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广东省深圳市深圳中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
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这是一份广东省深圳市深圳中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省深圳中学共同体联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由4x﹣1≥0得4x＞1 B．由5x＞3 得 x＞3
C．由＞0得 y＞0 D．由﹣2x＜4得x＜﹣2
3．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
C．6a2b3＝2a2b•3b2
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
4．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A'B'C'，ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E'D'．已知ED＝6，则B'C'等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（1，0），平移线段AB，使点A落在点A1（2，3）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（4，1） C．（4，0） D．（﹣2，1）
6．如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
7．若P是△ABC所在平面内的点，且PA＝PB＝PC，则下列说法正确的是（ ）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条角平分线的交点
C．点P是△ABC三边上高的交点
D．点P是△ABC三边中线的交点
8．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，其中A1（﹣1，0），B1（﹣2，﹣2），且点A与A1是对应点，则点M的坐标是（ ）
A．（0，﹣2） B．（1，﹣1） C．（0，0） D．（﹣1，﹣1）
9．关于x的分式方程＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≠1 C．m＞1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1
10．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：
①AS＝AR②QP∥AR③△BRP≌△QSP．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，点D在射线BC上，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠DCE＝ ．
13．如图是一次函数的y＝kx+b图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，9），B（3，1），点C，D分别是y轴正半轴和x轴正半轴上的两个动点，则当四边形ABDC的周长最小时，点C的坐标为 ．
15．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，若AH＝，CD＝，则△ABE的面积是 ．
三、解答题（本大题有7题，其中16题9分，17题9分，18题6分，19题7分，20题7分，21题8分，22题9分，共55分，把答案填在答题卷上）
16．因式分解：
（1）15a3+10a2；
（2）3ax2+6axy+3ay2；
（3）（2x+y）2﹣（x+2y）2．
17．解方程或不等式：
（1）3（2x+5）＞2（4x+3）；
（2）≥1；
（3）＝1．
18．计算：
（1）；
（2）．
19．如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．
20．列方程或不等式解应用题：
新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、B两种消毒液，其中A消毒液的单价比B消毒液的单价多40元，用3200元购买B消毒液的数量是用2400元购买A消毒液数量的2倍．
（1）求两种消毒液的单价；
（2）学校准备用不多于6800元的资金购买A、B两种消毒液共70桶，问最多购买A消毒液多少桶？
21．仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）．
则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，
∴n+2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x+3，m的值为6．
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式x2﹣7x+12可分解为（x﹣3）（x+a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝ ；
（3）已知代数式2x3+x2+kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
22．已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C、D重合），且∠EAC＝2∠EBC．
（1）如图1，若∠EBC＝27°，且EB＝EC，则∠DEB＝ °，∠AEC＝ °．
（2）如图2，
①求证：AE+AC＝BC；
②若∠ECB＝30°，且AC＝BE，求∠EBC的度数．
2020-2021学年广东省深圳中学共同体联考八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：A．
2．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由4x﹣1≥0得4x＞1 B．由5x＞3 得 x＞3
C．由＞0得 y＞0 D．由﹣2x＜4得x＜﹣2
【分析】根据不等式的性质对各个选项进行分析判断即可得到答案．
【解答】解：由4x﹣1≥0得4x≥1，A错误；
由5x＞3 得x＞，B错误；
由＞0得 y＞0，C正确；
由﹣2x＜4得x＞﹣2，D错误．
故选：C．
3．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
C．6a2b3＝2a2b•3b2
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
【分析】根据因式分解的概念，即把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行逐一分析判断．
