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2020年四川省宜宾市中考数学试卷
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这是一份2020年四川省宜宾市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年四川省宜宾市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1．（4分）（2020•宜宾）6的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C．16 D．-16
2．（4分）（2020•宜宾）我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为（ ）
A．7100 B．0.71×104 C．71×102 D．7.1×103
3．（4分）（2020•宜宾）如图所示，圆柱的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）（2020•宜宾）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a3•a4＝a12
5．（4分）（2020•宜宾）不等式组x-2＜0-2x-1≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（4分）（2020•宜宾）7名学生的鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．20，21 B．21，22 C．22，22 D．22，23
7．（4分）（2020•宜宾）如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝（ ）
A．20° B．45° C．65° D．70°
8．（4分）（2020•宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（ ）
A．15000x-8=12000x B．15000x+8=12000x
C．15000x=12000x-8 D．15000x=12000x+8
9．（4分）（2020•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D，且CD＝4，BD＝3，则⊙O的周长是（ ）
A．253π B．503π C．6259π D．62536π
10．（4分）（2020•宜宾）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
11．（4分）（2020•宜宾）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM=13BE，AN=13AD，则△CMN的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．不等边三角形
12．（4分）（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（ ）
①abc＞0；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；
③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．
13．（4分）（2020•玉林）分解因式：a3﹣a＝ ．
14．（4分）（2020•宜宾）如图，A、B、C是⊙O上的三点，若△OBC是等边三角形，则cos∠A＝ ．
15．（4分）（2020•宜宾）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则x2x1+2x1x2+x1x2= ．
16．（4分）（2020•宜宾）如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是 ．
17．（4分）（2020•宜宾）定义：分数nm（m，n为正整数且互为质数）的连分数1a1+1a2+1a3+⋯（其中a1，a2，a3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作nm△¯1a1+1a2+1a3+⋯，
例如：719=1197=12+57=12+175=12+11+25=12+11+152=12+11+12+12，719的连分数为12+11+12+12，记作719△¯12+11+12+12，则 △¯11+12+13．
18．（4分）（2020•宜宾）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连结CD交BE于点O．若AC＝8，BC＝6，则OE的长是 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（10分）（2020•宜宾）（1）计算：（14）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020；
（2）化简：2a2-2aa2-1÷（1-1a+1）．
20．（10分）（2020•宜宾）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE＝AD，连结CE．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．
21．（10分）（2020•宜宾）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．
（1）本次接受调查的学生有 名；
（2）补全条形统计图；
（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
22．（12分）（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为303米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
23．（12分）（2020•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABOC的面积．
24．（12分）（2020•宜宾）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A、B的一点，连结BC并延长至点D，使CD＝BC，连结AD交⊙O于点E，连结BE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）连结OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长．
25．（12分）（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．
2020年四川省宜宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1．（4分）（2020•宜宾）6的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C．16 D．-16
【解答】解：根据相反数的含义，可得
6的相反数是：﹣6．
故选：B．
2．（4分）（2020•宜宾）我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为（ ）
A．7100 B．0.71×104 C．71×102 D．7.1×103
【解答】解：将7100用科学记数法表示为：7.1×103．
故选：D．
3．（4分）（2020•宜宾）如图所示，圆柱的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看，是一个矩形．
故选：B．
4．（4分）（2020•宜宾）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a3•a4＝a12
