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初中数学 章节考点梳理：反比例函数12个必考点全梳理
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这是一份初中数学 章节考点梳理：反比例函数12个必考点全梳理，共30页。教案主要包含了变式6-1等内容，欢迎下载使用。
如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上一点，B是y轴正半轴上一点，以OA、AB为邻边作▱ABCO．若点C及BC中点D都在反比例函数y=−4x（x＜0）图象上，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】设点C坐标为（a，−4a），点A（x，y），由中点坐标公式可求点D，点B坐标，由平行四边形的性质可得AC与BO互相平分，由中点坐标公式可求点A坐标，即可求解．
【解析】设点C坐标为（a，−4a），点A（x，y），
∵点D是BC的中点，∴点D的横坐标为a2，∴点D坐标为（a2，−8a），∴点B的坐标为（0，−12a），
∵四边形ABCO是平行四边形，∴AC与BO互相平分，
∴0+02=a+x2，−4a+y2=−12a+02，∴x＝﹣a，y=−8a，
∴点A（﹣a，−8a），∴k＝（﹣a）×（−8a）＝8，选B．
【小结】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，中点坐标计算公式，解题的关键是利用参数表示点的坐标
变式1 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AB∥x轴，CD与y轴交于点E，反比例函数y=kx（x＞0）图象经过顶点B、C，已知点B的横坐标为5，AE＝2CE，则点C的坐标为（ ）
A．（2，203） B．（2，83） C．（3，203） D．（3，83）
【分析】如图，过点C作CF⊥AB于点F，根据菱形的性质得到AB＝BC，CD∥AB，根据矩形的性质得到AE＝CF，CE＝AF，求得AB＝BC＝5，CF＝2CE，BF＝5﹣CE，根据勾股定理得到CF＝AE＝4，设点B（5，m），点C（2，m+4），列方程即可得到结论．
【解析】如图，过点C作CF⊥AB于点F，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，CD∥AB，
∵∠CEA＝90°，∴∠EAB＝90°，且∠CEA＝90°，CF⊥AB，
∴四边形CEAF是矩形，∴AE＝CF，CE＝AF，
∵点B的横坐标为5，AE＝2CE，∴AB＝BC＝5，CF＝2CE，BF＝5﹣CE，
∵BC2＝CF2+BF2，∴25＝4CE2+（5﹣CE）2，∴CE＝2，∴CF＝AE＝4，
设点B（5，m），点C（2，m+4），
∵反比例函数y=kx图象过点C，B，∴5m＝2×（m+4），∴m=83，∴点C（2，203），选A．
【小结】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出CE的长度是本题的关键．
变式2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣42 C．42 D．﹣21
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
【解析】∵当x＝0时，y＝0+4＝4，∴A（0，4），∴OA＝4；
∵当y＝0时，0=43x+4，∴x＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴OB＝3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．
在△AOB和△BEC中，∠CBE=∠BAO∠BEC=∠AOBBC=AB，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝3+4＝7，∴C点坐标为（﹣7，3），
∵点A在反比例函数y=kx(x＜0)的图象上，∴k＝﹣7×3＝﹣21．选D．
【小结】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
必考点1： 反比例函数系数k的几何意义（面积）
反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
例题1 如图，两个反比例函数y=4x和y=2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【分析】根据反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA=12×4＝2，S△BOA=12×2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．
【解析】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA=12×4＝2，S△BOA=12×2＝1，∴S△POB＝2﹣1＝1．选A
【小结】本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
如图直线y＝mx与双曲线y=kx交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM＝2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．
【解析】由题意得：S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM=12|k|＝1，
则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．选B．
【小结】本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
变式3 如图，点A与点B分别在函数y=k1x(k1＞0)与y=k2x(k2＜0)的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】设A（a，b），B（﹣a，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝﹣ad，根据三角形的面积公式求出ad+ad＝4，即可得出答案．
【解析】作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，∴AC∥BD∥y轴，