【解答】解：A、该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、符合因式分解的概念，故本选项符合题意；
C、该变形不是多项式分解因式，故本选项不符合题意；
D、该变形没有分解成几个整式的积的形式，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A'B'C'，ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E'D'．已知ED＝6，则B'C'等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】先根据旋转的性质可得E'D'＝ED＝6，再根据三角形的中位线定理求解即可．
【解答】解：∵△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′，ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E'D'
∴E'D'＝ED＝6，
∴B'C'＝2E'D'＝12．
故选：C．
5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（1，0），平移线段AB，使点A落在点A1（2，3）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（4，1） C．（4，0） D．（﹣2，1）
【分析】由点A（﹣1，2）平移后A1（2，3）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
【解答】解：由点A（﹣1，2）平移后A1（2，3）可得坐标的变化规律是：横坐标+3，纵坐标+1，
∴点B的对应点B1的坐标（4，1）．
故选：B．
6．如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：A．
7．若P是△ABC所在平面内的点，且PA＝PB＝PC，则下列说法正确的是（ ）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条角平分线的交点
C．点P是△ABC三边上高的交点
D．点P是△ABC三边中线的交点
【分析】根据到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上解答．
【解答】解：∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选：A．
8．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，其中A1（﹣1，0），B1（﹣2，﹣2），且点A与A1是对应点，则点M的坐标是（ ）
A．（0，﹣2） B．（1，﹣1） C．（0，0） D．（﹣1，﹣1）
【分析】对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心．
【解答】解：观察图象可知，旋转中心的坐标为（1，﹣1），
故选：B．
9．关于x的分式方程＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≠1 C．m＞1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1
【分析】先去分母，用含m的代数式表示出x，根据解为正数求出m的范围即可．
【解答】解：两边都乘以x﹣1，得：m﹣1＝2（x﹣1），
解得：x＝，
因为分式方程的解为正数，
所以＞0且≠1，
解得：m＞﹣1且m≠1，
故选：D．
10．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：
①AS＝AR②QP∥AR③△BRP≌△QSP．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【分析】根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR＝AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP＝∠QPA，推出∠QPA＝∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR＝PS．无法判断△BRP≌△QSP．
【解答】解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，
∴∠SAP＝∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2＝AP2﹣PR2，AS2＝AP2﹣PS2，
∵AD＝AD，PR＝PS，
∴AR＝AS，∴①正确；
②∵AQ＝QP，
∴∠QAP＝∠QPA，
∵∠QAP＝∠BAP，
∴∠QPA＝∠BAP，
∴QP∥AR，∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR＝PS，
不满足三角形全等的条件，故③错误
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】直接利用分式的定义进而分析得出答案．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴实数x的取值范围是：x≠2．
故答案为：x≠2．
12．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，点D在射线BC上，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠DCE＝ 65° ．
【分析】求出∠ACD，再利用角平分线的定义解决问题即可．
【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝80°，
∴∠A＝∠ACB＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，
由作图可知，CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD＝65°，
故答案为：65°．
13．如图是一次函数的y＝kx+b图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为 x＞﹣2 ．
【分析】一次函数的y＝kx+b图象经过点（﹣2，0），由函数表达式可得，kx+b＞0其实就是一次函数的函数值y＞0，结合图象可以看出答案．
【解答】解：由图可知：当x＞﹣2时，y＞0，即kx+b＞0；
因此kx+b＞0的解集为：x＞﹣2．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，9），B（3，1），点C，D分别是y轴正半轴和x轴正半轴上的两个动点，则当四边形ABDC的周长最小时，点C的坐标为 （0，5） ．
