第二章 匀变速直线运动的速度与位移的关系（有详解)教案

【知识点：】一、匀变速直线运动的速度与位移的关系：1、公式的推导：（略）
2、公式的理解：（1）适用范围：仅适用于匀变速直线运动。（2）各量的意义：（略）；（3）矢量性：（略）
二、位移中点的速度公式的推导：（推导略）；

【强调说明】匀变速直线运动（无论是匀加速还是匀减速），某段位移中点的瞬时速度一定大于这一段位移的平均速度，即一定大于发生这段位移时间中点的瞬时速度。

【典型例题】

【题型1】公式：的应用。
【例1】汽车以10m/s的速度行驶，刹车后的加速度大小为求它向前滑行12.5m后的瞬时速度。
【解题思路】本题中只有初速度、加速度、位移几个已知量和待求量，可以考虑直接应用速度-位移关系求解。
【解析】选取汽车初速度方向为正方向，则：。
由公式：，得：。解得：（负号说明汽车刹车后又反向运动，与实际不符，故舍去）
【答案】5m/s
 

【针对练习1】如图所示，一滑雪运动员从85m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8m/s，末速度是5.0m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？

【学力检测1】1、如图所示，一辆正以8m/s速度沿直线行驶的汽车，突然以1m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18m时的速度为（   C   ）
A、8m/s  B、12m/s  C、10m/s  D、14m/s
【解析】汽车做匀加速直线运动，初速度为8m/s，位移为18m，加速度为1m/s2，根据位移关系公式，有：，解得： ；故选：C。
 

2、一滑雪运动员由静止开始沿斜坡匀加速下滑，当下滑距离为L时，速度为v，那么，当他的速度是v/2时，下滑的距离是（  C   ）
A、  B、   C、  D、

3、两小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1：2，则它们运动的最大位移之比为（   B  ）
A、1：2  B、1：4  C、  D、2：1

4、汽车以5m/s的速度在水平路面上匀速前进，紧急制动时以-2m/s2的加速度在粗糙水平面上滑行，则在4s内汽车通过的路程为（  C  ）
A、4m  B、36m  C、6.25m  D、以上选项都不对。

5、如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB：BC等于（  C  ）
A、 1：1  B、1：2  C、1：3  D、1：4
 

【题型2】位移中点的速度公式的应用

【例2】一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为，火车头经过某路标时的速度为，而车尾经过此路标时速度为，求：
（1）火车的加速度； （2）火车中点经过此路标时的速度v；（3）整列火车通过此路标所用的时间t。

【解题思路】解答本题需要把握以下两点：（1）把火车视为质点；（2）画草图分析，灵活运用：；
【解析】火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为，前进位移后速度变为，所求的v是经过处的速度，其运动简图如图所示。
（1）由匀加速直线运动的规律得：，解得火车的加速度为：
（2）前一半位移，，后一半位移：，所以有：；故：
（3）火车的平均速度：，故所用时间：

【答案】（1）；  （2）  （3）

【点评】应用匀变速直线运动规律解题的一般步骤及注意事项：（1）认真审题，弄清题意和物体的运动过程，必要时要画出物体运动的过程示意图。
（2）明确研究过程的已知量和待求量，搞清题目的条件，要注意各量单位的统一。
（3）规定正方向（一般取初速度的方向为正方向），从而确定已知量和未知量的正负。对于无法确定方向的未知量，可以先假设某方向为正方向，待求解后，再根据正负确定所示物理量的方向。
（4）根据物理量特点及求解需要选用适当的公式列方程。
（5）计算结果并判断其是否符合题意和实际情况。

【针对练习2】(多选)一辆小汽车在一段平直的公路上做匀加速直线运动，A、B是运动过程中经过的两点，已知汽车经过A点时的速度为1m/s，经过B点时的速度为7m/s。则汽车从A到B的运动过程中，下列说法正确的是（  AD  ）
A、汽车经过AB中间时刻的速度是4m/s  B、汽车经过AB中间时刻的速度是5m/s;
C、汽车经过AB位移中点时速度是4m/s  D、汽车经过AB位移中点时的速度是5m/s;

【学力检测2】1、滑雪都以某一初速度冲斜面做匀减速直线运动，到达斜面顶端时的速度为零。已知滑块通过斜面中点时的速度为v，则滑块在前一半路程中的平均速度大小为：（   B  ）
A、  B、   C、   D、

2、做匀加速直线运动的列车出站后，车头经过某标牌时的速度为1m/s，车尾经过该标牌时的速度为7m/s，则车身中部经过该标牌时的速度大小为：（   B   ）
A、4m/s  B、5m/s  C、3.5m/s  D、5.5m/s
 

3、（多选）一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论中正确的有（   CD   ）
A、物体经过AB位移中点的速度大小为
B、物体经过AB位移中点的速度大小为：
C、物体通过AB这段位移的平均速度为：
D、物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为：

【解析】对于匀变速直线运动，中间位置的速度等于初末速度的方均根，故：，AB错误；
物体做匀加速直线运动，先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，故平均速度为：；而平均速度等于中间时刻的速度，故物体经过AB中间时刻的速度大小应为：，故CD正确；

