高中人教版新课标A第二章 平面向量综合与测试课时训练
展开一、选择题
1.已知向量若则( )
A. B. C.2 D.4
2.化简+++的结果是( )
A. B. C. D.
3.已知向量,若与垂直,则( )
A.-3 B.3 C.-8 D.8
4.已知向量,,若,则()
A. B. C. D.
5.设向量,,若向量与平行,则
A. B. C. D.
6.在菱形中,对角线,为的中点,则( )
A.8 B.10 C.12 D.14
7.在△ABC中,若点D满足,则( )
A. B. C. D.
8.在中,已知,,若点在斜边上,,则的值为 ( ).
A.6 B.12 C.24 D.48
9.已知向量若,则( )
A. B. C. D.
10.已知向量,,若向量,则实数的值为
A. B. C. D.
11.已知向量,则
A. B. C. D.
12.已知向量,则
A. B. C. D.
13.的外接圆圆心为,半径为,,且,则在方向上的投影为
A.1 B.2 C. D.3
14.已知向量,向量,且,则实数等于( )
A、 B、 C、 D、
15.已知平面向量,且,则实数的值为 ( )
A.1 B.4 C. D.
16.是边长为的等边三角形,已知向量、满足,,则下列结论正确的是( )
A、 B、 C、 D、
17.已知菱形的边长为,,则 ( )
A、 B、 C、 QUOTE D、
18.已知向量,满足,,则夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
19.已知向量=(1,3), =(-2,-6),||= QUOTE ,若(+)·=5,则与的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
20.已知向量,则的值为
A.-1 B.7 C.13 D.11
21.如图,平行四边形中,,则( )
A. B. C. D.
22.若向量,,则=( )
A. B. C. D.
23.在△中,角为钝角,,为边上的高,已知,则的取值范围为
(A) (B) (C) (D)
24.已知平面向量,,则向量( )
A. B. C. D.
25.已知向量,,则
A. (5,7) B. (5,9) C. (3,7) D. (3,9)
26.已知向量,且,则实数=( )
A.-1 B.2或-1 C.2 D.-2
27.在中,若 点满足,则( )
A. B. C. D.
28.已知点和向量,若,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
29.在矩形ABCD中,则( )
A.12 B.6 C. D.
30.已知向量 , ,则( ).
A. B. C. D.
31.若向量与共线且方向相同,则( )
A. B. C. D.
32.设是单位向量,且则的最小值是( )
A. B. C. D.
33.如图所示,是的边上的中点,记,,则向量( )
A. B. C. D.
34.如图,在是边BC上的高,则的值等于 ( )
A.0 B.4 C.8 D.
35.已知平面向量的夹角为,( )
A. B. C. D.
36.已知向量且与共线,则( )
A. B. C. D.
二、填空题
37.在△ABC中,AB=2,AC=1,D为BC的中点,则=_____________.
38.设,,若,则实数的值为( )
A. B. C. D.
39.空间四边形中,,,则( )
A. B. C. D.
40.已知向量,,满足,,若,则的最大值是 .
41.化简:= .
42.在中,的对边分别为,且,,则的面积为 .
43.已知向量=(1,2),•=10,|+|=5,则||= .
44.如图,在中,是中点,,则 .
45.若||=1,||=2,=+,且⊥,则与的夹角为________。
46.向量,,①若,则 ;
②若与的夹角为,则 .
47.已知平面向量a,则 _________.
48.已知||=2,||=4,⊥(+),则与夹角的度数为 .
49.已知向量,且 ,则实数的值为 .
50.已知向量,,,若,则 .
51.已知向量,向量的夹角是,,则等于_______.
52.已知,它们的夹角为,那么 .
53.已知向量与的夹角为 ,且,;则 .
54.已知平面向量,向量,向量. 若,则实数的值为 .
55.若等腰梯形中,,,,,则的值为 .
56.已知,,若,则 .
57. 已知 ,,的夹角为60°,则_____.
58.在中,已知,且的面积,则的值为 .
三、解答题
59.(本小题满分12分)已知向量.
(1)求与的夹角的余弦值;
(2)若向量与平行,求的值.
60.设向量,,为锐角.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)若,求的值.
参考答案
1.C
【解析】
试题分析:由已知,因为,所以,,所以.故选C.
考点:向量垂直的坐标运算,向量的模.
2.A
【解析】
试题分析:由于=,=,即可得出.
解:∵=,=,
∴+++=,
故选:A.