【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（﹣2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（a+1）2＝a2+2a+1，原计算正确，故此选项符合题意；
D、a3•a4＝a7，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．（4分）（2020•宜宾）不等式组x-2＜0-2x-1≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不等式组x-2＜0①-2x-1≤1②，
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
表示为：
故选：A．
6．（4分）（2020•宜宾）7名学生的鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．20，21 B．21，22 C．22，22 D．22，23
【解答】解：数据按从小到大的顺序排列为20，21，22，22，22，23，23，所以中位数是22；
数据22出现了3次，出现次数最多，所以众数是22．
故选：C．
7．（4分）（2020•宜宾）如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝（ ）
A．20° B．45° C．65° D．70°
【解答】解：∵M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠C＝∠ANM＝45°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
故选：D．
8．（4分）（2020•宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（ ）
A．15000x-8=12000x B．15000x+8=12000x
C．15000x=12000x-8 D．15000x=12000x+8
【解答】解：设文学类图书平均每本x元，则科普类图书平均每本（x+8）元，
依题意，得：15000x+8=12000x．
故选：B．
9．（4分）（2020•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D，且CD＝4，BD＝3，则⊙O的周长是（ ）
A．253π B．503π C．6259π D．62536π
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴Rt△ABC∽Rt△CBD，
∴ABCB=BCBD，
∵CD＝4，BD＝3，
∴BC=CD2+BD2=42+32=5
∴AB5=53，
∴AB=253，
∴⊙O的周长是253π，
故选：A．
10．（4分）（2020•宜宾）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【解答】解：设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶（6﹣x）个，
依题意，得：500x+550（6﹣x）≤3100，
解得：x≥4．
∵x，（6﹣x）均为非负整数，
∴x可以为4，5，6，
∴共有3种购买方案．
故选：B．
11．（4分）（2020•宜宾）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM=13BE，AN=13AD，则△CMN的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．不等边三角形
【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴BC＝AC，EC＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE与△ACD中
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，
∵BM=13BE，AN=13AD，
∴BM＝AN，
在△MBC与△NAC中
BM=AN∠MBC=∠NACBC=AC，
∴△MBC≌△NAC（SAS），
∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，
∵∠BCM+∠MCA＝60°，
∴∠NCA+∠MCA＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MCN是等边三角形，
故选：C．
12．（4分）（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（ ）
①abc＞0；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；
③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
【解答】解：依照题意，画出图形如下：
∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．
∴a＜0，c＞0，对称轴为x=-b2a=-1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；
∵顶点为（﹣1，n），
∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，
联立方程组可得：y=kx+1y=ax2+2ax+a+n，
可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，
∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，
∵无法判断△是否大于0，
∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；
当﹣3≤x≤3时，
当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．
13．（4分）（2020•玉林）分解因式：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
14．（4分）（2020•宜宾）如图，A、B、C是⊙O上的三点，若△OBC是等边三角形，则cos∠A＝ 32 ．
【解答】解：∵△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴cos∠A＝cos30°=32．
故答案为：32．
15．（4分）（2020•宜宾）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则x2x1+2x1x2+x1x2= -372 ．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，
∴x2x1+2x1x2+x1x2
＝2x1x2+x22+x12x1x2
＝2×（﹣8）+(x1+x2)2-2x1x2-8
＝﹣16+(-2)2-2×(-8)-8
=-372，
故答案为：-372．
16．（4分）（2020•宜宾）如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是 52 ．
【解答】解：延长CB到C′，使C′B＝CB＝2，连接DC′交AB于P．则DC′就是PC+PD的和的最小值．
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠PBC′，∠ADP＝∠C′，
∴△ADP∽△BC′P，
∴AP：BP＝AD：BC′＝3：2，′
∴PB=23AP，
∵AP+BP＝AB＝5，
∴AP＝5，BP＝2，
∴PD=AD2+AP2=32+32=32，PC′=BP2+BC'2=22+22=22，
∴DC′＝PD+PC′＝32+22=52，
∴PC+PD的最小值是52，
故答案为52．