【分析】将点A关于y轴对称到E，将点B关于x轴对称到F，连接EF，EF的长度为四边形ABDC的周长最小值，求出直线EF的解析式即可求解．
【解答】解：将点A关于y轴对称到E，将点B关于x轴对称到F，连接EF，此时点C、D的位置如图C′、D′．
根据对称性质，可得EF的长度为四边形ABDC的周长最小值．
点E（﹣2，9）、点F（3，﹣1）．
设直线EF解析式为：y＝kx+b．
∴．
∴．
∴直线EF解析式为：y＝﹣2x+5．
当x＝0时，y＝5．
∴点C的坐标为：（0，5）．
故答案为：（0，5）．
15．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，若AH＝，CD＝，则△ABE的面积是 ．
【分析】过A作AM⊥BC于M，过B作BN⊥DA于N，则BN＝AM，先证AE＝AB＝，再由勾股定理求出BH＝2，然后由三角形面积求出BN＝AM＝，即可求解．
【解答】解：过A作AM⊥BC于M，过B作BN⊥DA于N，如图所示：
则BN＝AM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝，
∵AF⊥DC，
∴AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴BH＝＝＝2，
∵AM⊥BC，
∴△ABH的面积＝BH×AM＝AB×AH，
∴AM＝＝＝，
∴BN＝，
∴△ABE的面积＝AE×BN＝××＝，
故答案为：．
三．解答题
16．因式分解：
（1）15a3+10a2；
（2）3ax2+6axy+3ay2；
（3）（2x+y）2﹣（x+2y）2．
【分析】（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝5a2（3a+2）；
（2）原式＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2；
（3）原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
＝3（x+y）（x﹣y）．
17．解方程或不等式：
（1）3（2x+5）＞2（4x+3）；
（2）≥1；
（3）＝1．
【分析】（1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集；
（2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集；
（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去括号得：6x+15＞8x+6，
移项合并得：﹣2x＞﹣9，
解得：x＜；
（2）去分母得：2（x+1）﹣3（2x﹣5）≥12，
去括号得：2x+2﹣6x+15≥12，
移项合并得：﹣4x≥﹣5，
解得：x≤；
（3）去分母得：5﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝4，
检验：把x＝4代入得：x﹣4＝0，
则x＝4是增根，分式方程无解．
18．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后化简即可；
（2）根据分式的减法可以解答本题．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝﹣（a+b）
＝
＝
＝．
19．如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．
【分析】（1）由“AAS”可证△AOE≌△COF，可得EO＝FO，且AO＝CO，可证四边形AFCE是平行四边形；
（2）由勾股定理可求BF＝DE＝5cm，BE＝16cm，由三角形面积公式可求CH的长．
【解答】证明：（1）如图，连接AC交BD于点O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AO＝CO，且∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴EO＝FO，且AO＝CO
∴四边形AECF是平行四边形
（2）∵四边形AECF是平行四边形
∴AE＝CF＝12cm，
∴BF＝＝5cm
BE＝＝16cm
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∵BO＝DO，EO＝FO
∴DE＝BF＝5cm
∴BD＝21cm，
∵S△ABD＝S▱ABCD＝S△ABC，
∴BD×AE＝×AB×CH
∴21×12＝20×CH
∴CH＝12.6cm
20．列方程或不等式解应用题：
新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、B两种消毒液，其中A消毒液的单价比B消毒液的单价多40元，用3200元购买B消毒液的数量是用2400元购买A消毒液数量的2倍．
（1）求两种消毒液的单价；
（2）学校准备用不多于6800元的资金购买A、B两种消毒液共70桶，问最多购买A消毒液多少桶？
【分析】（1）设B消毒液的单价为x元，则A消毒液的单价为（x+40）元，根据数量＝总价÷单价，结合用3200元购买B消毒液的数量是用2400元购买A消毒液数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A消毒液m桶，则购进B消毒液（70﹣m）桶，根据总价＝单价×数量，结合总价不多于6800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B消毒液的单价为x元，则A消毒液的单价为（x+40）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴x+40＝120．
答：A消毒液的单价为120元，B消毒液的单价为80元．
（2）设购进A消毒液m桶，则购进B消毒液（70﹣m）桶，
依题意得：120m+80（70﹣m）≤6800，
解得：m≤30．
答：最多购买A消毒液30桶．
21．仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）．
则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，
∴n+2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x+3，m的值为6．
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式x2﹣7x+12可分解为（x﹣3）（x+a），则a＝ ﹣4 ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝ ﹣1 ；
（3）已知代数式2x3+x2+kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
【分析】（1）仿照题干中给出的方法计算即可；
（2）仿照题干中给出的方法计算即可；
（3）设出另一个因式为（ax2+bx+c），对比两边三次项系数可得a＝1，再参照题干给出的方法计算即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+a）＝x2﹣3x+ax﹣3a