考点:向量的三角形法则.
3.A
【解析】
试题分析:因为,又与垂直,所以=,解得,故选A.
考点:1、平面向量的坐标运算;2、向量垂直的充要条件.
4.C.
【解析】
试题分析:由已知得,
又∵,∴,∴,故选C.
考点:平面向量数量积.
5.D
【解析】
试题分析:
由两向量平行得
考点:向量平行的判定及向量的坐标运算
6.C
【解析】
试题分析:特殊化处理,用正方形代替菱形,边长为,以A为原点,建立如图所示坐标系,则A(0,0),,所以,所以,故选C.
x
A
B
C
D
y
E
考点:平面向量的数量积运算.
7.A
【解析】
试题分析:由于,因此.
考点:向量的加法法则.
8.C
【解析】
试题分析:因为,,,所以==+==,故选C.
考点:1、平面向量的加减运算;2、平面向量的数量积运算.
9.B
【解析】
试题分析:由题,
考点:向量的运算,向量垂直的充要条件
10.A
【解析】
试题分析:因为两向量平行,所以可得,故选择A
考点:向量共线的坐标表示
11.D
【解析】
试题分析:由向量的坐标运算可得: ,故选择D
考点:向量的坐标运算
12.A
【解析】
试题分析:根据向量的加法运算法则,可知,故选A.
考点:向量的加法运算.
13.D
【解析】
试题分析:由,并且邻边相等,所以四边形是菱形,那么在方向上的投影是.
考点:向量与平面几何的关系
14.D
【解析】
试题分析:由已知得,,所以(1,2)(1-x,4)=0,即1-x+8=0,所以x=9.故选D.
考点:向量垂直及数量积的坐标运算.
15.D
【解析】
试题分析:因为,所以.故选D.
考点:向量平行的充要条件.
16.D
【解析】
试题分析:,,.
由题意知.
..故D正确.
考点:1向量的加减法;2向量的数量积;3向量垂直.
17.D
【解析】
试题分析:.故D正确.
考点:1向量的加减法;2向量的数量积.
18.D
【解析】
试题分析:,,则的夹角余弦值为.故选D.
考点:向量的基本运算.
19.D
【解析】
试题分析:根据题意得,从而有,所以,所以与的夹角为,故选D.
考点:向量的数量积,向量夹角余弦公式.
20.B
【解析】
试题分析:因为,所以应选.
考点:1、平面向量的数量积;
21.C
【解析】
试题分析:由图可知:; .则.
考点:向量的运算.
22.B
【解析】
试题分析:因为向量,,所以.故选B.
考点:向量减法的坐标的运算.
23.A
【解析】
试题分析:当角A趋近于直角时,按照平面向量基本定理则此时,向量AD在向量AB上的分量趋近于最大值,,又相似比求得此时x= ,排除C,D,同理,若角A趋近于平角,则此时x= ,结合选项得A是正确的.
考点:平面向量基本定理,极限的思想.
24.C
【解析】
试题分析:由向量的减法法则,所以选C;
考点:1.向量的减法;
25.A
【解析】
试题分析:根据向量的坐标运算可得:,故选择A
考点:向量的坐标运算
26.B
【解析】
试题分析:因为,所以,解得,故,故选B.
考点:向量的坐标运算与向量平行的条件.
27.A
【解析】
试题分析:由,可得,,故选择A
考点:平面向量基本定理
28.B
【解析】
试题分析:设点的坐标为,由可得:,解得,故选择B
考点:平面向量的坐标表示
29.C
【解析】
试题分析:由平行四边形法则可知,原式即为,而BD为矩形对角线,所以,从而答案为
考点:向量的加法
30.A
【解析】
试题分析:向量减法的定义,对应坐标分别相减,即
考点:向量的减法
31.C
【解析】
试题分析:两向量共线,坐标满足时,两向量共线,所以
考点:向量共线的判定
32.A
【解析】
试题分析:设与的夹角为,
考点:(1)平面向量数量积的运算(2)平面向量数量积的性质及其运算律
33.C
【解析】
试题分析:因为是的边上的中点,所以,在中,由向量的三角形法则可得,故选C.
考点:向量加减混合运算及其几何意义
34.B
【解析】
试题分析:选B.
考点:向量数量积
35.C
【解析】
试题分析:
考点:向量的数量积与向量的模
36.C
【解析】
试题分析:共线可知
考点:向量共线
37.