17．（4分）（2020•宜宾）定义：分数nm（m，n为正整数且互为质数）的连分数1a1+1a2+1a3+⋯（其中a1，a2，a3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作nm△¯1a1+1a2+1a3+⋯，
例如：719=1197=12+57=12+175=12+11+25=12+11+152=12+11+12+12，719的连分数为12+11+12+12，记作719△¯12+11+12+12，则 710 △¯11+12+13．
【解答】解：11+12+13△¯11+12+13=11+173=11+37=1107=710．
故答案为：710．
18．（4分）（2020•宜宾）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连结CD交BE于点O．若AC＝8，BC＝6，则OE的长是 9511 ．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：AB＝10，
过A作AF∥BC，交BE延长线于F，
∵AF∥BC，
∴∠F＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠F＝∠ABE，
∴AB＝AF＝10，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴AFBC=AECE，
∴106=AE8-AE，
解得：AE＝5，CE＝8﹣5＝3，
在Rt△ECB中，由勾股定理得：BE=62+32=35，
过D作DM∥AC，交BC于M，交BE于N，
∵D为AB的中点，
∴M为BC的中点，N为BE的中点，
∴DN=12AE=12×5=2.5，BN＝NE=12BE=352，
∵DM∥AC，
∴△DNO∽△CEO，
∴DNCE=ONEO，
∴2.53=352-OEOE，
解得：OE=9511，
故答案为：9511．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（10分）（2020•宜宾）（1）计算：（14）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020；
（2）化简：2a2-2aa2-1÷（1-1a+1）．
【解答】解：（1）（14）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020
＝4﹣1﹣3+1
＝1；
（2）2a2-2aa2-1÷（1-1a+1）
=2a(a-1)(a+1)(a-1)÷a+1-1a+1
=2aa+1•a+1a
＝2．
20．（10分）（2020•宜宾）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE＝AD，连结CE．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．
【解答】证明：（1）∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△ABD与△CED中
BD=CD∠ADB=∠CDEAD=ED，
∴△ABD≌△ECD（SAS）；
（2）在△ABC中，D是边BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC，
∵△ABD≌△ECD，
∴S△ABD＝S△ECD，
∵S△ABD＝5，
∴S△ACE＝S△ACD+S△ECD＝5+5＝10，
答：△ACE的面积为10．
21．（10分）（2020•宜宾）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．
（1）本次接受调查的学生有 60 名；
（2）补全条形统计图；
（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
【解答】解：（1）本次接受调查的学生有：9÷15%＝60（名）；
故答案为：60；
（2）选择C学习方式的人数有：60﹣9﹣30﹣6＝15（人），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
1800×3060=900（名），
答：估计有900名学生参与任课教师在线辅导．
22．（12分）（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为303米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
【解答】解：（1）过A作AE⊥CD于点E，
则AB＝EC＝30米，AE＝BC＝303米，
在Rt△AEC中，tan∠CAE=CEAE=33，
则∠CAE＝30°，
则∠CAD＝30°+45°＝75°；
（2）在Rt△AED中，DE＝AE＝303米，
CD＝CE+ED＝（30+303）米．
23．（12分）（2020•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABOC的面积．
【解答】解：（1）B（﹣1，﹣3）代入y=mx得，m＝3，
∴反比例函数的关系式为y=3x；
把A（﹣3，n）代入y=3x得，n＝﹣1
∴点A（﹣3，﹣1）；
把点A（﹣3，﹣1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b得，
-3k+b=-1-k+b=-3，
解得：k=-1b=-4，
∴一次函数y＝﹣x﹣4；
答：一次函数的关系式为y＝﹣x﹣4，反比例函数的关系式为y=3x；
（2）如图，过点B作BM⊥OP，垂足为M，由题意可知，OM＝1，BM＝3，AC＝1，MC＝OC﹣OM＝3﹣1＝2，
∴S四边形ABOC＝S△BOM+S梯形ACMB，
=32+12（1+3）×2，
=112．
24．（12分）（2020•宜宾）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A、B的一点，连结BC并延长至点D，使CD＝BC，连结AD交⊙O于点E，连结BE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）连结OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BD，
又∵CD＝BC，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，
∴∠BAC=12∠BAD，AB＝AD，BC＝BD，
又∵∠BAC=12∠BOC，
∴∠BOC＝∠BAD，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠FBO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠BFO，
∴△OBF∽△AEB，
∴OBAE=OFAB，
∵AB＝4，CF＝1，
∴OB＝2，OF＝OC+CF＝3，
∴2AE=34，
∴AE=83，
∴DE＝AD﹣AE=43．
25．（12分）（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，
故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a=14，
故二次函数表达式为：y=14x2；
（2）将y＝1代入y=14x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），
则MN＝4，
∵△PMN是等边三角形，
∴点P在y轴上且PM＝4，
∴PF＝23；
∵点F（0，1），
∴点P的坐标为（0，1+23）或（0，1﹣23）；
（3）假设二次函数的图象上是否存在一点E满足条件，
设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），
故点E在FN的中垂线上．
∴点E是FN的中垂线与y=14x2图象的交点，
∴y=14×12=14，则点E（1，14），
在Rt△FQE中，EN=(2-1)2+(1-14)2=54，
同理EF=(1-0)2+(1-14)2=54，
点E到直线y＝﹣1的距离为|14-（﹣1）|=54，
