初中数学人教版七年级上册4.3.1 角教学设计

角（2）

一、内容和内容解析

1．内容

角的比较与运算．

2．内容解析

角的比较、角的和与差、角平分线是本章重要的几何基础知识，也是后续学习图形与几何必备的知识基础．角的大小比较方法有两种：①度量法；②叠合法．其中，叠合法是重要的方法．叠合时使两个角的顶点及一边重合，另一边落在第一条边的同旁，保证了可比性；在角的移动中，角的位置改变了，但角的大小保持不变．度量法中量角器起到了移角的作用，其实质是将两个角叠合在一起．两个角的大小关系和两个实数的大小关系一样，有且仅有三种情况：∠A＞∠B，∠A＝∠B，∠A＜∠B．这种关系是以后研究一些有关角的问题的基础(如用反证法证明有关角的问题)．

角的比较、角的和与差、角平分线知识都包含有两方面的内容：“形”(几何意义)和“数”(数量关系)．认识它们应把“数”与“形”结合起来，达到“数”与“形”的统一．对于角的大小认识，从数量上看，度数大的角也大，从形上看，开口大的角也大，从角的旋转定义来看，也可以说转的较多的角较大．对于角的和与差，一是要从形上认识它们的意义，用符号表示和差关系，在图形和等式之间建立一种关系，明确两个角的和或差，仍是一个角；二是把几何意义与度数的数量关系结合起来，明确角的和或差的度数，就是它们度数的和或差．对于角平分线，本质上反映的是角的倍半关系，认识它和认识角的和或差一样也应“数”“形”结合地进行．对于角的平分线的概念，主要结合图形来认识和理解，防止出现如“平分一个角的直线是角的平分线”的错误理解．

角的和差、角平分线的学习，是以图形直观给出，再联系到数量，给出文字的描述，最后再给出符号的表示，使几种几何语言优势互补，以期能收到更好的效果．在具体的表述中，能够弄懂几何语句的含义，并能建立几何语句与图形之间的联系，逐步学习用几何语言正确表达概念、性质．这些不仅是学习好本章的关键，对于学好以后各章也是很重要的．

基于以上分析，确定本课的教学重点：角的大小、和与差、角平分线的几何意义及数量关系，并能够解决具体问题．

二、目标和目标解析

1．目标

(1)理解角的大小、角的和与差、角平分线的几何意义及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行综合描述；

(2)经历类比线段的大小、线段的和与差、线段的中点的学习过程，学习角的比较、角的和与差、角平分线，体会类比思想；

(3) 经历探究角的和差、角平分线的运用过程，体会数形结合思想．

2．目标解析

达成目标(1)的标志：能从图形和数量关系两个角度认识角的大小，会用度量法和叠合法比较两个角的大小．能从几何图形和数量关系两方面认识角的和与差、角平分线，知道两个角的和与差仍然是一个角，会计算角的和与差或等分的度数．能结合角的大小、角的和与差、角平分线的直观图形，用文字语言和符号语言描述它们，反之，能将用符号语言或文字语言所表述的图形及关系，用图形直观表示出来；

达成目标(2)的标志：在学习过程中，能在回忆线段的大小、线段的和与差、线段中点等内容的同时，推测本节课所要学习的内容，能对学习进程心中有数；能将研究线段的大小、线段的和与差、线段的中点的方式、方法和基本套路，迁移运用到角的大小、角的和与差、角平分线的学习之中，能提出问题、分析问题、解决问题；

达成目标(3)的标志：在解决具体问题时，培养学生结合图形来分析数量关系，把几何意义与度数的数量表示结合起来，达到形与数的结合．

三、教学问题诊断分析

研究线段的大小比较、线段的和与差、线段的中点与研究角的大小比较、角的和与差、角平分线，其内容和方法都很相似，教学时把它们进行对比，学生在学习方法和内容的理解上不会有困难．困难在于用图形语言、文字语言、符号语言综合描述所研究的对象，表现在能结合角的大小、角的和与差、角平分线的直观图形，用文字语言和符号语言描述它们，反之，能将用符号语言或文字语言所表述的相关图形和关系，用图形直观表示出来．一是语言是思维的产物．其中，图形是实物和模型第一次抽象，是对研究对象的直观反映；文字语言是对图形的描述、理解和讨论，符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象，它们的综合运用，要求学生对研究对象从数和形上要有深刻理解，并具有读图和画图的能力．二是学生缺乏培养和训练，对于图形、文字、符号语言的综合运用，虽然学生在学习线段的过程中已有接触，但还需要经过一段学习、训练的过程才能达到融会贯通的程度．