∵M是AB的中点，∴OC＝OD，
设A（a，b），B（﹣a，d），代入得：k1＝ab，k2＝﹣ad，
∵S△AOB＝2，∴12（b+d）•2a−12ab−12ad＝2，∴ab+ad＝4，∴k1﹣k2＝4，选C．
【小结】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出ab+ad＝4是解此题的关键．
变式4 如图，是反比例函数y=k1x和y=k2x（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为 ．
【分析】设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝cd，根据三角形的面积公式求出cd﹣ab＝4，即可得出答案．
【解析】设A（a，b），B（c，d），代入得：k1＝ab，k2＝cd，
∵S△AOB＝2，∴12cd−12ab＝2，∴cd﹣ab＝4，∴k2﹣k1＝4，
【小结】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd﹣ab＝4是解此题的关键．
必考点2： 反比例函数系数k的几何意义（规律题）
反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
例题2 如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…An，…作x轴的垂线交反比例函数y=1x（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn．则S1+S2+S3+…+S20＝ ．
【分析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A19A20＝1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…B20点的坐标为（20，y20），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…S20的值，故可得出结论．
【解析】∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn），
∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，∴y1＝1，y2=12，y3=13，…yn=1n，
∴S1=12×1×（y1﹣y2）=12×1×（1−12）=12（1−12）；
∴S2=12×1×（y2﹣y3）=12×（12−13）；
∴S3=12×1×（y3﹣y4）=12×（13−14），
…
∴S20=12×（y20﹣y21）=12×（120−121）=1840，
∴∴S1+S2+S3+…+S20=12（1−12+12−13+13−14+⋯+120−120+1）=202(1+20)=2042=1021，
【小结】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
变式5 【变式6-1】（2019•蜀山区一模）如图，点B在反比例函数y=2X（x＞0）的图象上，过点B分别与x轴和y轴的垂线，垂足分别是C0和A，点C0的坐标为（1，0），取x轴上一点C1（32，0），过点C1作x轴的垂线交反比例函数图象于点B1，过点B1作线段B1A1⊥BC0交于点A1，得到矩形A1B1C1C0，依次在x轴上取点C2 （2，0），C3（52，0）…，按此规律作矩形，则矩形AnBn∁nCn﹣1（n为正整数）的面积为 ．
【分析】第1个矩形的面积=43×(32−1)=23，第2个矩形的面积=(2−32)×1=12，…于是得到第n个矩形的面积=12×2+2n+2=2n+2．
【解析】第1个矩形的面积=43×(32−1)=23=21+2，
第2个矩形的面积=(2−32)×1=12=22+2，
…
第n个矩形的面积=12×2+2n+2=2n+2．
∴矩形AnBn∁nCn﹣1（n为正整数）的面积为2n+2
故答案为：2n+2
【小结】本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
变式6 如图，在反比例函数的图象y=4x（x＞0）上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+…+Sn＝ ．
【分析】易求得P1的坐标得到矩形P1AOB的面积；而把所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和就等于矩形P1ACB的面积，即可得到答案．
【解析】如图，过点P1、点Pn作y轴的垂线段，垂足分别是点B、点C，过点P1作x轴的垂线段，垂足是点E，P1E交CPn于点A，
则点A的纵坐标等于点Pn的纵坐标等于42n，AC＝2，AE=42n，
故S1+S2+S3+…+Sn＝S矩形P1EOB﹣S矩形AEOC＝2×42−2×42(n+1)=4−4n+1．
故答案为4−4n+1．
【小结】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，也考查了图形的平移以及矩形的性质，难度适中．
变式7 如图，已知反比例函数y=1x的图象，当x取1，2，3，…n时，对应在反比例图象上的点分别为M1、M2、M3…Mn，则S△P1M1M2+S△P2M2M3+…S△Pn﹣1Mn﹣1Mn＝ ．
【分析】先确定M1（1，1），M2（2，12），M3（3，13），…，Mn（n，1n），再根据三角形面积公式得到S△P1M1M2=12×1×（1−12），S△P2M2M3=12×1×（12−13），…，S△Pn﹣1Mn﹣1Mn=12×1×（1n+1−1n），然后把它们相加
【解析】∵M1（1，1），M2（2，12），M3（3，13），…，Mn（n，1n），
∴S△P1M1M2=12×1×（1−12），S△P2M2M3=12×1×（12−13），…，S△Pn﹣1Mn﹣1Mn=12×1×（1n−1−1n），
∴S△P1M1M2+S△P2M2M3+⋯+S△Pn−1Mn−1Mn=12×1×（1−12）+12×1×（12−13）+⋯+12×1×（1n−1−1n）
=12（1−12+12−13+⋯+1n−1−1n）
=12•n−1n
=n−12n．
【小结】本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．
必考点3： 待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
例题3 已知反比例函数y=kx（k≠0），当x＝﹣3时，y=43．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当y＝﹣4时，求自变量x的值．