故存在点E，使得以点E为圆心半径为54的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．
2020年四川省宜宾市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1．（4分）（2020•宜宾）6的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C．16 D．-16
2．（4分）（2020•宜宾）我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为（ ）
A．7100 B．0.71×104 C．71×102 D．7.1×103
3．（4分）（2020•宜宾）如图所示，圆柱的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）（2020•宜宾）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a3•a4＝a12
5．（4分）（2020•宜宾）不等式组x-2＜0-2x-1≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（4分）（2020•宜宾）7名学生的鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．20，21 B．21，22 C．22，22 D．22，23
7．（4分）（2020•宜宾）如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝（ ）
A．20° B．45° C．65° D．70°
8．（4分）（2020•宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（ ）
A．15000x-8=12000x B．15000x+8=12000x
C．15000x=12000x-8 D．15000x=12000x+8
9．（4分）（2020•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D，且CD＝4，BD＝3，则⊙O的周长是（ ）
A．253π B．503π C．6259π D．62536π
10．（4分）（2020•宜宾）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
11．（4分）（2020•宜宾）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM=13BE，AN=13AD，则△CMN的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．不等边三角形
12．（4分）（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（ ）
①abc＞0；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；
③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．
13．（4分）（2020•玉林）分解因式：a3﹣a＝ ．
14．（4分）（2020•宜宾）如图，A、B、C是⊙O上的三点，若△OBC是等边三角形，则cos∠A＝ ．
15．（4分）（2020•宜宾）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则x2x1+2x1x2+x1x2= ．
16．（4分）（2020•宜宾）如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是 ．
17．（4分）（2020•宜宾）定义：分数nm（m，n为正整数且互为质数）的连分数1a1+1a2+1a3+⋯（其中a1，a2，a3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作nm△¯1a1+1a2+1a3+⋯，
例如：719=1197=12+57=12+175=12+11+25=12+11+152=12+11+12+12，719的连分数为12+11+12+12，记作719△¯12+11+12+12，则 △¯11+12+13．
18．（4分）（2020•宜宾）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连结CD交BE于点O．若AC＝8，BC＝6，则OE的长是 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（10分）（2020•宜宾）（1）计算：（14）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020；
（2）化简：2a2-2aa2-1÷（1-1a+1）．
20．（10分）（2020•宜宾）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE＝AD，连结CE．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．
21．（10分）（2020•宜宾）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．
（1）本次接受调查的学生有 名；
（2）补全条形统计图；
（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
22．（12分）（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为303米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
23．（12分）（2020•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABOC的面积．
24．（12分）（2020•宜宾）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A、B的一点，连结BC并延长至点D，使CD＝BC，连结AD交⊙O于点E，连结BE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）连结OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长．
25．（12分）（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．
2020年四川省宜宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1．（4分）（2020•宜宾）6的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C．16 D．-16
【解答】解：根据相反数的含义，可得
6的相反数是：﹣6．
故选：B．
2．（4分）（2020•宜宾）我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为（ ）
A．7100 B．0.71×104 C．71×102 D．7.1×103
【解答】解：将7100用科学记数法表示为：7.1×103．
故选：D．
3．（4分）（2020•宜宾）如图所示，圆柱的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看，是一个矩形．
故选：B．
4．（4分）（2020•宜宾）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a3•a4＝a12
【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（﹣2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（a+1）2＝a2+2a+1，原计算正确，故此选项符合题意；