【题型3】追及相遇问题

【例3】平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200m处以5m/s 速度做同方向的匀速运动，问：
（1）甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？
（2）在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？
【解题思路】画出示意图，如图所示，甲追上乙时，，且：（追及条件），根据匀变速直线运动、匀速直线运动的位移公式列出议程，即能解得正确的结果。
【解析】（1）设甲经过时间t追上乙，则有：，
根据追及条件，有：，

代入数据，解得：，（舍去）
这时甲的速度：；

甲离出发点的位移：
（2）在追赶过程中，当甲的速度小于乙的速度时，甲 、乙之间的距离仍在继续增大；但当甲的速度大于乙的速度时，甲 、乙之间的距离便不断减小；当：，时甲 、乙之间的距离达到最大值。由，得：，即甲在10s末离乙的距离最大：
 

【答案】（1）40s 20m/s 400m （2） 10s  225m

【点评】1、追及问题的两类情况：（1）若后者能追上前者，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。（2）若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。
2、相遇问题的两类情况：
（1）同向运动的两物体追及即相遇（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
3、追及相遇问题中的两个关系和一个条件：
（1）两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系由题意和画草图得到。
（2）一个条件：即两者速度相等，它往往是能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
4、常见情况分析：

假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0。
（1）A追上B时，必有：，
（2）使两物体恰好不相接，则两物体到达同一位置时相对速度为零，则有：，若使两物体保证不相接，应有：

5、追及相遇问题的思路和方法：
（1）思路：①分析两物体的运动过程②画运动示意图③找两物体位移、速度关系④列相关的方程求解。
（2）方法：①物理分析法：通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解。
②数学解析法：因为在匀就事直线运动的位移表达式中有时间的二次方，我们可列出议程，利用二次函数求极值的方法求解。
③图象法：利用v-t图象分析。

【针对练习3】一列货车以v1=72km/h的速度在平直铁路上行驶，由于调度失误，其后方有一列客车以v2=108km/h的速度在同一铁轨上驶来，在相距s0=500m处客车司机发现货车后立即紧急制动，为不使两车相撞，客车的加速度至少多大？

【学力检测3】1、甲、乙两物体从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动，它们的v-t图象如图，其中，则：（   D   ）
A、t1时刻甲在前，乙在后；   B、t1时刻甲、乙两物体相遇
C、甲的加速度大于乙的加速度  D、t2时刻甲、乙两物体相遇

2、（多选）甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v-t图象如图所示。下列判断正确的是：（  ABD  ）
A、乙车启动时，甲车在其前方50m处
B、运动过程中，乙落后甲车的最大距离为75m
C、乙车启动10s后正好追上甲车
D、乙车超过甲后，两车不会再相遇
【解析】根据速度图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙在t=10s时启动，此时甲的位移为：，即甲车在乙前方50m处，故A正确；

当两车的速度相等时相遇最远，最大距离为：；故B正确。

由于两车从同一地点沿同一方向沿直线运动，当位移相等时两车才相遇，由图可知，乙车启动10s后，两车之间的距离为：，此后两车做匀速运动，再经过时间：两车相遇，即乙车启动15s后正好追上甲 ，故C选项错误；
乙超过甲车后，由于乙的速度大，所以不可能再相遇，故D正确。

【综合提升】

3、某同学骑摩托车到外婆家报信，他家与外婆家连线可看做直线，直线距离为480m，该同学加速、减速时的加速度大小分别为4、6，求这一过程中，该同学的最大速度及所用的最短时间；为安全起见，若摩托车允许的最大速度为24m/s，求该同学所用的最短时间。

【解析】先匀加速到最大速度，再匀减速时间最短，由速度位移公式有：
代入数据得：
所用时间为：
若摩托车允许的最大速度为24m/s,再匀速，最后匀减速到停止，时间最短，加速时间为：
减速时间为：
匀速时间为：
则最短时间为：

4、为了最大限度地道路交通事故，全国各地开始了“集中整治酒后驾驶违法行为”专项行动。这是因为一般驾驶员酒后的应时间（从发现情况到开始制动所需的时间）比正常时慢了0.1s-0.5s，易发生交通事故。
（1）表格为《驾驶员守则》中驾驶员的部分正常反应距离（汽车在反应时间内通过的距离）表格，请选取表格数据计算驾驶员的正常反应时间。
（2）如图所示，假设一饮酒后的驾驶员驾车以72km/h的速度在平直公路上行驶，在距离某学校门前32m处发现有一队学生在斑马线上横过马路，他的反应时间比正常时慢了0.2s，刹车后，车做加速度大小为9.5的匀减速直线运动，试通过计算说明是否会发生交通事故。

【解析】由表格数据可知，正常反应距离与速度成正比，即在表格所给的速度范围内，驾驶员正常反应时间相同，由选其中一组数据代入，可得正常反应时间：；

（2）；反应距离：；刹车后做匀减速直线运动，由：代入数据可得：；因为：，所以会发生交通事故。