＝x2+（a﹣3）x﹣3a
＝x2﹣7x+12．
∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12，
解得：a＝﹣4．
（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2+3x﹣4x﹣6
＝2x2﹣x﹣6
＝2x2+bx﹣6．
∴b＝﹣1．
（3）设另一个因式为（ax2+bx+c），得2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（ax2+bx+c）．
对比左右两边三次项系数可得：a＝1．
于是2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（x2+bx+c）．
则2x3+x2+kx﹣3＝2x3﹣x2+2bx2﹣bx+2cx﹣c＝2x3+（2b﹣1）x2+（2c﹣b）x﹣c．
∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k．
解得：c＝3，b＝1，k＝5．
故另一个因式为x2+x+3，k的值为5．
22．已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C、D重合），且∠EAC＝2∠EBC．
（1）如图1，若∠EBC＝27°，且EB＝EC，则∠DEB＝ 54 °，∠AEC＝ 99 °．
（2）如图2，
①求证：AE+AC＝BC；
②若∠ECB＝30°，且AC＝BE，求∠EBC的度数．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB＝27°，根据角平分线的性质得到∠DEB＝∠EBC+∠ECB＝54°，再由角平分线的性质得到∠ACD＝∠ECB＝27°，因为∠EAC＝2∠EBC＝54°，求得∠AEC＝180°﹣27°﹣54°＝99°；
（2）①在BC上取一点M，使BM＝ME，根据等腰三角形的性质得到∠MBE＝∠MEB，由∠EAB＝2∠MBE，∠EMC＝∠MBE+∠MEB＝2∠MBE，得到∠EAC＝∠EMC，由全等三角形的性质推出AE＝ME，CM＝AC，于是得到结论；
②如图2，在BC上取一点M，使BM＝ME，连接AM，由∠ECB＝30°，得到∠ACB＝60°，于是推出△AMC是等边三角形，通过三角形全等得到∠EBC＝∠MAE，由∠MAC＝60°，得到∠EAC＝2∠EBC＝2∠MAE，于是得出结果．
【解答】解：（1）∵EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB＝27°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECB＝27°，
∵∠EAC＝2∠EBC＝54°，
∴∠AEC＝180°﹣27°﹣54°＝99°，
故答案为：27°，99°；
（2）①证明：如图1，在BC上取一点M，使BM＝ME，
∴∠MBE＝∠MEB，
∵∠EAC＝2∠MBE，∠EMC＝∠MBE+∠MEB＝2∠MBE，
∴∠EAC＝∠EMC，
在△ACE与△MCE中，
，
∴△ACE≌△MCE，
∴AE＝ME，CM＝AC，
∴AE＝BM，
∴BC＝BM+CM＝AE+AC；
②如图2在BC上取一点M，使BM＝ME，连接AM，
∵∠ECB＝30°，
∴∠ACB＝60°，由①可知；△AMC是等边三角形（M点与B点重合），
∴AM＝AC＝BE，
在△EMB与△MEA中，
，
∴△EMB≌△MEA，
∴∠EBC＝∠MAE，
∵∠MAC＝60°，
∵∠EAC＝2∠EBC＝2∠MAE，
∴∠MAE＝20°，∠EAC＝40°，
∴∠EBC＝20°．
2020-2021学年广东省深圳中学共同体联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由4x﹣1≥0得4x＞1 B．由5x＞3 得 x＞3
C．由＞0得 y＞0 D．由﹣2x＜4得x＜﹣2
3．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
C．6a2b3＝2a2b•3b2
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
4．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A'B'C'，ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E'D'．已知ED＝6，则B'C'等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（1，0），平移线段AB，使点A落在点A1（2，3）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（4，1） C．（4，0） D．（﹣2，1）
6．如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
7．若P是△ABC所在平面内的点，且PA＝PB＝PC，则下列说法正确的是（ ）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条角平分线的交点
C．点P是△ABC三边上高的交点
D．点P是△ABC三边中线的交点
8．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，其中A1（﹣1，0），B1（﹣2，﹣2），且点A与A1是对应点，则点M的坐标是（ ）
A．（0，﹣2） B．（1，﹣1） C．（0，0） D．（﹣1，﹣1）
9．关于x的分式方程＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≠1 C．m＞1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1
10．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：
①AS＝AR②QP∥AR③△BRP≌△QSP．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，点D在射线BC上，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠DCE＝ ．
13．如图是一次函数的y＝kx+b图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，9），B（3，1），点C，D分别是y轴正半轴和x轴正半轴上的两个动点，则当四边形ABDC的周长最小时，点C的坐标为 ．
15．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，若AH＝，CD＝，则△ABE的面积是 ．
三、解答题（本大题有7题，其中16题9分，17题9分，18题6分，19题7分，20题7分，21题8分，22题9分，共55分，把答案填在答题卷上）
