高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.3 综合应用第2课时同步达标检测题

第2课时　对数函数的综合应用

1.若loga<1，则a的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.∪(1，＋∞)

2．不等式log2(2x＋3)>log2(5x－6)的解集为(　　)

A．(－∞，3)  B.

C.    D.

3．已知f(x)＝log (x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________.

4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝mlog2(x＋1)，设这种动物第一年有200只，到第7年它们发展到(　　)

A．300只  B．400只

C．500只  D．600只

5．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)

A．10  B．9

C．8    D．7

6.已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)

A．0<k<1  B．0≤k<1

C．k≤0或k≥1  D．k＝0或k≥1

7．若函数f(x)＝loga(x＋)是奇函数，则a＝________.

8．已知奇函数f(x)＝ln .

(1)求实数a的值；

(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；

(3)当x∈[2,5]时，ln(1＋x)>m＋ln(x－1)恒成立，求实数m的取值范围．

1．已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．b<c<a  B．b<a<c

C．c<a<b  D．c<b<a

2．已知函数f(x)＝lg，f(a)＝b，则f(－a)等于(　　)

A．b  B．－b

C.  D．－

3．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是(　　)

A.      B．(0,1]

C．(0，＋∞)  D．[1，＋∞)

4．若函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则满足f(lg x)>f(1)的x的取值范围是(　　)

A.

B.

C.∪(1，＋∞)

D．(0,1)∪(10，＋∞)

5．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为(　　)

A．M <N  B．M ≤N

C．M >N  D．M ≥N

6．(探究题)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(1,2]  D.

7．函数f(x)＝的定义域为________．

8．已知函数f(x)＝ln(x＋)＋1，若实数a满足f(－a)＝2，则f(a)＝________.

9．(易错题)已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值范围为________．

10．已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.

(1)求a的值；

(2)解不等式log (x－1)>log (a－x)；

(3)求函数g(x)＝|logax－1|的单调区间．

1．(多选题)已知函数f(x)＝ln，则f(x)是(　　)

A．奇函数

B．非奇非偶函数

C．R上的增函数

D．(0，＋∞)上的增函数

2．若loga>1，则a的取值范围是________；若logb<1(b>0，且b≠1)，则b的取值范围是________．

3．(情境命题—生活情境)测定古植物的年代，可用放射性碳法．在植物内部含有微量的放射性元素14C，在植物死亡后，新陈代谢停止，14C就不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5730年(14C的半衰期)它们的残余量就只有原始含量的.经过科学测定，若14C的原始含量为a，则经过t年后的残余量a′与a之间满足关系式a′＝a·e－kt.现有一出土古植物，其中的14C的残余量占原始含量的87.9%，试推算出这个古植物生活的年代．(lg 2≈0.301，lg 0.879≈－0.056)

第2课时　对数函数的综合应用

必备知识基础练

1．解析：由loga<1，得loga<logaa，

若a>1，由函数y＝logax为增函数，得a>，所以a>1；

若0<a<1，由函数y＝logax为减函数，得0<a<，所以0<a<.

综上所述，0<a<或a>1.故选D.

答案：D

2．解析：由得<x<3.

答案：D

3．解析：二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，由已知，应用≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即解得－4<a≤4.

答案：(－4,4]

4．解析：由已知第一年有200只，得m＝200.将m＝200，x＝7代入y＝mlog2(x＋1)，得y＝600.

答案：D

5．解析：设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×n≤，即n≤，由nlg≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4，所以选C.

答案：C

6．解析：令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.

答案：C

7．解析：∵x＋>0恒成立，

∴函数f(x)的定义域为R，又∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即loga＝0，

∴＝1，∴a＝.

综验证，此时函数y＝loga(x＋)为奇函数，满足题意，故a＝.

答案：

8．解析：(1)∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

即ln＝－ln，

∴＝即(a2－1)x2＝0，解得a＝±1，

经检验，a＝－1时不符合题意，∴a＝1.

(2)f(x)在(1，＋∞)上为减函数．证明如下：由(1)知，f(x)＝ln，任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝ln－ln＝ln＝ln，

∵x1<x2，∴x2－x1>0，>1，

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数．

(3)由已知得m<ln(1＋x)－ln(x－1)，

即m<ln.

由(2)知f(x)＝ln在[2,5]上为减函数，

∴当x＝5时，min＝ln，∴m<ln.

关键能力综合练

1．解析：由题意知，a＝log45>1，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故c<b<a.

答案：D

2．解析：由>0，得f(x)的定义域为(－1,1)．

因为f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数，所以f(－a)＝－f(a)＝－b.

答案：B

3．解析：f(x)的图象如下图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．

答案：D

4．解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x)在[0，＋∞)上是减函数，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数．因为f(lg x)>f(1)，所以－1<lg x<1，即<x<10，故选B.

答案：B

5．解析：当0<a<1时，对数函数y＝logax(x>0)为减函数，此时易知0<a3＋1<a2＋1，所以loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即M>N；当a>1时，对数函数y＝logax(x>0)为增函数，此时易知0<a2＋1<a3＋1，所以loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即M>N.故选C.

答案：C

6．解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可．当0<a<1时，显然不成立．

当a>1时，如图所示，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，∴loga2≥1，∴1<a≤2.

答案：C

7．解析：要使函数f(x)有意义，则需满足

解得1≤x<2.

答案：

8．解析：设g(x)＝ln(x＋)，则g(－x)＝ln(－x＋)＝ln＝－ln(x＋)＝－g(x)，又g(x)的定义域关于原点对称，

所以g(x)为奇函数．

因此f(－a)＝g(－a)＋1＝2，所以g(－a)＝1，

从而g(a)＝－1，

所以f(a)＝g(a)＋1＝－1＋1＝0.

答案：0

9．解析：题目中隐含条件a>0，且a≠1，u＝2－ax为减函数，故要使y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a>1，且2－ax在x∈[0,1]时恒为正数，即2－a>0，故可得1<a<2.

答案：(1,2)

10．解析：(1)∵loga3>loga2，∴a>1，

∴y＝logax在[a,2a]上为增函数，

∴loga(2a)－logaa＝1，∴a＝2.

(2)依题意可知解得1<x<，

∴所求不等式的解集为.

(3)∵g(x)＝|log2x－1|，

∴g(x)＝.

∴函数g(x)在(0,2)上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数，

即g(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．

学科素养升级练

1．解析：由>0，得x>0，故f(x)不具有奇偶性，B正确，又函数v＝在(0，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，D正确．故选B、D.

答案：BD

2．解析：由loga>1＝log得，0<a<.

由logb<1＝logbb得，当0<b<1时，>b，此时0<b<；当b>1时，<b，此时b>1，所以b的取值范围是∪(1，＋∞)．

答案：　∪(1，＋∞)

3．解析：因为a′＝a·e－kt，所以＝e－kt.

两边取以10为底的对数，得lg＝－ktlg e.

因为14C的半衰期是5730年，即当t＝5730时，＝.

所以lg ＝－5730klg e.

所以klg e＝，所以t＝－·lg，此时为计算古植物年代的公式．

因为＝0.879，所以t＝－·lg0.879≈1066.

答：这个古植物约生活在1066年前．