【分析】（1）将x＝﹣3，y=43代入y=kx（k≠0），即利用待定系数法求该函数的解析式；
（2）将y＝﹣4代入（1）中的反比例函数解析式，求x值即可．
【解析】（1）根据题意，得43=−k3，解得，k＝﹣4；∴该反比例函数的解析式是y=−4x；
（2）由（1）知，该反比例函数的解析式是y=−4x，
∴当y＝﹣4时，﹣4=−4x，即x＝1．
【小结】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．在解答该题时，还借用了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
变式8 已知y与x﹣1成反比例，且当x＝4时，y＝1．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）判断点（﹣2，﹣1）是否在该函数图象上．
【分析】（1）根据题意可以设出函数关系式，把x和y的对应值代入函数解析式，通过方程即可求得k的值；
（2）然后把x＝﹣2代入所求得的函数解析式，得到相应的y的值即可判断．
【解析】（1）设y=kx−1，把x＝4，y＝1代入y=kx−1得1=k4−1，解得k＝3，
∴y与x的函数关系式y=3x−1；
（2）把 x＝﹣2代入y=3x−1得，y＝﹣1，
∴点（﹣2，﹣1）在该函数的图象上．
【小结】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
变式9 已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1．
（1）y与x的函数表达式；
（2）当x＝﹣1时，求y的值．
【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求得比例系数即可求得其解析式；
（2）代入x的值即可求得函数值．
【解析】（1）设y1=ax，y2＝b（x﹣2），则y=ax−b（x﹣2），
根据题意得a3−b(3−2)=5a1−b(1−2)=−1，解得a=3b=−4，所以y关于x的函数关系式为y=3x+4（x﹣2）；
（2）把x＝﹣1代入y=3x+4（x﹣2）；
得y＝﹣3+4×（﹣1﹣2）＝﹣15．
【小结】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝xk（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．
变式10 已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x+1成反比例，当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝2．求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【分析】直接利用根据正比例函数和反比例函数的定义，假设出y与x之间的关系，进而把已知数据代入得出答案．
【解析】∵y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x+1成反比例，
∴设y1＝kx2，y2=ax+1，∴y＝kx2+ax+1，
∵当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝2，∴2=a2=k+a2，解得：a=2k=1，故y＝x2+2x+1（x≠﹣1）．
【小结】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出函数关系式是解题关键．
必考点4： 反比例函数与一次函数交点问题
例题4 如图，等腰直角△ABC位于第二象限，BC＝AC＝2，直角顶点C在直线y＝﹣x上，且点C的横坐标为﹣3，边BC，AC分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=kx与△ABC的边AB有2个公共点，则k的取值范围为 ．
【分析】由题意C（﹣3，3），A（﹣3，1），B（﹣1，3），直线OC与AB的交点坐标为E（﹣2，2），反比例函数图象经过A或B时，k＝﹣3，反比例函数图象经过点E时，k＝﹣4，观察图象即可解决问题．
【解析】由题意C（﹣3，3），A（﹣3，1），B（﹣1，3），
直线OC与AB的交点坐标为E（﹣2，2），
反比例函数图象经过A或B时，k＝﹣3，
反比例函数图象经过点E时，k＝﹣4，
观察图象可知，双曲线y=kx与△ABC的边AB有2个公共点，则k的取值范围为﹣4＜k≤﹣3．
【小结】本题考查反比例函数与一次函数的图象的交点问题、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
变式11 如图，直线y＝1与反比例函数y=kx（x＜0），y=2x（x＞0）的图象分别交于点A和点B，线段AB的长是8，若直线y＝n（x+2）（n≠0）与y=2x（x＞0）的图象有交点，与y=kx（x＜0）无交点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣6＜n＜0 B．0＜n＜6
C．﹣6＜n＜0或0＜n＜6 D．0＜n＜2
【分析】先确定B（2，1），再确定A点的坐标为（﹣6，1），接着求出反比例函数解析式为y=−6x，结合图象，当n＜0时，不合题意，当n＞0时，直线y＝nx+2n与y=2x（x＞0）有交点，要满足直线y＝nx+2n与y=kx（x＜0）无交点，方程nx+2n=−6x无解，方程化为nx2+2nx+6＝0，利用判别式的意义得到△＝4n2﹣4n×6＜0，解不等式得到n的范围．
【解析】当y＝1时，2x=1，解得x＝2，则B（2，1），
∵线段AB的长是8，∴A点的坐标为（﹣6，1），
∵A点（﹣6，1）在反比例函数y=kx的图象上，∴k＝﹣6×1＝﹣6，∴反比例函数解析式为y=−6x，
当n＜0时，直线y＝nx+2n与y=kx（x＜0）有交点，不合题意，
当n＞0时，直线y＝nx+2n与y=2x（x＞0）有交点，
此时当方程nx+2n=−6x无解时，直线y＝nx+2n与y=kx（x＜0）无交点，
方程整理得nx2+2nx+6＝0，
∴△＝4n2﹣4n×6＜0，解得n＜6，
∴满足条件的n的范围为0＜n＜6．选B．
【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