本课的教学难点：用图形语言、文字语言、符号语言综合描述角的大小、角的和与差及角平分线．

四、教学过程设计

1．温故知新，引入课题

前面的学习中我们已经学习了角的有关概念，学习了线段的相关内容，你能回忆一下学了这些内容吗？

师生活动：学生回忆，回答问题．

问题1 比较图中线段AB、BC、CA的长短．

学生活动：学生回顾在线段中所学知识，小组交流，得出适当的比较线段长短的方法．

教师关注：学生对所学线段内容的整体认识以及“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程．

设计意图：学习伊始，先回忆与本节课内容密切相关的引导性材料——先行组织者．先行组织者能激活认知结构中已具备的相关知识，使学生认识到它们之间的联系；先行组织者为将要学习的材料提供了一个框架或线索，起到了“导游图”的作用，能使学生对学习进程心中有数，帮助学生建立有意义学习的方向，有助于学生掌握研究问题的方法．

问题2 你能比较出图中∠A、∠B、∠C的大小吗？

学生活动：小组交流比较方法，得出结论：可用量角器先量出角的度数，然后比较它们的大小．

教师活动：（1）肯定评价学生提出的方法，并动手测量度数，比较它们的大小，板书结论∠C＞∠B＞∠A．（2）启发引导学生类比线段长短的比较方法，也可以把它们叠合在一起比较大小，引出本课内容．

2．探究新知，解决问题

探究一：比较角的大小

教师提出问题：如何用叠合的方法比较角的大小．

学生活动：进行小组交流讨论，动手操作．每个学生都在透明纸上画一个角，然后剪下这个角，并与小组中其他同学所画的角进行比较后归纳出比较方法和结果，然后观看多媒体演示角的比较过程．

教师活动：巡视并指导学生进行角的比较活动，打开多媒体演示角的比较过程：把一个角移到另一个角上，顶点及一条边重合；两个角的另一边都在重合边的同侧，观察这两边的位置关系，就能得出两个角的大小关系．

追问：两个角的大小关系有几种？你能用图形和符号表示吗？

师生活动：画出图形，并用符号表示，如图1，指出两个角的大小关系有且仅有三种情况．

图1

教师关注：学生运用度量法、叠合法比较角的大小操作的规范性；学生是否体会两个角的大小关系有且仅有三种情况．

设计意图：采用类比的方法，按照“几何模型——图形——文字——符号”的学习程序，学生动手操作，自主探究．建立线段比较长短与角比较大小之间知识与方法的联系，在对比中加深理解．指出对于两个角的大小关系和两个实数的大小关系一样，有且仅有三种情况：∠A＞∠B，∠A＝∠B，∠A＜∠B，为以后分类研究一些有关角的问题奠定基础．

追问：比较角大小的方法有几种？每种方法中应注意的问题什么？

师生活动：教师在学生展示交流的基础上，利用课件动画演示用量角器量角、用叠合法比较角的大小过程，归纳操作要点：

归纳：比较角的大小有两种方法：度量比较法和叠合比较法

使用度量比较法应注意：

①对中（角的顶点与量角器圆心重合）；

②重合（角的一边与量角器的零刻度线重合）；

③读数（读角的另一边所在刻度的度数）；

④比较两个角度数的大小．

使用叠合比较法时要注意：

①重合(两角的顶点及一边重合)；

②同旁(另一边落在第一条边的同旁)；

③观察（观察另外两边的位置关系）．

探究二：角的和差

思考：图中共有几个角？它们之间有什么关系？

师生活动：学生确定角的个数，明确角间的和差关系．

教师关注：学生是否能发现角的和差关系，若学生仅说出它们的大小关系，教师可引导学生进一步观察图形，类比线段的和与差，发现角的和差关系．

学生完成上述问题后提问：

你能用符号表示这些角间的和差关系吗？

教师关注：学生能否理解角的和差意义．

设计意图：以角的比较大小为背景，提出角的和差问题，将知识由角的大小过渡到角的和差，衔接自然流畅．同时，针对同一图形变换审视角度提出问题，可以提高学生的读图能力．用符号表示角的和差关系，仍遵循“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程，在图形与等式之间建立一种关系．从角的度数数量上研究角的和差，突出反应角的和与差的几何意义与度数的数量间的关系，加深对角的和差概念的理解．

探究三：角平分线

问题3 类比线段的中点，在图2中，射线OB有没有一种特殊位置，若有，此时三个角之间又存在怎样的关系？

                          图2                       图3

师生活动：画出图形，如图2，明确角平分线的概念．

提出问题：

(1)你能用符号表示图2中角之间的关系吗？

∵OB是∠AOC的角平分线

∴

定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．

(2)类似角的平分线，还有角的三等分线，一个角的三等分线有几条？四等分线呢？

教师关注：在用符号表示图2角之间的关系，理解图3的内容．

设计意图：从角的和与差问题中，将射线OB的位置特殊化，并类比线段的中点，引出角平分线的概念，不仅知识的产生、发展自然连续，也体现了数学由一般到特殊，由特殊到一般的研究规律，同时，能建立知识间的联系，完善认知结构．