16．因式分解：
（1）15a3+10a2；
（2）3ax2+6axy+3ay2；
（3）（2x+y）2﹣（x+2y）2．
17．解方程或不等式：
（1）3（2x+5）＞2（4x+3）；
（2）≥1；
（3）＝1．
18．计算：
（1）；
（2）．
19．如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．
20．列方程或不等式解应用题：
新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、B两种消毒液，其中A消毒液的单价比B消毒液的单价多40元，用3200元购买B消毒液的数量是用2400元购买A消毒液数量的2倍．
（1）求两种消毒液的单价；
（2）学校准备用不多于6800元的资金购买A、B两种消毒液共70桶，问最多购买A消毒液多少桶？
21．仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）．
则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，
∴n+2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x+3，m的值为6．
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式x2﹣7x+12可分解为（x﹣3）（x+a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝ ；
（3）已知代数式2x3+x2+kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
22．已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C、D重合），且∠EAC＝2∠EBC．
（1）如图1，若∠EBC＝27°，且EB＝EC，则∠DEB＝ °，∠AEC＝ °．
（2）如图2，
①求证：AE+AC＝BC；
②若∠ECB＝30°，且AC＝BE，求∠EBC的度数．
2020-2021学年广东省深圳中学共同体联考八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：A．
2．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由4x﹣1≥0得4x＞1 B．由5x＞3 得 x＞3
C．由＞0得 y＞0 D．由﹣2x＜4得x＜﹣2
【分析】根据不等式的性质对各个选项进行分析判断即可得到答案．
【解答】解：由4x﹣1≥0得4x≥1，A错误；
由5x＞3 得x＞，B错误；
由＞0得 y＞0，C正确；
由﹣2x＜4得x＞﹣2，D错误．
故选：C．
3．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
C．6a2b3＝2a2b•3b2
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
【分析】根据因式分解的概念，即把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行逐一分析判断．
【解答】解：A、该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、符合因式分解的概念，故本选项符合题意；
C、该变形不是多项式分解因式，故本选项不符合题意；
D、该变形没有分解成几个整式的积的形式，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A'B'C'，ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E'D'．已知ED＝6，则B'C'等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】先根据旋转的性质可得E'D'＝ED＝6，再根据三角形的中位线定理求解即可．
【解答】解：∵△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′，ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E'D'
∴E'D'＝ED＝6，
∴B'C'＝2E'D'＝12．
故选：C．
5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（1，0），平移线段AB，使点A落在点A1（2，3）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（4，1） C．（4，0） D．（﹣2，1）
【分析】由点A（﹣1，2）平移后A1（2，3）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
【解答】解：由点A（﹣1，2）平移后A1（2，3）可得坐标的变化规律是：横坐标+3，纵坐标+1，
∴点B的对应点B1的坐标（4，1）．
故选：B．
6．如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：A．
7．若P是△ABC所在平面内的点，且PA＝PB＝PC，则下列说法正确的是（ ）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条角平分线的交点
C．点P是△ABC三边上高的交点
D．点P是△ABC三边中线的交点
【分析】根据到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上解答．
【解答】解：∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选：A．
8．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，其中A1（﹣1，0），B1（﹣2，﹣2），且点A与A1是对应点，则点M的坐标是（ ）
A．（0，﹣2） B．（1，﹣1） C．（0，0） D．（﹣1，﹣1）
【分析】对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心．
【解答】解：观察图象可知，旋转中心的坐标为（1，﹣1），
故选：B．
9．关于x的分式方程＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≠1 C．m＞1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1
【分析】先去分母，用含m的代数式表示出x，根据解为正数求出m的范围即可．
【解答】解：两边都乘以x﹣1，得：m﹣1＝2（x﹣1），
解得：x＝，
因为分式方程的解为正数，
所以＞0且≠1，
解得：m＞﹣1且m≠1，
故选：D．
10．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：