变式12 在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣5，0）作垂直于x轴的直线AB，直线y＝x+b与双曲线y=−4x相交于点P（x1，y1）、Q（x2，y2），与直线AB相交于点R（x3，y3）．若y1＞y2＞y3时，则b的取值范围是（ ）
A．b＞4 B．b＞4或b＜﹣4
C．−295＜b＜﹣4或b＞4 D．4＜b＜295或b＜﹣4
【分析】先利用直线y＝x+b与双曲线y=−4x有两个交点和判别式的意义得到b＞4或b＜﹣4，讨论：当反比例函数图象与直线y＝x+b在第二象限相交于P、Q时，直线AB与反比例函数y=−4x相交于C点，如图，C（﹣5，45），利用点R在C点下方得到﹣5+b＜45，此时b的范围为4＜b＜295，当反比例函数与直线y＝x+b在第四象限相交于P、Q时，b的范围为b＜﹣4满足y1＞y2＞y3．
【解析】∵直线y＝x+b与双曲线y=−4x有两个交点，∴x+b=−4x有两个实数解，整理得x2+bx+4＝0，
∵△＝b2﹣4×4＞0，∴b＞4或b＜﹣4，
当反比例函数图象与直线y＝x+b在第二象限相交于P、Q时，直线AB与反比例函数y=−4x相交于C点，如图，当x＝﹣5时，y=−4−5=45，则C（﹣5，45），
当点R在C点下方时，y1＞y2＞y3，即x＝﹣5时，y＜45，∴﹣5+b＜45，解得b＜295，∴b的范围为4＜b＜295，
当反比例函数与直线y＝x+b在第四象限相交于P、Q时，b的范围为b＜﹣4满足y1＞y2＞y3，
综上所述，b的范围为4＜b＜295或b＜﹣4．选D．
【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
变式13 平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）的图象G经过点A（4，1），与直线y=14x+b的图象交于点B，与y轴交于点C．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W．若W内恰有4个整点，结合函数图象，b的取值范围是（ ）
A．−54≤b＜1或74＜b≤114 B．−54≤b＜1或−74＜b≤114
C．−54≤b＜﹣1或−74＜b≤114 D．−54≤b＜﹣1或74＜b≤114
【分析】由于直线BC：y=14x+b与OA平行，分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图根据区域W内恰有4个整点，确定b的取值范围．
【解析】如图1，直线l在OA的下方时，
当直线l：y=14x+b过（0，﹣1）时，b＝﹣1，且经过（4，0）点，区域W内有三点整点，
当直线l：y=14x+b过（1，﹣1）时，b=−54，且经过（5，0），区域W内有三点整点，
∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是−54≤b＜﹣1．如图2，直线l在OA的上方时，
∵点（2，2）在函数y=kx（x＞0）的图象G，
当直线l：y=14x+b过（1，2）时，b=74，当直线l：y=14x+b过（1，3）时，b=114，
∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是74＜b≤114．
综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是−54≤b＜﹣1或74＜b≤114．选D．
【小结】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．
必考点5： 反比例与一次函数综合
例题5 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式kx+b≤mx的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为6，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A（1，4）代入y=mx可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式；
（2）根据图象得出不等式kx+b≤mx的解集即可；
（3）利用面积的和差关系可求解．
【解析】（1）把A（1，4）代入y=mx，得：m＝4，∴反比例函数的解析式为y=4x；
把B（4，n）代入y=4x，得：n＝1，∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，得：k+b=44k+b=1，解得：k=−1b=5，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）根据图象得：当0＜x≤1或x≥4时，kx+b≤mx；∴不等式kx+b≤mx的解集为0＜x≤1或x≥4；
（3）如图，设直线AB与x轴交于点C，
∵直线AB与x轴交于点C，∴点C坐标为（5，0），
∵△ABP的面积为6，∴12×PC×4−12PC×1＝6，∴PC＝4，∴点P的坐标为（1，0）或（9，0）．
【小结】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
变式14 如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．与x轴交于点 C．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点M在x轴上，且△AMC的面积为6，求点M的坐标．
（3）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出满足条件的点P的坐标是 ．
【分析】（1）把A（1，6）代入y=mx即可求出反比例函数的表达式，把B（3，n）代入y=6x即可求出B的坐标，把A、B的坐标代入y＝kx+b，求出a、b，即可求出一次函数的表达式；
（2）根据△AMC的面积为6，求得CM＝2，根据C的坐标即可求得M的坐标；
（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，此时点P是使得PA+PB的值最小的点，由A点的坐标找出点A′的坐标，由待定系数法可求出直线A′B的函数表达式，令x＝0即可得出P点坐标．
【解析】（1）把A（1，6）代入y=mx得：m＝6，即反比例函数的表达式为y=6x，
把B（3，n）代入y=6x得：n＝2，即B的坐标为（3，2），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得：k+b=63k+b=2，解得：k＝﹣2，b＝8，即一次函数的表达式为y＝﹣2x+8；
（2）∵一次函数y＝﹣2x+8与x轴交于点 C，∴C（4，0），
