2015年天津市高考数学试卷（理科）

这是一份2015年天津市高考数学试卷（理科），共25页。

2015年天津市高考数学试卷（理科）
　
一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=（　　）
A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．18 D．40
3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）

A．﹣10 B．6 C．14 D．18
4．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（　　）

A． B．3 C． D．
6．（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（　　）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）
　
二.填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为　 　．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　 　m3．

11．（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为　 　．
12．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为　 　．
13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为　 　．
14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为　 　．
　
三.解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．
16．（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．

18．（13分）已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列
（1）求q的值和{an}的通项公式；
（2）设bn=，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．
19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．
20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．
　

2015年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=（　　）
A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}
【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，
∴∁UB={2，5，8}，
则A∩∁UB={2，5}．
故选：A．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．18 D．40
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+6y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（0，3）
将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，
得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．
故选：C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
　
3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）

A．﹣10 B．6 C．14 D．18
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=20，i=1
i=2，S=18
不满足条件i＞5，i=4，S=14
不满足条件i＞5，i=8，S=6
满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．
　
4．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
　
5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（　　）

A． B．3 C． D．
【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．
【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，
∴2×4=AM•2AM，
∴AM=2，
∴MN=NB=2，
又CN•NE=AN•NB，
∴3×NE=4×2，
∴NE=．
故选：A．
【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
　
6．（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（　　）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．
【解答】解：由题意，=，
∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，
∴c=，
∴a2+b2=c2=7，
∴a=2，b=，
∴双曲线的方程为．
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
　
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．
【解答】解：∵f（x）为偶函数；
∴f（﹣x）=f（x）；
∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；
∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；
（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；
∴mx=0；
∴m=0；
∴f（x）=2|x|﹣1；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；
∵0＜log23＜log25；
∴c＜a＜b．
故选：C．
【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．
　
8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）
【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），
∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，
设h（x）=f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，
若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．
即h（x）=，
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，
当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，
故当b=时，h（x）=b，有两个交点，
当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，
即h（x）=b恰有4个根，
则满足＜b＜2，
故选：D．

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
　
二.填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为　﹣2　．
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．
【解答】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，
得，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题．
　
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　　m3．

【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，
且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；
∴该几何体的体积为
V几何体=2×π•12×1+π•12•2
=π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．
　
11．（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为　　．
【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0
直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx
而∫01（x﹣x2）dx=（）|01=﹣=
∴曲边梯形的面积是．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．
　
12．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为　　．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．
【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1=•（x）6﹣r•（﹣）r=（﹣）r••x6﹣2r，
令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为×=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
　
13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为　8　．
【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC==，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．
【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．
∵S△ABC==bc=，化为bc=24，
又b﹣c=2，解得b=6，c=4．
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．
解得a=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为　　．
【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．
【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=（）•（）=（）•（）
==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°
=1++﹣≥+=（当且仅当时等号成立）；
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．
　
三.解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣sin（2x﹣），由周期公式可得；
（Ⅱ）由x∈[﹣，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．
【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）
=（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]
=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）
=（﹣cos2x+sin2x）
=sin（2x﹣）
∴f（x）的最小正周期T==π；
（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，
∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，
∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣
【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．
　
16．（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=，
∴事件A发生的概率为；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．
P（X=k）=（k=1，2，3，4）．
∴随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
4
P




随机变量X的数学期望E（X）=．
【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题．
　
17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．

【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论；
（Ⅱ）通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；
（Ⅲ）通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），
A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），
又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．
由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），
∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），
设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，
由，得，
取z=1，得=（0，1，1），
设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，
由，得，
取z=1，得=（0，﹣2，1），
∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；
（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈[0，1]，
∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），
又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，
∴cos＜，＞===，
整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），
∴线段A1E的长为﹣2．

【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
　
18．（13分）已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列
（1）求q的值和{an}的通项公式；
（2）设bn=，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．
【分析】（1）通过an+2=qan、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；
（2）通过（1）知bn=，n∈N*，写出数列{bn}的前n项和Tn、2Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．
【解答】解：（1）∵an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，
∴a3=q，a5=q2，a4=2q，
又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，
∴2×3q=2+3q+q2，
即q2﹣3q+2=0，
解得q=2或q=1（舍），
∴an=；
（2）由（1）知bn===，n∈N*，
记数列{bn}的前n项和为Tn，
则Tn=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，
∴2Tn=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，
两式相减，得Tn=3++++…+﹣n•
=3+﹣n•
=3+1﹣﹣n•
=4﹣．
【点评】本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
　
19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．
【分析】（Ⅰ）通过离心率为，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；
（Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，c），利用|FM|=计算即可；
（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种情况讨论即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，
∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，
设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），
∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，
∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，
∴d2+=，即（）2+=，
解得k=，即直线FM的斜率为；
（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），
联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，
∵点M在第一象限，∴M（c，c），
∵|FM|=，∴=，
解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，
即椭圆的方程为+=1；
（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，
∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），
联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，
又∵直线FP的斜率大于，
∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，
整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1，
解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，
设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），
联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣．
①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，
∴m=，∴m∈（，）；
②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，
∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；
综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题．
　
20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．
【分析】（Ⅰ）由f（x）=nx﹣xn，可得f′（x），分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，0），则可求x0=n，f′（x0）=n﹣n2，可求g（x）=f′（x0）（x﹣x0），F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由f′（x）=﹣nxn﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，可求F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，即可得证．
（Ⅲ）设x1≤x2，设方程g（x）=a的根为，由（Ⅱ）可得x2≤．设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，设方程h（x）=a的根为，可得＜x1，从而可得：x2﹣x1＜﹣=，由n≥2，即2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，推得：2=x0，即可得证．
【解答】（本题满分为14分）
解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣xn，可得f′（x）=n﹣nxn﹣1=n（1﹣xn﹣1），其中n∈N•，且n≥2．
下面分两种情况讨论：
（1）当n为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，﹣1）
（﹣1，1）
（1，+∞）
f′（x）
﹣
+
﹣
f（x）



所以，f（x）在 （﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）单调递增．
（2）当n为偶数时，
当 f′（x）＞0，即x＜1时，函数 f（x）单调递增；
当 f′（x）＜0，即x＞1时，函数 f（x）单调递减；
所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x0，0），则x0=n，f′（x0）=n﹣n2，
曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），
令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．
由于f′（x）=﹣nxn﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，
又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，
所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0，
即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．
（Ⅲ）证明：不妨设x1≤x2，
由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），
设方程g（x）=a的根为，可得=，
由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（），可得x2≤．
类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），
可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f（x）﹣h（x）=﹣xn＜0，
即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），
设方程h（x）=a的根为，可得=，
因为h（x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（）=a=f（x1）＜h（x1），
因此＜x1，
由此可得：x2﹣x1＜﹣=，
因为n≥2，所以2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，
故：2=x0．
所以：|x2﹣x1|＜+2．
【点评】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力．