2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：9.4　双曲线及其性质 Word版含解析【KS5U 高考】

9.4　双曲线及其性质

挖命题

【考情探究】

分析解读　　从高考题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点,离心率问题也是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,难度不大,分值约为5分,属中档题目,灵活运用双曲线的定义和基本性质是解决双曲线问题的基本方法.主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.

破考点

【考点集训】

考点一　 双曲线的定义及其标准方程

1.(2015天津文,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1　　　　B.-=1　　　　C.-y2=1　　　　D.x2-=1

答案　D　

2.(2017课标Ⅲ,5,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为　(　　)

A.-=1　　　　B.-=1　　　　C.-=1　　　　D.-=1

答案　B　

考点二　双曲线的几何性质

3.(2011北京,10,5分)已知双曲线x2-=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b=　　　　. 

答案　2

4.(2016北京,13,5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=　　　　. 

答案　2

炼技法

【方法集训】

方法1　求双曲线的标准方程的方法

1.(2016天津文,4,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为(　　)

A.-y2=1　　　　B.x2-=1　　　　C.-=1　　　　D.-=1

答案　A　

2.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为(　　)

A.-=1　　　　B.-=1　　　　C.-=1　　　　D.-=1

答案　C　

方法2　双曲线的渐近线与离心率的求法

3.(2017课标Ⅱ,9,5分)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为(　　)

A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　A　

4.(2018北京文,12,5分)若双曲线-=1(a>0)的离心率为,则a=　　　　. 

答案　4

5.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为　　　　;渐近线方程为　　　　. 

答案　-=1;y=±2x

过专题

【五年高考】

A组　自主命题·天津卷题组

考点一　双曲线的定义及其标准方程

1.(2016天津,6,5分)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1　　　　B.-=1　　　　C.-=1　　　　D.-=1

答案　D　

2.(2015天津,6,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1　　　　B.-=1　　　　C.-=1　　　　D.-=1

答案　D　

考点二　双曲线的几何性质

1.(2018天津,7,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1　　　　B.-=1　　　　C.-=1　　　　D.-=1

答案　C　

2.(2017天津文,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1　　　　B.-=1　　　　C.-=1　　　　D.-=1

答案　B　

3.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1　　　　B.-=1　　　　C.-=1　　　　D.-=1

答案　A　

B组　统一命题、省(区、市)卷题组

考点一　双曲线的定义及其标准方程

1.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(　　)

A.(-1,3)　　　　B.(-1,)　　　　C.(0,3)　　　　D.(0,)

答案　A　

2.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是　　　　. 

答案　2

3.(2016浙江文,13,4分)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　　　. 

答案　(2,8)

4.(2015北京文,12,5分)已知(2,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,则b=　　　　. 

答案　

5.(2015课标Ⅰ,16,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为　　　　. 

答案　12

考点二　双曲线的几何性质

1.(2018课标Ⅱ,5,5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(　　)

A.y=±x　　　　B.y=±x　　　　　　　　C.y=±x　　　　D.y=±x

答案　A　

2.(2018课标Ⅰ,11,5分)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(　　)

A.　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.4

答案　B　

3.(2018课标Ⅲ,11,5分)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为(　　)

A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.

答案　C　

4.(2018浙江,2,4分)双曲线-y2=1的焦点坐标是(　　)

A.(-,0),(,0)　　　　B.(-2,0),(2,0)　　　　C.(0,-),(0,)　　　　D.(0,-2),(0,2)

答案　B　

5.(2018课标Ⅲ文,10,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)

A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.2

答案　D　

6.(2017课标Ⅱ文,5,5分)若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是(　　)

A.(,+∞)　　　　B.(,2)　　　　　　　　C.(1,)　　　　D.(1,2)

答案　C　

7.(2017课标Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　D　

8.(2015重庆,9,5分)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)

A.±　　　　B.±　　　　C.±1　　　　D.±

答案　C　

9.(2017课标Ⅲ文,14,5分)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=　　　　. 

答案　5

10.(2017课标Ⅰ,15,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为　　　　. 

答案　

C组　教师专用题组

考点一　双曲线的定义及其标准方程

1.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是(　　)

A.x2-=1　　　　B.-y2=1　　　　C.-x2=1　　　　D.y2-=1

答案　C　

2.(2014北京文,10,5分)设双曲线C的两个焦点为(-,0),(,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为　. 

答案　x2-y2=1

3.(2012天津文,11,5分)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=　　　　,b=　　　　. 

答案　1;2

考点二　双曲线的几何性质

1.(2015四川,5,5分)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=(　　)

A.　　　　B.2　　　　C.6　　　　D.4

答案　D　

2.(2014广东,4,5分)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的(　　)

A.焦距相等　　　　B.实半轴长相等　　　　C.虚半轴长相等　　　　D.离心率相等

答案　A　

3.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(　　)

A.x±y=0　　　　B.x±y=0　　　　C.x±2y=0　　　　D.2x±y=0

答案　A　

4.(2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.3

答案　B　

5.(2016山东,13,5分)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　　　　. 

答案　2

6.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为　　　　. 

答案　

7.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是　　　　. 

答案　

【三年模拟】

选择题(每小题5分,共60分)

1.(2018天津和平一模,6)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,过右焦点F作渐近线的垂线,垂足为M,O为坐标原点,若△FOM的面积为,则双曲线的方程为(　　)

A.x2-=1　　　　B.-=1　　　　C.-=1　　　　D.-=1

答案　C　

2.(2018天津南开一模,6)设双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),且离心率等于.若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2-2cx=0截得的弦长为2,则该双曲线的标准方程为(　　)

A.-=1　　　　B.-=1　　　　C.-=1　　　　D.-=1

答案　C　

3.(2018天津河东一模,6)设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线的方程为y=±x,则该双曲线的离心率e=(　　)

A.10　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　D　

4.(2018天津河北一模,6)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1　　　　B.-=1　　　　C.-=1　　　　D.-=1

答案　C　

5.(2018天津红桥一模,7)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-y2=1(a>0)交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线的离心率是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　D　

6.(2018天津塘沽一中模拟,5)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-2)2+y2=6相交于A,B两点,且|AB|=4,则此双曲线的离心率为(　　)

A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　D　

7.(2018天津九校联考,5)设双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内分别交于A、B两点,若|F1B|=3|F2A|,则该双曲线的离心率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2

答案　C　

8.(2018天津河西二模,6)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=2,且双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线的方程为(　　)

A.-y2=1　　　　B.x2-4y2=1　　　　C.x2-=1　　　　D.4x2-y2=1

答案　C　

9.(2018天津一中3月月考,5)设F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得(+)·=0,其中O为坐标原点,且||=2||,则该双曲线的离心率为(　　)

A.　　　　B.+1　　　　C.　　　　D.

答案　D　

10.(2018天津南开中学第四次月考,7)已知O为直角坐标系的坐标原点,双曲线C:-=1(b>a>0)上有一点P(,m)(m>0),点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点,过点P作双曲线C两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为A,B,若平行四边形PAOB的面积为1,则双曲线的标准方程是(　　)

A.x2-=1　　　　B.-=1　　　　C.x2-=1　　　　D.-=1

答案　A　

11.(2017天津和平一模,6)已知A、B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,P为双曲线上一点,且△ABP为等腰三角形,若双曲线的离心率为,则∠ABP的度数为(　　)

A.30°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.30°或120°

答案　D　

12.(2017天津南开一模,6)双曲线-=1(a>0,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,则双曲线的离心率是(　　)

A.-1　　　　B.　　　　C.　　　　D.+1

答案　C