∵A（1，6），点M在x轴上，且△AMC的面积为6，∴CM＝2，∴M（6，0）或（2，0）；
（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，如图所示．
在y轴上任取一点P′（不同于点P），
∵A、A′关于y轴对称，∴AP＝A′P，AP′＝A′P′，
在△P′A′B中，有A′P′+BP′＝AP′+BP′＞A′B＝A′P+BP＝AP+BP，
∴当A′、P、B三点共线时，PA+PB最小．
∵点A的坐标为（1，6），∴点A′的坐标为（﹣1，6）．
设直线A′B的解析式为y＝ax+b，
将点A′（﹣1，6）、点B（3，2）代入到y＝ax+b中，得−a+b=63a+b=2，解得：a=−1b=5，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+5，
令x＝0，则有y＝5．即点P的坐标为（0，5），
【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次不等式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）算出B点的坐标；（2）求得CM＝2；（3）找到P点的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点坐标是关键．
变式15 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数
y2=mx（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；
（3）直接写出不等式kx+b＞mx的解集．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）求得直线y1与y轴的交点即为P点，此时，PB﹣PC＝BC最大，利用勾股定理即可求得最大值；
（3）根据图象即可求得．
【解析】（1）把A（3，5）代入y2=mx（m≠0），可得m＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y2=15x，
把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得3k+b=5−5k+b=3，得k=1b=2，∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，令y＝0，则x＝﹣2，∴C（﹣2，0），
过B点向x轴作垂线，由勾股定理可得：BC=(−5+2)2+32=32；
（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．
【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，根据点的坐标求线段长，熟练数形结合是解题的关键．
变式16 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx（x＞0）的图象在第一象限交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，D．已知A（4，1），CE＝4CD．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求一次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出mx＜kx+b时x的取值范围．
（4）若点M为一次函数图象上的动点，过点M作MN∥y轴，交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点N，连结ME，NE，当△MNE的面积为98时，直接写出点M的横坐标．
【分析】（1）先把A点坐标代入y=mx中求出m得到反比例函数解析式；
（2）证明△CEA∽△CDB，利用相似比求出BD＝1，则利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（3）根据图象即可求得；
（4）设M（x，﹣x+5），则N（x，4x），根据三角形面积公式即可得到12|﹣x+5−4x|•x=98，整理为|﹣x+5−4x|=94x，解得即可．
【解析】（1）把A（4，1）代入y=mx得m＝4×1＝4，∴反比例函数解析式为y=4x；
（2）∵BD⊥y轴，AD⊥y轴，∴AD∥BE，∴△CEA∽△CDB，∴BDAE=CDCE，即BD4=14，∴BE＝1，
当x＝1时，y=4x=4，∴B（1，4），
把A（4，1），B（1，4）代入y＝kx+b得4k+b=1k+b=4，解得k=−1b=5，∴一次函数解析式为y＝﹣x+5；
（3）由图象可知：mx＜kx+b时x的取值范围是1＜x＜4；
（4）设M（x，﹣x+5），则N（x，4x），
∵△MNE的面积为98，∴12|﹣x+5−4x|•x=98，∴|﹣x+5−4x|=94x，
当﹣x+5−5x=94x时，求得x=52，
当﹣x+5−5x=−94x时，求得x=5+322或x=5−322，
∴M的横坐标为52或5+322或5−322．
【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积．
必考点6： 反比例函数的应用
例题6 为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，则3x+2y=192x+y=11，即可求解；
（2）点A（5，10），则反比例函数表达式为y=50x，当x＝55时，y=5055＜1，即可求解．
【解析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，
则3x+2y=192x+y=11，解得x=3y=5，故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；
（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，
当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），
设反比例函数表达式为：y=kx，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，故反比例函数表达式为y=50x，
当x＝55时，y=5055＜1，
故一班学生能安全进入教室．
【小结】本题主要考查反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
