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    2020年浙江省湖州市中考数学试卷

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    这是一份2020年浙江省湖州市中考数学试卷,共30页。试卷主要包含了填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2020年浙江省湖州市中考数学试卷
    一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项,并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑,不选、多选、错选均不给分.
    1.(3分)数4的算术平方根是(  )
    A.2 B.﹣2 C.±2 D.2
    2.(3分)近几年来,我国经济规模不断扩大,综合国力显著增强.2019年我国国内生产总值约991000亿元,则数991000用科学记数法可表示为(  )
    A.991×103 B.99.1×104 C.9.91×105 D.9.91×106
    3.(3分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体可能是(  )

    A. B. C. D.
    4.(3分)如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是(  )

    A.70° B.110° C.130° D.140°
    5.(3分)数据﹣1,0,3,4,4的平均数是(  )
    A.4 B.3 C.2.5 D.2
    6.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1=0,则下列关于该方程根的判断,正确的是(  )
    A.有两个不相等的实数根
    B.有两个相等的实数根
    C.没有实数根
    D.实数根的个数与实数b的取值有关
    7.(3分)四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB=30°,则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是(  )

    A.1 B.12 C.22 D.32
    8.(3分)已知在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B.则下列直线中,与x轴的交点不在线段AB上的直线是(  )
    A.y=x+2 B.y=2x+2 C.y=4x+2 D.y=233x+2
    9.(3分)如图,已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线,AO=BO.以O为圆心,OT为半径的圆交OA于点C,过点C作⊙O的切线CD,交AB于点D.则下列结论中错误的是(  )

    A.DC=DT B.AD=2DT C.BD=BO D.2OC=5AC
    10.(3分)七巧板是我国祖先的一项卓越创造,流行于世界各地.由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板,如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形,则这两个图形中,中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是(  )

    A.1和1 B.1和2 C.2和1 D.2和2
    二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
    11.(4分)计算:﹣2﹣1=   .
    12.(4分)化简:x+1x2+2x+1=   .
    13.(4分)如图,已知AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,CD=8,AB=10,则CD与AB之间的距离是   .

    14.(4分)在一个布袋里放有1个白球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,从布袋里摸出1个球,记下颜色后放回,搅匀,再摸出1个球.将2个红球分别记为红Ⅰ,红Ⅱ,两次摸球的所有可能的结果如表所示,
    第二次
    第一次

    红Ⅰ
    红Ⅱ

    白,白
    白,红Ⅰ
    白,红Ⅱ
    红Ⅰ
    红Ⅰ,白
    红Ⅰ,红Ⅰ
    红Ⅰ,红Ⅱ
    红Ⅱ
    红Ⅱ,白
    红Ⅱ,红Ⅰ
    红Ⅱ,红Ⅱ
    则两次摸出的球都是红球的概率是   .
    15.(4分)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图,已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形,则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中.面积最大的三角形的斜边长是   .

    16.(4分)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上,点A在第一象限,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OA的中点C.交AB于点D,连结CD.若△ACD的面积是2,则k的值是   .

    三、解答题(本题有8小题,共66分)
    17.(6分)计算:8+|2-1|.
    18.(6分)解不等式组3x-2<x,①13x<-2,②.
    19.(6分)有一种升降熨烫台如图1所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图.AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆,点O是它们的连接点,OA=OC,h(cm)表示熨烫台的高度.
    (1)如图2﹣1.若AB=CD=110cm,∠AOC=120°,求h的值;
    (2)爱动脑筋的小明发现,当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时,两根支撑杆的夹角∠AOC是74°(如图2﹣2).求该熨烫台支撑杆AB的长度(结果精确到1cm).
    (参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,sin53°≈0.8,cos53°≈0.6.)

    20.(8分)为了解学生对网上在线学习效果的满意度,某校设置了:非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项,随机抽查了部分学生,要求每名学生都只选其中的一项,并将抽查结果绘制成如图统计图(不完整).

    请根据图中信息解答下列问题:
    (1)求被抽查的学生人数,并补全条形统计图;(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上)
    (2)求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数;
    (3)若该校共有1000名学生参与网上在线学习,根据抽查结果,试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人?
    21.(8分)如图,已知△ABC是⊙O的内接三角形,AD是⊙O的直径,连结BD,BC平分∠ABD.
    (1)求证:∠CAD=∠ABC;
    (2)若AD=6,求CD的长.

