九年级上册数学月考卷(附答案)

人教版数学九年级上册月考模拟试卷

一．选择题

1．方程（a﹣2）x2+ax+b＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　　）

A．a≠0 B．a≠2 C．a＝2 D．a＝0

2．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（　　）

A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣6x+9＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0

3．在平面直角坐标系中，抛物线y2与直线y1均过原点，直线经过抛物线的顶点（2，4），则下列说法：

①当0＜x＜2时，y2＞y1；

②y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2；

③使得y2大于4的x值不存在；

④若y2＝2，则x＝2﹣或x＝1．

其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（　　）

A．方程有两个相等的实数根 

B．方程有两个不相等的实数根 

C．没有实数根 

D．无法确定

5．已知当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，此时关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情况为（　　）

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

6．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　）

A．9人 B．10人 C．11人 D．12人

7．已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝﹣12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）

A．x2﹣7x+12＝0 B．x2﹣7x﹣12＝0 C．x2+7x﹣12＝0 D．x2+7x+12＝0

8．二次数y＝x2+6x+1图象的对称轴是（　　）

A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝﹣3 D．x＝4

9．抛物线y＝x2﹣4x+1与y轴交点的坐标是（　　）

A．（0，1） B．（1，O） C．（0，﹣3） D．（0，2）

10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（　　）

A．  B． C．   D．

二．填空题

11．方程x2＝2x的根为　   　．

12．方程（x+5）（x﹣7）＝﹣26，化成一般形式是　   　，其二次项的系数和一次项系数的和是　   　．

13．抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于点A、B，则AB＝　   　．

14．把抛物线y＝2x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为　   　．

15．若关于x的二次函数y＝ax2+a2的最小值为4，则a的值为　   　．

16．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则a+b+2c　   　（填“＞”、 “＝”或“＜”）0．

三．解答题

17．解下列一元二次方程．

（1）x2﹣6x﹣4＝0             （2）x（x﹣7）＝5x﹣36

18．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．

19．已知关于x的方程2x2+kx+1﹣k＝0，若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k的值．

20．如图所示，在宽为16m，长为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的两条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的四块试验田，要使试验田的面积为285m2，道路应为多宽？

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根．

（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．

22．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），D（﹣1，0）和C（4，5）三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．

23．如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF，CD＜CF）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是4.5元．若CF＝x米，计划修建费为y元．

（1）求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围；

（2）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏的修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由．