变式17 学校的学生专用智能饮水机里水的温度y（℃）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段AB），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（BC为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式．
（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃～45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？
【分析】（1）由点A、B的坐标可以求出AB段的函数表达式，由点B的坐标可以求出BC段函数的表达式；
（2）对于反比例函数y=900x（x≥9），当y＝30时，x＝30，当y＝45时，x＝20，即可求解．
【解析】（1）设直线AB解析式为：y＝kx+b，则100=9k+bb=20，解得：k=809b=20，
∴温度上升段（AB）的解析式为：y=809x+20（x＜9）；
设反比例函数的表达式为：y=kx（x≥9），
将点B（9，100）的坐标代入上式得：100=k9，解得：k＝900，
故温度下降段（BC段）函数表达式：y=900x（x≥9）；
（2）对于反比例函数y=900x（x≥9），
当y＝30时，即y=900x=30，解得：x＝30，同理可得：当y＝45时，x＝20，
水温在30℃～45℃，此时x为20～30分．故大课间30分钟，可以盛到最佳温度水的时间为10分钟，
故有12×10＝120个同学可以盛到最佳温度的水．
【小结】本题主要考查的是反比例函数的运用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，进而求解实际问题．
变式18 实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百亳升）与时间x（时）变化的图象，如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
（1）求部分双曲线AB的函数解析式；
（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：30在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
【分析】（1）首先求得线段OA所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解；
（2）把x＝20代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．
【解析】（1）依题意，直线OA过（14，20），则直线OA的解析式为y＝80x，
当x=32时，y＝120，即A（32，120），
设双曲线的解析式为y=kx，将点A（32，120）代入得：k＝180，∴y=180x（x≥32）；
由y=180x得当y＝20时，x＝9，
从晚上22：30到第二天早上7：00时间间距为8.5小时，
∵8.5＜9，∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
【小结】本题为一次次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．本题难度不大，较易得分．
变式19 饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x＜8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式．
（2）求图中t的值；
（3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少℃？
【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；
（3）利用已知由x＝7代入求出饮水机内水的温度即可．
【解析】（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（0，20）、（8，100）代入y＝kx+b中，b=208k+b=100，解得：k=10b=20，
∴当0≤x≤8时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝10x+20．
（2）当8≤x≤t时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y=mx（m≠0），
将（8，100）代入y=mx中，100=m8，解得：m＝800，
∴当8≤x≤t时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y=800x．
当y=800x=20时，x＝40，∴图中t的值为40．
（3）∵42﹣40＝2≤8，
∴当x＝2时，y＝2×10+20＝40，
答：散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为40℃．
【小结】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．
必考点7： 反比例函数存在性问题（三角形）
例题7 如图，反比例函数y1=kx和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式中，求出点B坐标，最后将点A，B坐标代入直线解析式中，求出m，n，即可得出结论；
（2）分OA＝OP和OA＝AP两种情况：①当OA＝OP时，先求出OA，即可得出结论；
②当OA＝AP时，判断出点A在线段OP的垂直平分线上，利用对称性即可得出结论．
【解析】（1）∵点A（1，3）在反比例函数y1=kx的图象上，∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y1=3x，
∵点B（﹣3，a）在反比例函数y1=3x的图象上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴B（﹣3，﹣1），
∵点A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数y2＝mx+n的图象上，∴m+n=3−3m+n=−1，∴m=1n=2，
∴一次函数的解析式为y2＝x+2；
（2）如图，∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形，∴①当OA＝OP时，
∵A（1，3），∴OA=10，
