初中数学北师大版八年级上册1 探索勾股定理同步练习题

北师大版八年级数学上学期第一章 验证勾股定理及其简单计算

一.选择题

1.一架15米长的云梯斜靠在一竖直的城墙上,这时梯子的顶端距墙脚12米,那么梯足距墙脚(　　)

A.7米 B.9米 C.13米 D.20米

2.如图,一棵树在离地面9 m处折断,树的顶部落在离底部12 m处,则折断之前树的高度是 (　　)

A.15 m B.17 m C.21 m D.24 m

3.如图,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两棵树相距8 m,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,小鸟至少飞行              (　　)

A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m

4.如图,把原长为8 cm的橡皮筋放置在数轴上,固定两端点A和B,然后把中点C竖直向上拉升3 cm至点D处,则橡皮筋被拉长了              (　　)

A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm

5.如图所示,直线l上有三个正方形a,b,c,若正方形a,c的面积分别为5和11,则正方形b的面积为 (　　)

A.4 B.6 C.16 D.55

二、非选择题

6.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形,这个图形被称为弦图.观察图形,图中大正方形的面积用字母c可以表示为　　　　,用字母a,b可以表示为　　　　　　　　,由此你得到的等式为　　　　　　　　　,化简得　　　　　. 

7.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中标出的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为　　　　mm. 

8.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是　　　　　　　　. 

9.如图是美国总统加菲尔德于1876年给出的一种验证勾股定理的办法,你能利用它验证勾股定理吗?请写出你的验证过程.

10.如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13.求这个三角形的面积.

11.如图,∠AOB=90°,OA=45 cm,OB=15 cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是多少厘米?

12.如图,一架2.5 m长的梯子AB斜靠在竖直的墙壁OC上,这时梯子的底端B到墙壁OC的距离OB=0.7 m,当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点A'时,底端B沿水平地面向外滑动到点B'.

(1)当AA'=0.4 m时,线段AA'的长度与线段BB'的长度相等吗?你是怎样知道的?

(2)是否存在一个点A',使AA'=BB'?若存在,求出点A'的位置;若不存在,说明理由.

13.勾股定理神秘而美妙,它的验证方法多种多样,其巧妙之处也各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形按图①或图②摆放时,都可以用“面积法”来验证勾股定理.下面是小聪利用图①验证勾股定理的过程:

将两个全等的直角三角形按图①所示摆放,其中∠DAB=90°.试说明:a2+b2=c2.

解:如图①,连接DB,过点D作BC边上的高DF,

则DF=EC=b-a.

因为S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,

又S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),

所以b2+ab=c2+a(b-a).

所以a2+b2=c2.

请参照上述验证方法,利用图②完成下面的验证.

将两个全等的直角三角形按图②所示摆放,其中∠DAB=90°.试说明:a2+b2=c2.

参考答案

一、选择题

1.B

2.D　[解析] 由勾股定理可得BC2+AC2=AB2,所以AB2=92+122=225,故AB=15,所以折断之前树的高度是15+9=24(m).

3.B　[解析] 如图构造直角三角形,易知至少飞行10 m.

4.A　[解析] 在Rt△ACD中,AC=AB=4 cm,CD=3 cm,

根据勾股定理,得AD2=AC2+CD2=25.所以AD=5 cm.

所以AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm).故橡皮筋被拉长了2 cm.故选A.

5.C　[解析] 如图,因为四边形a,b,c都是正方形,所以AC=CD,∠ACD=∠ABC=∠CED=90°.所以∠ACB+∠ECD=∠ACB+∠BAC=90°.所以∠BAC=∠ECD.又因为∠ABC=∠CED=90°,所以

△ACB≌△CDE.所以AB=CE,BC=ED.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=AB2+BC2=AB2+ED2,即Sb=Sa+Sc=5+11=16.

二、非选择题

6.c2　4×ab+(b-a)2　c2=4×ab+(b-a)2　c2=a2+b2

[解析] 大正方形的边长为c,面积为c2,大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积和,四个直角三角形的面积和为4×ab,中间小正方形的边长为b-a,面积为(b-a)2,于是c2=4×ab+(b-a)2,整理,得c2=a2+b2.

7.100

8.3.6或4.32或4.8　[解析] 设过点B的直线交AC于点P.

因为∠ABC=90°,AB=3,BC=4,所以S△ABC=×3×4=6.

(1)当AP=AB=3时,如图①.

因为△ABP与△ABC等高,

所以==.

所以S△ABP=·S△ABC=×6=3.6;

 (2)当BP=AB=3时,如图②.

因为AB=3,BC=4,∠ABC=90°,

所以AC2=AB2+BC2=25=52.

所以AC=5.

所以BD===2.4.

所以AD2=DP2=32-2.42=3.24=1.82.

所以AD=DP=1.8.

所以AP=3.6.

所以S△ABP=·S△ABC=×6=4.32;

 (3)当CP=CB=4时,如图③.

S△BCP=·S△ABC=×6=4.8.

综上所述,这个等腰三角形的面积是3.6或4.32或4.8.

9.解:因为梯形是由3个直角三角形组成的,所以S梯形=(a+b)·(a+b)=(a+b)2,

S梯形=ab+c2+ab=.所以(a+b)2=,整理,得a2+b2=c2.

所以直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

10.解:如图,过点A作AD⊥BC于点D.设BD=x,则CD=14-x.

因为AD⊥BC,所以△ADB与△ACD均为直角三角形.所以AB2-BD2=AC2-CD2,即152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.

所以AD2=AB2-BD2=152-92=122.

所以AD=12.

所以S△ABC=BC·AD=×14×12=84.

11.解:由题意知小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,它们的运动时间相等,即BC=AC.设BC=x cm,则OC=(45-x)cm.

在Rt△BOC中,由勾股定理可知OB2+OC2=BC2,

所以152+(45-x)2=x2,

解得x=25.

所以如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是25 cm.

12.解:(1)不相等.

在Rt△AOB中,OA2=AB2-OB2=2.52-0.72=5.76,

所以OA=2.4 m.

所以OA'=OA-AA'=2.4-0.4=2(m).

在Rt△A'OB'中,OB'2=A'B'2-OA'2=2.52-22=2.25,

所以OB'=1.5 m.

所以BB'=OB'-OB=1.5-0.7=0.8(m).

因为AA'=0.4 m,所以AA'≠BB'.

(2)存在.

设AA'=BB'=x m,则OA'=OA-AA'=(2.4-x)m,OB'=OB+BB'=(0.7+x)m.

在Rt△A'OB'中,根据勾股定理,得OA'2+OB'2=A'B'2,即(2.4-x)2+(x+0.7)2=2.52,

整理,得x2-1.7x=0.

因为x≠0,所以x=1.7.

即当AA'=1.7 m时,AA'=BB'.

13.证明:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a.

因为S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab,

又S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),

所以ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a).

所以a2+b2=c2.