D、a3•a4＝a7，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．（4分）（2020•宜宾）不等式组x-2＜0-2x-1≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不等式组x-2＜0①-2x-1≤1②，
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
表示为：
故选：A．
6．（4分）（2020•宜宾）7名学生的鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．20，21 B．21，22 C．22，22 D．22，23
【解答】解：数据按从小到大的顺序排列为20，21，22，22，22，23，23，所以中位数是22；
数据22出现了3次，出现次数最多，所以众数是22．
故选：C．
7．（4分）（2020•宜宾）如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝（ ）
A．20° B．45° C．65° D．70°
【解答】解：∵M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠C＝∠ANM＝45°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
故选：D．
8．（4分）（2020•宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（ ）
A．15000x-8=12000x B．15000x+8=12000x
C．15000x=12000x-8 D．15000x=12000x+8
【解答】解：设文学类图书平均每本x元，则科普类图书平均每本（x+8）元，
依题意，得：15000x+8=12000x．
故选：B．
9．（4分）（2020•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D，且CD＝4，BD＝3，则⊙O的周长是（ ）
A．253π B．503π C．6259π D．62536π
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴Rt△ABC∽Rt△CBD，
∴ABCB=BCBD，
∵CD＝4，BD＝3，
∴BC=CD2+BD2=42+32=5
∴AB5=53，
∴AB=253，
∴⊙O的周长是253π，
故选：A．
10．（4分）（2020•宜宾）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【解答】解：设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶（6﹣x）个，
依题意，得：500x+550（6﹣x）≤3100，
解得：x≥4．
∵x，（6﹣x）均为非负整数，
∴x可以为4，5，6，
∴共有3种购买方案．
故选：B．
11．（4分）（2020•宜宾）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM=13BE，AN=13AD，则△CMN的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．不等边三角形
【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴BC＝AC，EC＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE与△ACD中
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，
∵BM=13BE，AN=13AD，
∴BM＝AN，
在△MBC与△NAC中
BM=AN∠MBC=∠NACBC=AC，
∴△MBC≌△NAC（SAS），
∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，
∵∠BCM+∠MCA＝60°，
∴∠NCA+∠MCA＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MCN是等边三角形，
故选：C．
12．（4分）（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（ ）
①abc＞0；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；
③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
【解答】解：依照题意，画出图形如下：
∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．
∴a＜0，c＞0，对称轴为x=-b2a=-1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；
∵顶点为（﹣1，n），
∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，
联立方程组可得：y=kx+1y=ax2+2ax+a+n，
可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，
∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，
∵无法判断△是否大于0，
∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；
当﹣3≤x≤3时，
当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．
13．（4分）（2020•玉林）分解因式：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
14．（4分）（2020•宜宾）如图，A、B、C是⊙O上的三点，若△OBC是等边三角形，则cos∠A＝ 32 ．
【解答】解：∵△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴cos∠A＝cos30°=32．
故答案为：32．
15．（4分）（2020•宜宾）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则x2x1+2x1x2+x1x2= -372 ．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，
∴x2x1+2x1x2+x1x2
＝2x1x2+x22+x12x1x2
＝2×（﹣8）+(x1+x2)2-2x1x2-8
＝﹣16+(-2)2-2×(-8)-8
=-372，
故答案为：-372．
16．（4分）（2020•宜宾）如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是 52 ．
【解答】解：延长CB到C′，使C′B＝CB＝2，连接DC′交AB于P．则DC′就是PC+PD的和的最小值．
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠PBC′，∠ADP＝∠C′，
∴△ADP∽△BC′P，
∴AP：BP＝AD：BC′＝3：2，′
∴PB=23AP，
∵AP+BP＝AB＝5，
∴AP＝5，BP＝2，
∴PD=AD2+AP2=32+32=32，PC′=BP2+BC'2=22+22=22，
∴DC′＝PD+PC′＝32+22=52，
∴PC+PD的最小值是52，
故答案为52．
17．（4分）（2020•宜宾）定义：分数nm（m，n为正整数且互为质数）的连分数1a1+1a2+1a3+⋯（其中a1，a2，a3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作nm△¯1a1+1a2+1a3+⋯，