【解析】
试题分析:
考点:向量数量积
38.C
【解析】
试题分析:因为,
考点:1.平面向量的坐标运算;2.非零向量;3.数量积公式的坐标形式;
39.D
【解析】
试题分析:法一:如图,取的中点,由,可知,另一方面由,而是的中点,所以,进而可得面,所以,所以,故选D.
法二:因为,因为,所以,所以,所以,故选D.
考点:1.空间中的垂直关系;2.空间向量的基本运算.
40..
【解析】
试题分析:分析题意可知,设,,则,,设,
∴,又∵,∴,
而,即点在以为圆心,为半径的圆上,
∴,故填:.
考点:平面向量数量积及其运用.
41..
【解析】
试题分析:利用向量加法的三角形法则即可求得答案.
解:=()﹣(+)=﹣=,
故答案为:.
考点:向量加减混合运算及其几何意义.
42.
【解析】
试题分析:由得
,由,得
考点:1.正弦定理;2.向量数量积运算
43.5
【解析】
试题分析:先求出||,再求出|+|2,问题得以解决.
解:∵向量=(1,2),
∴||=,
∵•=10,
∴|+|2=||2+||2+2•=(5)2,
∴||2=25,
∴||=5
故答案为:5.
考点:平面向量数量积的运算.
44.
【解析】
试题分析:连接,又为的中点
所以
又,
所以
又
所以,
所以
考点:向量的线性运算.
45.
【解析】
试题分析:⊥,所以
考点:向量夹角
46.,.
【解析】
试题分析:①:∵,∴;②:显然,
∴,即,∴,又∵,
∴.
考点:1.平面向量共线的坐标表示;2.平面向量数量积;3.三角恒等变形.
47.
【解析】
试题分析:由向量的模的公式可得:
考点:求向量的模
48. 120
【解析】
试题分析:设与夹角为.由⊥(+)得,,解得,
所以.
考点:向量的数量积及其运算律并求向量的夹角.
49.-4
【解析】
试题分析:因为向量,且,所以
考点:平面向量数量积证明垂直
50.-2
【解析】
试题分析: .
考点:向量共线.
51.2
【解析】
试题分析:因为,根据向量的数量积可知:.
考点:1.向量的数量积;
52.
【解析】
试题分析:,所以
考点:向量的模
53.
【解析】
试题分析:,所以.
考点:1向量的数量积;2向量的模.
54.
【解析】
试题分析:
考点:向量平行的坐标表示
55.-3
【解析】
试题分析:由题意可知,,所以 .
考点:平面向量数量积的运算.
56.
【解析】
试题分析:∵,,∴,∵,
∴,即,即,∴,
∴.
考点:向量的坐标、向量的垂直的充要条件、向量的模.
57.
【解析】
试题分析:因为,,的夹角为60°,所以.所以.
考点:1.向量的数量积.2.向量的模.
58.
【解析】由三角形的面积公式,得,即,;
则.
考点:三角形的面积公式、平面向量的数量积.
59.(1)(2)
【解析】
试题分析:(1)本题考察的是两向量的夹角的余弦值,一般我们采用向量的数量积公式进行求解.根据题目中所给条件可以求出与的数量积,然后通过模长公式分别求出与的模长,最后把求出的量代入数量积公式即可求得与的夹角的余弦值.
(2)本题考察的是两向量的平行(共线)问题,根据平行向量基本定理,把相应的数值代入公式,即可求出所求参数的值.
试题解析(1)
∴
(2) ∵
∴
∵向量与平行,
∴
解得:
考点:(1)向量数量积(2)平面向量的坐标表示
60.(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)本题以向量为背景,实际考察三角函数及三角恒等变换,将向量数量积用坐标表示,求出的值,然后根据,求出的值,从而根据为锐角求出的值;(Ⅱ)根据的坐标表示,可以求出,可以根据同角三角函数基本关系式求出的值,再利用二倍角公式,求出的值,再将按两角和正弦公式展开,即可而求的值.另外,也可以根据齐次式求出的值,再将按两角和正弦公式展开,从而求的值.注意公式的准确使用.
试题解析:(Ⅰ)∵,
∴.
∴
又∵为锐角,∴.
(Ⅱ)法一:∵,∴.
∴,
.
∴
法二 ∵,∴.
易得, .
∴,
.
∴
考点:1.向量平行垂直的坐标表示;2.同角三角函数基本关系式;3.三角恒等变换公式的应用.
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