①AS＝AR②QP∥AR③△BRP≌△QSP．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【分析】根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR＝AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP＝∠QPA，推出∠QPA＝∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR＝PS．无法判断△BRP≌△QSP．
【解答】解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，
∴∠SAP＝∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2＝AP2﹣PR2，AS2＝AP2﹣PS2，
∵AD＝AD，PR＝PS，
∴AR＝AS，∴①正确；
②∵AQ＝QP，
∴∠QAP＝∠QPA，
∵∠QAP＝∠BAP，
∴∠QPA＝∠BAP，
∴QP∥AR，∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR＝PS，
不满足三角形全等的条件，故③错误
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】直接利用分式的定义进而分析得出答案．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴实数x的取值范围是：x≠2．
故答案为：x≠2．
12．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，点D在射线BC上，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠DCE＝ 65° ．
【分析】求出∠ACD，再利用角平分线的定义解决问题即可．
【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝80°，
∴∠A＝∠ACB＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，
由作图可知，CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD＝65°，
故答案为：65°．
13．如图是一次函数的y＝kx+b图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为 x＞﹣2 ．
【分析】一次函数的y＝kx+b图象经过点（﹣2，0），由函数表达式可得，kx+b＞0其实就是一次函数的函数值y＞0，结合图象可以看出答案．
【解答】解：由图可知：当x＞﹣2时，y＞0，即kx+b＞0；
因此kx+b＞0的解集为：x＞﹣2．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，9），B（3，1），点C，D分别是y轴正半轴和x轴正半轴上的两个动点，则当四边形ABDC的周长最小时，点C的坐标为 （0，5） ．
【分析】将点A关于y轴对称到E，将点B关于x轴对称到F，连接EF，EF的长度为四边形ABDC的周长最小值，求出直线EF的解析式即可求解．
【解答】解：将点A关于y轴对称到E，将点B关于x轴对称到F，连接EF，此时点C、D的位置如图C′、D′．
根据对称性质，可得EF的长度为四边形ABDC的周长最小值．
点E（﹣2，9）、点F（3，﹣1）．
设直线EF解析式为：y＝kx+b．
∴．
∴．
∴直线EF解析式为：y＝﹣2x+5．
当x＝0时，y＝5．
∴点C的坐标为：（0，5）．
故答案为：（0，5）．
15．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，若AH＝，CD＝，则△ABE的面积是 ．
【分析】过A作AM⊥BC于M，过B作BN⊥DA于N，则BN＝AM，先证AE＝AB＝，再由勾股定理求出BH＝2，然后由三角形面积求出BN＝AM＝，即可求解．
【解答】解：过A作AM⊥BC于M，过B作BN⊥DA于N，如图所示：
则BN＝AM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝，
∵AF⊥DC，
∴AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴BH＝＝＝2，
∵AM⊥BC，
∴△ABH的面积＝BH×AM＝AB×AH，
∴AM＝＝＝，
∴BN＝，
∴△ABE的面积＝AE×BN＝××＝，
故答案为：．
三．解答题
16．因式分解：
（1）15a3+10a2；
（2）3ax2+6axy+3ay2；
（3）（2x+y）2﹣（x+2y）2．
【分析】（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝5a2（3a+2）；
（2）原式＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2；
（3）原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
＝3（x+y）（x﹣y）．
17．解方程或不等式：
（1）3（2x+5）＞2（4x+3）；
（2）≥1；
（3）＝1．
【分析】（1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集；
（2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集；
（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去括号得：6x+15＞8x+6，
移项合并得：﹣2x＞﹣9，
解得：x＜；
（2）去分母得：2（x+1）﹣3（2x﹣5）≥12，
去括号得：2x+2﹣6x+15≥12，
移项合并得：﹣4x≥﹣5，
解得：x≤；
（3）去分母得：5﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝4，
检验：把x＝4代入得：x﹣4＝0，
则x＝4是增根，分式方程无解．
18．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后化简即可；
（2）根据分式的减法可以解答本题．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝﹣（a+b）
＝
＝
＝．
19．如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．
【分析】（1）由“AAS”可证△AOE≌△COF，可得EO＝FO，且AO＝CO，可证四边形AFCE是平行四边形；
（2）由勾股定理可求BF＝DE＝5cm，BE＝16cm，由三角形面积公式可求CH的长．