例如：719=1197=12+57=12+175=12+11+25=12+11+152=12+11+12+12，719的连分数为12+11+12+12，记作719△¯12+11+12+12，则 710 △¯11+12+13．
【解答】解：11+12+13△¯11+12+13=11+173=11+37=1107=710．
故答案为：710．
18．（4分）（2020•宜宾）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连结CD交BE于点O．若AC＝8，BC＝6，则OE的长是 9511 ．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：AB＝10，
过A作AF∥BC，交BE延长线于F，
∵AF∥BC，
∴∠F＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠F＝∠ABE，
∴AB＝AF＝10，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴AFBC=AECE，
∴106=AE8-AE，
解得：AE＝5，CE＝8﹣5＝3，
在Rt△ECB中，由勾股定理得：BE=62+32=35，
过D作DM∥AC，交BC于M，交BE于N，
∵D为AB的中点，
∴M为BC的中点，N为BE的中点，
∴DN=12AE=12×5=2.5，BN＝NE=12BE=352，
∵DM∥AC，
∴△DNO∽△CEO，
∴DNCE=ONEO，
∴2.53=352-OEOE，
解得：OE=9511，
故答案为：9511．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（10分）（2020•宜宾）（1）计算：（14）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020；
（2）化简：2a2-2aa2-1÷（1-1a+1）．
【解答】解：（1）（14）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020
＝4﹣1﹣3+1
＝1；
（2）2a2-2aa2-1÷（1-1a+1）
=2a(a-1)(a+1)(a-1)÷a+1-1a+1
=2aa+1•a+1a
＝2．
20．（10分）（2020•宜宾）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE＝AD，连结CE．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．
【解答】证明：（1）∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△ABD与△CED中
BD=CD∠ADB=∠CDEAD=ED，
∴△ABD≌△ECD（SAS）；
（2）在△ABC中，D是边BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC，
∵△ABD≌△ECD，
∴S△ABD＝S△ECD，
∵S△ABD＝5，
∴S△ACE＝S△ACD+S△ECD＝5+5＝10，
答：△ACE的面积为10．
21．（10分）（2020•宜宾）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．
（1）本次接受调查的学生有 60 名；
（2）补全条形统计图；
（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
【解答】解：（1）本次接受调查的学生有：9÷15%＝60（名）；
故答案为：60；
（2）选择C学习方式的人数有：60﹣9﹣30﹣6＝15（人），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
1800×3060=900（名），
答：估计有900名学生参与任课教师在线辅导．
22．（12分）（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为303米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
【解答】解：（1）过A作AE⊥CD于点E，
则AB＝EC＝30米，AE＝BC＝303米，
在Rt△AEC中，tan∠CAE=CEAE=33，
则∠CAE＝30°，
则∠CAD＝30°+45°＝75°；
（2）在Rt△AED中，DE＝AE＝303米，
CD＝CE+ED＝（30+303）米．
23．（12分）（2020•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABOC的面积．
【解答】解：（1）B（﹣1，﹣3）代入y=mx得，m＝3，
∴反比例函数的关系式为y=3x；
把A（﹣3，n）代入y=3x得，n＝﹣1
∴点A（﹣3，﹣1）；
把点A（﹣3，﹣1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b得，
-3k+b=-1-k+b=-3，
解得：k=-1b=-4，
∴一次函数y＝﹣x﹣4；
答：一次函数的关系式为y＝﹣x﹣4，反比例函数的关系式为y=3x；
（2）如图，过点B作BM⊥OP，垂足为M，由题意可知，OM＝1，BM＝3，AC＝1，MC＝OC﹣OM＝3﹣1＝2，
∴S四边形ABOC＝S△BOM+S梯形ACMB，
=32+12（1+3）×2，
=112．
24．（12分）（2020•宜宾）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A、B的一点，连结BC并延长至点D，使CD＝BC，连结AD交⊙O于点E，连结BE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）连结OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BD，
又∵CD＝BC，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，
∴∠BAC=12∠BAD，AB＝AD，BC＝BD，
又∵∠BAC=12∠BOC，
∴∠BOC＝∠BAD，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠FBO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠BFO，
∴△OBF∽△AEB，
∴OBAE=OFAB，
∵AB＝4，CF＝1，
∴OB＝2，OF＝OC+CF＝3，
∴2AE=34，
∴AE=83，
∴DE＝AD﹣AE=43．
25．（12分）（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，
故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a=14，
故二次函数表达式为：y=14x2；
（2）将y＝1代入y=14x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），
则MN＝4，
∵△PMN是等边三角形，
∴点P在y轴上且PM＝4，
∴PF＝23；
∵点F（0，1），
∴点P的坐标为（0，1+23）或（0，1﹣23）；
（3）假设二次函数的图象上是否存在一点E满足条件，
设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），
故点E在FN的中垂线上．
∴点E是FN的中垂线与y=14x2图象的交点，
∴y=14×12=14，则点E（1，14），
在Rt△FQE中，EN=(2-1)2+(1-14)2=54，
同理EF=(1-0)2+(1-14)2=54，
点E到直线y＝﹣1的距离为|14-（﹣1）|=54，
故存在点E，使得以点E为圆心半径为54的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．
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