    22.(10分)某企业承接了27000件产品的生产任务,计划安排甲、乙两个车间的共50名工人,合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备,工人的工作效率为:甲车间每人每天生产25件,乙车间每人每天生产30件.
    (1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产?
    (2)为了提前完成生产任务,该企业设计了两种方案:
    方案一 甲车间租用先进生产设备,工人的工作效率可提高20%,乙车间维持不变.
    方案二 乙车间再临时招聘若干名工人(工作效率与原工人相同),甲车间维持不变.
    设计的这两种方案,企业完成生产任务的时间相同.
    ①求乙车间需临时招聘的工人数;
    ②若甲车间租用设备的租金每天900元,租用期间另需一次性支付运输等费用1500元;乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问:从新增加的费用考虑,应选择哪种方案能更节省开支?请说明理由.
    23.(10分)已知在△ABC中,AC=BC=m,D是AB边上的一点,将∠B沿着过点D的直线折叠,使点B落在AC边的点P处(不与点A,C重合),折痕交BC边于点E.
    (1)特例感知 如图1,若∠C=60°,D是AB的中点,求证:AP=12AC;
    (2)变式求异 如图2,若∠C=90°,m=62,AD=7,过点D作DH⊥AC于点H,求DH和AP的长;
    (3)化归探究 如图3,若m=10,AB=12,且当AD=a时,存在两次不同的折叠,使点B落在AC边上两个不同的位置,请直接写出a的取值范围.

    24.(12分)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C.过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧),点B在AC的延长线上,连结OA,OB,DA和DB.
    (1)如图1,当AC∥x轴时,
    ①已知点A的坐标是(﹣2,1),求抛物线的解析式;
    ②若四边形AOBD是平行四边形,求证:b2=4c.
    (2)如图2,若b=﹣2,BCAC=35,是否存在这样的点A,使四边形AOBD是平行四边形?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.


    2020年浙江省湖州市中考数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项,并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑,不选、多选、错选均不给分.
    1.(3分)数4的算术平方根是(  )
    A.2 B.﹣2 C.±2 D.2
    【解答】解:∵2的平方为4,
    ∴4的算术平方根为2.
    故选:A.
    2.(3分)近几年来,我国经济规模不断扩大,综合国力显著增强.2019年我国国内生产总值约991000亿元,则数991000用科学记数法可表示为(  )
    A.991×103 B.99.1×104 C.9.91×105 D.9.91×106
    【解答】解:将991000用科学记数法表示为:9.91×105.
    故选:C.
    3.(3分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体可能是(  )

    A. B. C. D.
    【解答】解:∵主视图和左视图是三角形,
    ∴几何体是锥体,
    ∵俯视图的大致轮廓是圆,
    ∴该几何体是圆锥.
    故选:A.
    4.(3分)如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是(  )

    A.70° B.110° C.130° D.140°
    【解答】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=70°,
    ∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°,
    故选:B.
    5.(3分)数据﹣1,0,3,4,4的平均数是(  )
    A.4 B.3 C.2.5 D.2
    【解答】解:x=-1+0+3+4+45=2,
    故选:D.
    6.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1=0,则下列关于该方程根的判断,正确的是(  )
    A.有两个不相等的实数根
    B.有两个相等的实数根
    C.没有实数根
    D.实数根的个数与实数b的取值有关
    【解答】解:∵△=b2﹣4×(﹣1)=b2+4>0,
    ∴方程有两个不相等的实数根.
    故选:A.
    7.(3分)四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB=30°,则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是(  )

    A.1 B.12 C.22 D.32
    【解答】解:根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半,
    ∴菱形ABC′D′的面积为12AB2,正方形ABCD的面积为AB2.
    ∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是12.
    故选:B.
    8.(3分)已知在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B.则下列直线中,与x轴的交点不在线段AB上的直线是(  )
    A.y=x+2 B.y=2x+2 C.y=4x+2 D.y=233x+2
    【解答】解:∵直线y=2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B.
    ∴A(﹣1,0),B(﹣3,0)
    A、y=x+2与x轴的交点为(﹣2,0);故直线y=x+2与x轴的交点在线段AB上;
    B、y=2x+2与x轴的交点为(-2,0);故直线y=2x+2与x轴的交点在线段AB上;
    C、y=4x+2与x轴的交点为(-12,0);故直线y=4x+2与x轴的交点不在线段AB上;
    D、y=233x+2与x轴的交点为(-3,0);故直线y=233x+2与x轴的交点在线段AB上;
    故选:C.
    9.(3分)如图,已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线,AO=BO.以O为圆心,OT为半径的圆交OA于点C,过点C作⊙O的切线CD,交AB于点D.则下列结论中错误的是(  )

    A.DC=DT B.AD=2DT C.BD=BO D.2OC=5AC
    【解答】解:如图,连接OD.