【解答】证明：（1）如图，连接AC交BD于点O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AO＝CO，且∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴EO＝FO，且AO＝CO
∴四边形AECF是平行四边形
（2）∵四边形AECF是平行四边形
∴AE＝CF＝12cm，
∴BF＝＝5cm
BE＝＝16cm
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∵BO＝DO，EO＝FO
∴DE＝BF＝5cm
∴BD＝21cm，
∵S△ABD＝S▱ABCD＝S△ABC，
∴BD×AE＝×AB×CH
∴21×12＝20×CH
∴CH＝12.6cm
20．列方程或不等式解应用题：
新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、B两种消毒液，其中A消毒液的单价比B消毒液的单价多40元，用3200元购买B消毒液的数量是用2400元购买A消毒液数量的2倍．
（1）求两种消毒液的单价；
（2）学校准备用不多于6800元的资金购买A、B两种消毒液共70桶，问最多购买A消毒液多少桶？
【分析】（1）设B消毒液的单价为x元，则A消毒液的单价为（x+40）元，根据数量＝总价÷单价，结合用3200元购买B消毒液的数量是用2400元购买A消毒液数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A消毒液m桶，则购进B消毒液（70﹣m）桶，根据总价＝单价×数量，结合总价不多于6800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B消毒液的单价为x元，则A消毒液的单价为（x+40）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴x+40＝120．
答：A消毒液的单价为120元，B消毒液的单价为80元．
（2）设购进A消毒液m桶，则购进B消毒液（70﹣m）桶，
依题意得：120m+80（70﹣m）≤6800，
解得：m≤30．
答：最多购买A消毒液30桶．
21．仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）．
则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，
∴n+2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x+3，m的值为6．
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式x2﹣7x+12可分解为（x﹣3）（x+a），则a＝ ﹣4 ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝ ﹣1 ；
（3）已知代数式2x3+x2+kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
【分析】（1）仿照题干中给出的方法计算即可；
（2）仿照题干中给出的方法计算即可；
（3）设出另一个因式为（ax2+bx+c），对比两边三次项系数可得a＝1，再参照题干给出的方法计算即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+a）＝x2﹣3x+ax﹣3a
＝x2+（a﹣3）x﹣3a
＝x2﹣7x+12．
∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12，
解得：a＝﹣4．
（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2+3x﹣4x﹣6
＝2x2﹣x﹣6
＝2x2+bx﹣6．
∴b＝﹣1．
（3）设另一个因式为（ax2+bx+c），得2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（ax2+bx+c）．
对比左右两边三次项系数可得：a＝1．
于是2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（x2+bx+c）．
则2x3+x2+kx﹣3＝2x3﹣x2+2bx2﹣bx+2cx﹣c＝2x3+（2b﹣1）x2+（2c﹣b）x﹣c．
∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k．
解得：c＝3，b＝1，k＝5．
故另一个因式为x2+x+3，k的值为5．
22．已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C、D重合），且∠EAC＝2∠EBC．
（1）如图1，若∠EBC＝27°，且EB＝EC，则∠DEB＝ 54 °，∠AEC＝ 99 °．
（2）如图2，
①求证：AE+AC＝BC；
②若∠ECB＝30°，且AC＝BE，求∠EBC的度数．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB＝27°，根据角平分线的性质得到∠DEB＝∠EBC+∠ECB＝54°，再由角平分线的性质得到∠ACD＝∠ECB＝27°，因为∠EAC＝2∠EBC＝54°，求得∠AEC＝180°﹣27°﹣54°＝99°；
（2）①在BC上取一点M，使BM＝ME，根据等腰三角形的性质得到∠MBE＝∠MEB，由∠EAB＝2∠MBE，∠EMC＝∠MBE+∠MEB＝2∠MBE，得到∠EAC＝∠EMC，由全等三角形的性质推出AE＝ME，CM＝AC，于是得到结论；
②如图2，在BC上取一点M，使BM＝ME，连接AM，由∠ECB＝30°，得到∠ACB＝60°，于是推出△AMC是等边三角形，通过三角形全等得到∠EBC＝∠MAE，由∠MAC＝60°，得到∠EAC＝2∠EBC＝2∠MAE，于是得出结果．
【解答】解：（1）∵EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB＝27°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECB＝27°，
∵∠EAC＝2∠EBC＝54°，
∴∠AEC＝180°﹣27°﹣54°＝99°，
故答案为：27°，99°；
（2）①证明：如图1，在BC上取一点M，使BM＝ME，
∴∠MBE＝∠MEB，
∵∠EAC＝2∠MBE，∠EMC＝∠MBE+∠MEB＝2∠MBE，
∴∠EAC＝∠EMC，
在△ACE与△MCE中，
，
∴△ACE≌△MCE，
∴AE＝ME，CM＝AC，
∴AE＝BM，
∴BC＝BM+CM＝AE+AC；
②如图2在BC上取一点M，使BM＝ME，连接AM，
∵∠ECB＝30°，
∴∠ACB＝60°，由①可知；△AMC是等边三角形（M点与B点重合），
∴AM＝AC＝BE，
在△EMB与△MEA中，
，
∴△EMB≌△MEA，
∴∠EBC＝∠MAE，
∵∠MAC＝60°，
∵∠EAC＝2∠EBC＝2∠MAE，
∴∠MAE＝20°，∠EAC＝40°，
∴∠EBC＝20°．
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