,\s\up15(→))得点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－n,2)，m＋n)).
将点P的坐标代入eq \f(y2,4)－x2＝1，整理得mn＝1.
设∠AOB＝2θ，因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝2，则tan θ＝eq \f(1,2)，从而sin 2θ＝eq \f(4,5).又|OA|＝eq \r(5)m，|OB|＝eq \r(5)n，
所以S△AOB＝eq \f(1,2)|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.
[综合应用练]
11．(2020·广东湛江一模)设F为双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝eq \r(7)－1，则双曲线E的方程是( )
A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,3)－y2＝1 D.x2－eq \f(y2,3)＝1
解析：双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
因为四边形OAFB为菱形，
所以对角线互相垂直平分，
所以c＝2a，∠AOF＝60°，
所以eq \f(b,a)＝eq \r(3).
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,3a2)＝1，,x2＋y2＝c2＝4a2，))
解得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)a，\f(3,2)a)).
因为|PF|＝eq \r(7)－1，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)a－2a))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a))eq \s\up12(2)＝(eq \r(7)－1)2，解得a＝1，
则b＝eq \r(3)，
故双曲线E的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
故选D.
答案：D
12．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A．eq \f(4\r(3),3) B．eq \f(2\r(3),3)
C．3 D．2
解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)－2r1r2cs eq \f(π,3)，得4c2＝req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)－r1r2.由r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，得r1＝a1＋a2，r2＝a1－a2，所以eq \f(1,e1)＋eq \f(1,e2)＝eq \f(a1＋a2,c)＝eq \f(r1,c).令m＝eq \f(req \\al(2,1),c2)＝eq \f(4req \\al(2,1),req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)－r1r2)＝eq \f(4,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r2,r1)))\s\up12(2)－\f(r2,r1))＝eq \f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r2,r1)－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))，当eq \f(r2,r1)＝eq \f(1,2)时，mmax＝eq \f(16,3)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r1,c)))eq \s\d7(max)＝eq \f(4\r(3),3)，即eq \f(1,e1)＋eq \f(1,e2)的最大值为eq \f(4\r(3),3).故选A.
答案：A
13．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________．
解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．
因为四边形OABC为正方形，|OA|＝2，
所以c＝|OB|＝2eq \r(2)，∠AOB＝eq \f(π,4).
因为直线OA是渐近线，方程为y＝eq \f(b,a)x，
所以eq \f(b,a)＝tan∠AOB＝1，即a＝b.
又因为a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2.
答案：2
14．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
解析：法一 不妨设点M、N在渐近线y＝eq \f(b,a)x上，如图，△AMN为等边三角形，且|AM|＝b，
则A点到渐近线y＝eq \f(b,a)x的距离为eq \f(\r(3),2)b，将y＝eq \f(b,a)x变形为一般形式为bx－ay＝0，则A(a，0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝eq \f(|ba|,\r(a2＋b2))＝eq \f(|ab|,c)，所以eq \f(|ab|,c)＝eq \f(\r(3),2)b，即eq \f(a,c)＝eq \f(\r(3),2)，所以双曲线离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(3),3).
法二 不妨设点M、N在渐近线y＝eq \f(b,a)x上，如图，作AC垂直于MN，垂足为C，
据题意知点A的坐标为(a，0)，则|AC|＝eq \f(b,\r(\f(b2,a2)＋1))＝eq \f(ab,\r(a2＋b2))，在△ACN中，∠CAN＝eq \f(1,2)∠MAN＝30°，|AN|＝b，所以cs ∠CAN＝cs 30°＝eq \f(|AC|,|AN|)＝eq \f(\f(ab,\r(a2＋b2)),b)＝eq \f(a,\r(a2＋b2))＝eq \f(a,c)＝eq \f(\r(3),2)，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(3),3).
答案：eq \f(2\r(3),3)
15．已知离心率为eq \f(4,5)的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2eq \r(34).
(1)求椭圆及双曲线的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若eq \(BM,\s\up15(→))＝eq \(MP,\s\up15(→))，求四边形ANBM的面积．
解：(1)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则根据题意知双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1且满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a2－b2),a)＝\f(4,5)，,2\r(a2＋b2)＝2\r(34)，))
解方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝25，,b2＝9.))
所以椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1,
双曲线的方程为eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1.
(2)由(1)得A(－5，0)，B(5，0)，|AB|＝10，
设M(x0，y0)，则由eq \(BM,\s\up15(→))＝eq \(MP,\s\up15(→))得M为BP的中点，
所以P点坐标为(2x0－5，2y0)．
把M，P坐标代入椭圆和双曲线方程，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,0),25)＋\f(yeq \\al(2,0),9)＝1，,\f(（2x0－5）2,25)－\f(4yeq \\al(2,0),9)＝1，))
消去y0，得2xeq \\al(2,0)－5x0－25＝0.
解得x0＝－eq \f(5,2)或x0＝5(舍去)．
所以y0＝eq \f(3\r(3),2).
由此可得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，\f(3\r(3),2)))，
所以P(－10，3eq \r(3))．
当P为(－10，3eq \r(3))时，
直线PA的方程是y＝eq \f(3\r(3),－10＋5)(x＋5)，
即y＝－eq \f(3\r(3),5)(x＋5)，代入eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，得2x2＋15x＋25＝0.
所以x＝－eq \f(5,2)或x＝－5(舍去)，
所以xN＝－eq \f(5,2)，xN＝xM，MN⊥x轴．
所以S四边形ANBM＝2S△AMB＝2×eq \f(1,2)×10×eq \f(3\r(3),2)＝15eq \r(3).
[拔高创新练]
16．已知F1，F2是双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，2) B．(2，＋∞)
C．(1，eq \r(2)) D．(eq \r(2)，＋∞)
解析：如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝eq \f(a,b)x平行的直线为y＝eq \f(a,b)x＋c，
联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(a,b)x＋c，,y＝－\f(a,b)x，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(bc,2a)，,y＝\f(c,2)，))即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(bc,2a)，\f(c,2))).因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(bc,2a)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))eq \s\up12(2)1，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2)．故选A.
答案：A