    ∵OT是半径,OT⊥AB,
    ∴DT是⊙O的切线,
    ∵DC是⊙O的切线,
    ∴DC=DT,故选项A正确,
    ∵OA=OB,∠AOB=90°,
    ∴∠A=∠B=45°,
    ∵DC是切线,
    ∴CD⊥OC,
    ∴∠ACD=90°,
    ∴∠A=∠ADC=45°,
    ∴AC=CD=DT,
    ∴AC=2CD=2DT,故选项B正确,
    ∵OD=OD,OC=OT,DC=DT,
    ∴△DOC≌△DOT(SSS),
    ∴∠DOC=∠DOT,
    ∵OA=OB,OT⊥AB,∠AOB=90°,
    ∴∠AOT=∠BOT=45°,
    ∴∠DOT=∠DOC=22.5°,
    ∴∠BOD=∠ODB=67.5°,
    ∴BO=BD,故选项C正确,
    故选:D.
    10.(3分)七巧板是我国祖先的一项卓越创造,流行于世界各地.由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板,如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形,则这两个图形中,中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是(  )

    A.1和1 B.1和2 C.2和1 D.2和2
    【解答】解:中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2,如图所示:

    故选:D.
    二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
    11.(4分)计算:﹣2﹣1= ﹣3 .
    【解答】解:﹣2﹣1
    =﹣3
    故答案为:﹣3
    12.(4分)化简:x+1x2+2x+1= 1x+1 .
    【解答】解:x+1x2+2x+1
    =x+1(x+1)2
    =1x+1.
    故答案为:1x+1.
    13.(4分)如图,已知AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,CD=8,AB=10,则CD与AB之间的距离是 3 .

    【解答】解:过点O作OH⊥CD于H,连接OC,如图,则CH=DH=12CD=4,
    在Rt△OCH中,OH=52-42=3,
    所以CD与AB之间的距离是3.
    故答案为3.

    14.(4分)在一个布袋里放有1个白球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,从布袋里摸出1个球,记下颜色后放回,搅匀,再摸出1个球.将2个红球分别记为红Ⅰ,红Ⅱ,两次摸球的所有可能的结果如表所示,
    第二次
    第一次

    红Ⅰ
    红Ⅱ

    白,白
    白,红Ⅰ
    白,红Ⅱ
    红Ⅰ
    红Ⅰ,白
    红Ⅰ,红Ⅰ
    红Ⅰ,红Ⅱ
    红Ⅱ
    红Ⅱ,白
    红Ⅱ,红Ⅰ
    红Ⅱ,红Ⅱ
    则两次摸出的球都是红球的概率是 49 .
    【解答】解:根据图表给可知,共有9种等可能的结果,两次摸出的球都是红球的有4种,
    则两次摸出的球都是红球的概率为49;
    故答案为:49.
    15.(4分)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图,已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形,则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中.面积最大的三角形的斜边长是 52 .

    【解答】解:∵在Rt△ABC中,AC=1,BC=2,
    ∴AB=5,AC:BC=1:2,
    ∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1:2,

    若该三角形最短边长为4,则另一直角边长为8,但在6×6网格图形中,最长线段为62,但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形,从而画不出端点都在格点且长为8的线段,故最短直角边长应小于4,在图中尝试,可画出DE=10,EF=210,DF=52的三角形,
    ∵101=2102=525=10,
    ∴△ABC∽△DEF,
    ∴∠DEF=∠C=90°,
    ∴此时△DEF的面积为:10×210÷2=10,△DEF为面积最大的三角形,其斜边长为:52.
    故答案为:52.
    16.(4分)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上,点A在第一象限,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OA的中点C.交AB于点D,连结CD.若△ACD的面积是2,则k的值是 83 .

    【解答】解:连接OD,过C作CE∥AB,交x轴于E,

    ∵∠ABO=90°,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OA的中点C,
    ∴S△COE=S△BOD=12k,S△ACD=S△OCD=2,
    ∵CE∥AB,
    ∴△OCE∽△OAB,
    ∴S△OCES△OAB=14,
    ∴4S△OCE=S△OAB,
    ∴4×12k=2+2+12k,
    ∴k=83,
    故答案为:83.
    三、解答题(本题有8小题,共66分)
    17.(6分)计算:8+|2-1|.
    【解答】解:原式=22+2-1=32-1.
    18.(6分)解不等式组3x-2<x,①13x<-2,②.
    【解答】解:3x-2<x①13x<-2②,
    解①得x<1;
    解②得x<﹣6.
    故不等式组的解集为x<﹣6.
    19.(6分)有一种升降熨烫台如图1所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图.AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆,点O是它们的连接点,OA=OC,h(cm)表示熨烫台的高度.
    (1)如图2﹣1.若AB=CD=110cm,∠AOC=120°,求h的值;
    (2)爱动脑筋的小明发现,当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时,两根支撑杆的夹角∠AOC是74°(如图2﹣2).求该熨烫台支撑杆AB的长度(结果精确到1cm).
    (参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,sin53°≈0.8,cos53°≈0.6.)