3．学以致用，应用新知

例1 如图，O是直线AB上一点，，求∠BOC的度数．

解：

例2 把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分）？

解：

答：每份是的角．

4．基础训练，巩固新知

练习1 如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．

教师引导：∠BOD可以看作是哪两个角的和或差？这两个角的度数你能求出来吗？“OD是∠AOC的平分线”这个条件说明图中哪些角相等，哪些角存在2倍关系，哪些角存在半角关系？这些关系对于求∠BOD有帮助吗？

学生分组讨论后，口述思路，互相补充，教师板书解答过程．

解：由题意可知，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC，

所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－60°＝30°．

由OD是∠AOC的平分线可知，

∠COD＝∠AOC ＝× 30°＝15°．

所以∠BOD＝∠COD＋∠BOC=15 °＋60 °＝75 °．

设计意图：学生从抽象的文字语言开始，结合直观的图形语言，联系到角的数量关系，最后再给出符号语言的表示，从而完成解答，充分体会几种几何语言的优势，从各个方面认识图形的关系，加深对角的和差、角平分线的几何意义的理解．

练习2 教科书第136页练习第2题．

练习3 教科书第136页练习第3 题．

练习4 如图，已知∠DOE＝70°，∠DOB＝40°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，求∠AOC．

解：由题意可知，

∠DOE＝∠DOB＋∠BOE,

所以∠BOE＝∠DOE－∠DOB

＝70°－40°

＝30°．

由OD平分∠AOB，OE平分∠BOC可知，

∠AOB＝2∠DOB＝2×40°＝80°，

∠BOC＝2∠BOE＝2×30°＝60°．

所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝80 °＋60 °＝140 °．

追问：上题中如果去掉“∠DOB＝40°”的条件，还能求出∠AOC的度数吗？

解：由OD平分∠AOB，

    OE平分∠BOC可知，

∠AOB＝2∠DOB,

∠BOC＝2∠BOE，

所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC

＝2∠DOB＋2∠BOE

＝2(∠DOB＋∠BOE)

＝2∠DOE

＝2 × 70°

＝140°．

5．动手操作

练习5 利用一副三角板，你能画出哪些度数的角？这些角有什么规律？

师生活动：学生动手操作，小组合作探究，师生归纳．

师生归纳：一副三角尺上的角都是常用的角，它们是30°，45°，60°，90° 的角，利用这些角可以很方便的画出与这些角相关的一些特殊角，如：15°，75°，105°，120°，135°，150°，165° 等．

设计意图：用一副三角板画出一些特殊角，除让学生巩固角的和、差概念外，也使学生对这些特殊角的大小有直观的认识，培养对角大小的估计能力和动手操作能力，加深学生对角的认识．

练习6 你能作一个角的平分线吗？

师生活动：画图展示交流，归纳方法(用量角器、折纸)；教师结合学生的展示交流或利用课件动画演示折叠过程中的翻折过程．

教师关注：学生操作是否规范．

设计意图：进一步明晰角平分线的概念，为后续学习轴对称和研究有关图形的翻折问题打下基础．

6．归纳小结，自我提升

设计意图：构建知识网络，完善学生认知结构．

7．布置作业

教科书第139页习题4.3第4~6题，第140页第9、10题

五、目标检测设计

1．如图，比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE的大小．

               第1题                             第2题

2．按图填空：

(1)∠AOM＋∠AON＝___________；

(2)∠NOB＋∠AOB＝____________；

(3)∠MON－∠NOB＝____________；

(4)∠BOM－∠AOM＝____________．

3．如图，OP是∠AOB的平分线，则下列说法错误的是(     )．

A．∠AOB＝2∠AOP     B．∠AOP＝∠AOB

C．∠AOB＝∠BOP     D．∠AOP＝∠BOP

               第3题                               第4题

4．如图，若∠AOB＝∠COD，请判断∠AOC与∠BOD的大小关系；若∠AOC＝∠BOD，请判断∠AOB与∠COD的大小关系．

设计意图：检测学生结合图形用等式表示角的和差关系的掌握情况，以及根据等式性质进行变形，利用代数的方法比较角的大小的运用情况．

5．如图，将长方形纸片的一角斜折，使顶点A落在A′ 处，EF为折痕，若EA′ 恰好平分∠FEB，

(1)判断∠FEA与∠A′EB的大小关系；

(2)你能求出∠FEB的度数吗？

说明：本课程结合了义务教育教科书数学七年级上册（人民教育出版社）第四章第三节的内容，见教科书第134页至第136页．