24．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

25．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？

（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标．

参考答案

1．解：依题意得：a﹣2≠0，

解得a≠2．

故选：B．

2．解：A、△＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；

B、△＝﹣108＜0，方程没有实数根；

C、△＝1＝0，方程有两个相等的实数根；

D、△＝m2+8＞0，方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

3．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+4，

∵抛物线与直线均过原点，

∴a（0﹣2）2+4＝0，

∴a＝﹣1，

∴y＝﹣（x﹣2）2+4，

∴由图象得当0＜x＜2时，y2＞y1，故①正确；

y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2，故②正确；

∵抛物线的顶点（2，4），

使得y2大于4的x值不存在，故③正确；

把y＝2代入y＝﹣（x﹣2）2+4，得

若y2＝2，则x＝2﹣或x＝2+，故④不正确．

其中正确的有3个，

故选：C．

4．解：∵△＝42﹣4×3×（﹣5）＝76＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

5．解：∵当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，

∴k＞0，

∵x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0，

∴△＝[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＝8k+8＞0，

∴关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，

故选：C．

6．解：设参加酒会的人数为x人，

根据题意得： x（x﹣1）＝55，

整理，得：x2﹣x﹣110＝0，

解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．

答：参加酒会的人数为11人．

故选：C．

7．解：∵x1+x2＝7，x1x2＝﹣12，

∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2﹣7x﹣12＝0．

故选：B．

8．解：∵y＝x2+6x+1＝（x+3）2﹣8，

∴二次数y＝x2+6x+1图象的对称轴是直线x＝﹣3，

故选：C．

9．解：当x＝0时，y＝x2﹣4x+1＝1，

∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），

故选：A．

10．解：A、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．

B、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．

C、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误，

D、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．

故选：A．

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

11．解：x2＝2x，

x2﹣2x＝0，

x（x﹣2）＝0，

x＝0，或x﹣2＝0，

x1＝0，x2＝2，

故答案为：x1＝0，x2＝2．

12．解：①由方程（x+5）（x﹣7）＝﹣26，得

x2﹣2x﹣35＝﹣26，

即x2﹣2x﹣9＝0；

②x2﹣2x﹣9＝0的二次项系数是1，一次项系数是﹣2，

所以其二次项的系数和一次项系数的和是1+（﹣2）＝﹣1；

故答案为：x2﹣2x﹣9＝0；﹣1．

13．解：当y＝0时，x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，

所以抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴的交点A、B的坐标为（1，0），（2，0），

所以AB＝2﹣1＝1．

故答案为1．

14．解：y＝2x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 y＝2（x+3）2﹣2；

故答案是：y＝2（x+3）2﹣2．

15．解：∵关于x的二次函数y＝ax2+a2的最小值为4，

∴a2＝4，a＞0，

解得，a＝2，

故答案为：2．

16．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0

∵抛物线与y轴交于y轴负半轴，

∴c＜0

∵对称轴在y轴左侧

∴﹣＜0

∴b＜0

∴a+b+2c＜0

故答案为：＜．

三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）

17．解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，

b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣4）＝52，

x＝，

x1＝3+，x2＝3﹣；

（2）x（x﹣7）＝5x﹣36，

整理得：x2﹣12x+36＝0，

（x﹣6）2＝0，

开方得：x﹣6＝0，

即x1＝x2＝6．

18．解：（1）把（0，1），（1，﹣2），（2，1）代入y＝ax2+bx+c得，解得，

所以抛物线解析式为y＝3x2﹣6x+1；

（2）y＝3（x2﹣2x）+1

＝3（x2﹣2x+1﹣1）+1

＝3（x﹣1）2﹣2，

所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）．

19．解：

∵关于x的方程2x2+kx+1﹣k＝0的一个根是﹣1，

∴2﹣k+1﹣k＝0，解得k＝，

∴原方程为2x2+x﹣＝0，解得x＝﹣1或x＝，

即方程的另一根为，k的值为．

四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）

20．解：设道路为x米宽，

由题意得：（20﹣x）（16﹣x）＝285，

整理得：x2﹣36x+35＝0，

解得：x1＝1，x2＝35，

经检验是原方程的解，

但是x＝35＞20，因此不合题意舍去，

故道路为1m宽．

21．解：（1）由题意可知：△＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）

＝4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，

∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，

∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）＝10，

∴m2﹣2m﹣3＝0，

∴m＝﹣1或m＝3

22．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，

∴，

∴a＝，b＝﹣，c＝﹣1，

∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣1；

（2）

当y＝0时，得x2﹣x﹣1＝0；

解得x1＝2，x2＝﹣1，

∴点D坐标为（﹣1，0）；

∴图象如图，

∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．

五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）

23．解：（1）y＝1.75x+4.5（×2+x），

＝1.75x++4.5x，

＝6.25x+（0＜x≤25）；

（2）当y＝150时，6.25x+＝150

整理得：x2﹣24x+144＝0

解得：x1＝x2＝12

经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意．

答：应利用旧围栏12米．

24．解：（1）△ABC是等腰三角形，

理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，

∴b＝c，

∴△ABC是等腰三角形，

（2）△ABC是直角三角形，

理由：∵方程有两个相等的实数根，

∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，

∴a2+c2＝b2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）∵△ABC是等边三角形，

∴a＝b＝c，

∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，

即：x2+x＝0，

∴x（x+1）＝0，

∴x1＝0，x2＝﹣1，

即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．

25．解：（1）∵x2﹣4x+3＝0的两个根为  x1＝1，x2＝3，

∴A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（0，3），

又∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，3）两点，

∴，

∴抛物线的解析式为  y＝﹣x2﹣2x+3，

答：抛物线的解析式是 y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）作直线BC，

由（1）得，y＝﹣x2﹣2x+3，

∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴的另一个交点为C，令﹣x2﹣2x+3＝0，

解得：x1＝1，x2＝﹣3，

∴C点的坐标为（﹣3，0），

由图可知：当﹣3＜x＜0时，抛物线的图象在直线BC的上方，

答：当﹣3＜x＜0时，抛物线的图象在直线BC的上方．

（3）设直线BC交PE于F，P点坐标为（a，0），则E点坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），

∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，

∴F是线段PE的中点（根据等底等高的三角形的面积相等），

即F点的坐标是（a，），

∵直线BC过点B（0.3）和C（﹣3，0），

设直线BC的解析式是y＝kx+b    （k≠0），代入得：，

∴

∴直线BC的解析式为y＝x+3，

∵点F在直线BC上，

∴点F的坐标满足直线BC的解析式，

即＝a+3

解得  a1＝﹣1，a2＝﹣3（此时P点与点C重合，舍去），

∴P点的坐标是（﹣1，0），

答：点P的坐标是（﹣1，0）．