    【解答】解:(1)过点B作BE⊥AC于E,
    ∵OA=OC,∠AOC=120°,
    ∴∠OAC=∠OCA=180°-120°2=30°,
    ∴h=BE=AB•sin30°=110×12=55;
    (2)过点B作BE⊥AC于E,
    ∵OA=OC,∠AOC=74°,
    ∴∠OAC=∠OCA=180°-74°2=53°,
    ∴AB=BE÷sin53°=120÷0.8=150(cm),
    即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150cm.

    20.(8分)为了解学生对网上在线学习效果的满意度,某校设置了:非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项,随机抽查了部分学生,要求每名学生都只选其中的一项,并将抽查结果绘制成如图统计图(不完整).

    请根据图中信息解答下列问题:
    (1)求被抽查的学生人数,并补全条形统计图;(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上)
    (2)求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数;
    (3)若该校共有1000名学生参与网上在线学习,根据抽查结果,试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人?
    【解答】解:(1)抽查的学生数:20÷40%=50(人),
    抽查人数中“基本满意”人数:50﹣20﹣15﹣1=14(人),补全的条形统计图如图所示:
    (2)360°×1550=108°,
    答:扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为108°;
    (3)1000×(2050+1550)=700(人),
    答:该校共有1000名学生中“非常满意”或“满意”的约有700人.

    21.(8分)如图,已知△ABC是⊙O的内接三角形,AD是⊙O的直径,连结BD,BC平分∠ABD.
    (1)求证:∠CAD=∠ABC;
    (2)若AD=6,求CD的长.

    【解答】解:(1)∵BC平分∠ABD,
    ∴∠DBC=∠ABC,
    ∵∠CAD=∠DBC,
    ∴∠CAD=∠ABC;
    (2)∵∠CAD=∠ABC,
    ∴CD=AC,
    ∵AD是⊙O的直径,AD=6,
    ∴CD的长=12×12×π×6=32π.
    22.(10分)某企业承接了27000件产品的生产任务,计划安排甲、乙两个车间的共50名工人,合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备,工人的工作效率为:甲车间每人每天生产25件,乙车间每人每天生产30件.
    (1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产?
    (2)为了提前完成生产任务,该企业设计了两种方案:
    方案一 甲车间租用先进生产设备,工人的工作效率可提高20%,乙车间维持不变.
    方案二 乙车间再临时招聘若干名工人(工作效率与原工人相同),甲车间维持不变.
    设计的这两种方案,企业完成生产任务的时间相同.
    ①求乙车间需临时招聘的工人数;
    ②若甲车间租用设备的租金每天900元,租用期间另需一次性支付运输等费用1500元;乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问:从新增加的费用考虑,应选择哪种方案能更节省开支?请说明理由.
    【解答】解:(1)设甲车间有x名工人参与生产,乙车间各有y名工人参与生产,由题意得:
    x+y=5020(25x+30y)=27000,
    解得x=30y=20.
    ∴甲车间有30名工人参与生产,乙车间各有20名工人参与生产.
    (2)①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人,由题意得:
    2700030×25×(1+20%)+20×30=2700030×25+(20+m)×30,
    解得m=5.
    经检验,m=5是原方程的解,且符合题意.
    ∴乙车间需临时招聘5名工人.
    ②企业完成生产任务所需的时间为:
    2700030×25×(1+20%)+20×30=18(天).
    ∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500=17700(元).
    选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000(元).
    ∵17700<18000,
    ∴选择方案一能更节省开支.
    23.(10分)已知在△ABC中,AC=BC=m,D是AB边上的一点,将∠B沿着过点D的直线折叠,使点B落在AC边的点P处(不与点A,C重合),折痕交BC边于点E.
    (1)特例感知 如图1,若∠C=60°,D是AB的中点,求证:AP=12AC;
    (2)变式求异 如图2,若∠C=90°,m=62,AD=7,过点D作DH⊥AC于点H,求DH和AP的长;
    (3)化归探究 如图3,若m=10,AB=12,且当AD=a时,存在两次不同的折叠,使点B落在AC边上两个不同的位置,请直接写出a的取值范围.

    【解答】(1)证明:∵AC=BC,∠C=60°,
    ∴△ABC是等边三角形,
    ∴AC=AB,∠A=60°,
    由题意,得DB=DP,DA=DB,
    ∴DA=DP,
    ∴△ADP使得等边三角形,
    ∴AP=AD=12AB=12AC.

    (2)解:∵AC=BC=62,∠C=90°,
    ∴AB=AC2+BC2=(62)2+(62)2=12,
    ∵DH⊥AC,
    ∴DH∥BC,
    ∴△ADH∽△ABC,
    ∴DHBC=ADAB,
    ∵AD=7,
    ∴DH62=712,
    ∴DH=722,
    将∠B沿过点D的直线折叠,
    情形一:当点B落在线段CH上的点P1处时,如图2﹣1中,

    ∵AB=12,
    ∴DP1=DB=AB﹣AD=5,
    ∴HP1=DP12-DH2=52-(722)2=22,
    ∴A1=AH+HP1=42,
    情形二:当点B落在线段AH上的点P2处时,如图2﹣2中,

    同法可证HP2=22,
    ∴AP2=AH﹣HP2=32,
    综上所述,满足条件的AP的值为42或32.

    (3)如图3中,过点C作CH⊥AB于H,过点D作DP⊥AC于P.

    ∵CA=CB,CH⊥AB,
    ∴AH=HB=6,
    ∴CH=AC2-AH2=102-62=8,
    当DB=DP时,设BD=PD=x,则AD=12﹣x,
    ∵tanA=CHAC=PDAD,
    ∴810=x12-x,
    ∴x=163,
    ∴AD=AB﹣BD=203,
    观察图形可知当6<a<203时,存在两次不同的折叠,使点B落在AC边上两个不同的位置.
    24.(12分)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C.过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧),点B在AC的延长线上,连结OA,OB,DA和DB.
    (1)如图1,当AC∥x轴时,
    ①已知点A的坐标是(﹣2,1),求抛物线的解析式;
    ②若四边形AOBD是平行四边形,求证:b2=4c.
    (2)如图2,若b=﹣2,BCAC=35,是否存在这样的点A,使四边形AOBD是平行四边形?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.

    【解答】解:(1)①∵AC∥x轴,点A(﹣2,1),
    ∴C(0,1),
    将点A(﹣2,1),C(0,1)代入抛物线解析式中,得-4-2b+c=1c=1,
    ∴b=-2c=1,
    ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+1;

    ②如图1,过点D作DE⊥x轴于E,交AB于点F,
    ∵AC∥x轴,
    ∴EF=OC=c,
    ∵点D是抛物线的顶点坐标,
    ∴D(b2,c+b24),
    ∴DF=DE﹣EF=c+b24-c=b24,
    ∵四边形AOBD是平行四边形,
    ∴AD=DO,AD∥OB,
    ∴∠DAF=∠OBC,
    ∵∠AFD=∠BCO=90°,
    ∴△AFD≌△BCO(AAS),
    ∴DF=OC,
    ∴b24=c,
    即b2=4c;

    (2)如图2,∵b=﹣2.
    ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+c,
    ∴顶点坐标D(﹣1,c+1),
    假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形,
    设点A(m,﹣m2﹣2m+c)(m<0),
    过点D作DE⊥x轴于点E,交AB于F,
    ∴∠AFD=∠EFC=∠BCO,
    ∵四边形AOBD是平行四边形,
    ∴AD=BO,AD∥OB,
    ∴∠DAF=∠OBC,
    ∴△AFD≌△BCO(AAS),
    ∴AF=BC,DF=OC,
    过点A作AM⊥y轴于M,交DE于N,
    ∴DE∥CO,
    ∴△ANF∽△AMC,
    ∴ANAM=FNCM=AFAC=BCAC=35,
    ∵AM=﹣m,AN=AM﹣NM=﹣m﹣1,
    ∴-m-1-m=35,
    ∴m=-52,
    ∴点A的纵坐标为﹣(-52)2﹣2×(-52)+c=c-54<c,
    ∵AM∥x轴,
    ∴点M的坐标为(0,c-54),N(﹣1,c-54),
    ∴CM=c﹣(c-54)=54,
    ∵点D的坐标为(﹣1,c+1),
    ∴DN=(c+1)﹣(c-54)=94,
    ∵DF=OC=c,
    ∴FN=DN﹣DF=94-c,
    ∵FNCM=35,
    ∴94-c54=35,
    ∴c=32,
    ∴c-54=14,
    ∴点A纵坐标为14,
    ∴A(-52,14),
    ∴存在这样的点A,使四边形AOBD是平行四边形.


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