∵OP=10，∵点P在x轴上，∴P（−10，0）或（10，0），
②当OA＝AP时，则点A是线段OP的垂直平分线上，
∵A（1，3），∴P（2，0），
即：在x轴上存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时，点P的坐标为（−10，0）或（2，0）或（10，0）．
【小结】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
变式20 如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解；
（2）设P（x，0），由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP，AB，BP的长，由勾股定理可求解．
【解析】（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数y=kx，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y=2x；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），设P（x，0），∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC=12|3﹣x|×2＝5，∴x＝﹣2或x＝8，∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；
（3）存在，理由如下：联立y=−x+3y=2x，解得：x1=1y1=2或x1=2y1=1，∴B点坐标为（2，1），
∵点P在y轴上，∴设P（0，m），
∴AB=(1−2)2+(2−1)2=2，AP=(1−0)2+(2−m)2，PB=(2−0)2+(1−m)2，
若BP为斜边，∴BP2＝AB2+AP2 ，
即 ((2−0)2+(1−m)2)2=2+((1−0)2+(2−m)2)2，解得：m＝1，∴P（0，1）；
若AP为斜边，∴AP2＝PB2+AB2 ，
即 ((1−0)2+(2−m)2)2=((2−0)2+(1−m)2)2+2，解得：m＝﹣1，∴P（0，﹣1）；
综上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）．
【小结】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
变式21 如图，关于x的一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A（﹣2，8），B（4，m）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）设一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴的交点分别为M，N，P是x轴上一动点，当以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．
【分析】（1）先把A点坐标代入y=k2x可求出k2的值，从而确定反比例函数解析式；再把B（4，m）代入反比例函数解析式求出m的值，可确定点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先根据一次函数的解析式确定M和N的坐标，根据以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况讨论：①NP＝NM；②MP＝MN；③PN＝PM；前两种直接根据线段的长得出点P的坐标，第三种根据两点的距离列方程可得结论．
【解析】（1）把A（﹣2，8），B（4，m）代入反比例函数y=k2x得：k2＝﹣2×8＝4m，
∴k2＝﹣16，m＝﹣4，所以反比例函数解析式为y=−16x，且B（4，﹣4），
把A（﹣2，8），B（4，﹣4）代入y＝k1x+b得：−2k1+b=84k1+b=−4，解得k1=−2b=4，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x+4；
（2）y＝﹣2x+4，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，﹣2x+4＝0，x＝2，∴N（0，4），ON＝4，M（﹣2，0），OM＝2，
①当NP＝NM时，如图1，
∵ON⊥PM，∴OP＝OM＝2，∴P（﹣2，0）；
②当MP＝MN时，如图2，
由勾股定理得：MN=22+42=25，∴P（2+25，0）或（2﹣25，0）；
③当PN＝PM时，如图3，
∵P是x轴上一动点，∴设P（x，0），
∵PM＝PN，∴x2+42＝（2﹣x）2，∴x＝3，∴P（﹣3，0），
综上，点P的坐标是（﹣2，0）或（2+25，0）或（2﹣25，0）或（﹣3，0）．
【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和等腰三角形的性质和判定，并注意等腰三角形在没确定腰和底边时要分情况讨论，注意利用数形结合的思想．
变式22 如图，函数y=kx（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（85，2n﹣3）两点．
（1）求n和k的值；
（2）将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y=kx（x＞0）于点C，若S△ACO＝6，求直线DE解析式；
（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A、B点坐标代入反比例函数解析式列出n、k的方程组便可求得n、k的值；
（2）由A点坐标求得直线OA的解析式，设C（m，8m），过C作CH⊥x轴与OA交于点H，根据S△ACO＝6，列出m的方程求得C点坐标，由平移性质设直线DE的解析式，再代入C点坐标便可求得结果；
（3）先求出D、E的坐标，再分三种情况：①当∠EDF＝90°，DE＝DF时，②当∠DEF＝90°，DE＝EF时，③当∠DFE＝90°，DF＝EF时，分别构造全等三角形求得F点坐标便可．
【解析】（1）∵函数y=kx（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（85，2n﹣3）两点．
∴2n=k85(2n−3)=k，解得，n=4k=8；
（2）由（1）知，A（4，2），
设直线OA的解析式为y＝ax（a≠0），则2＝4a，∴a=12，∴直线OA的解析式为：y=12x，
由（1）知反比例函数的解析式为：y=8x，
设C（m，8m），过C作CH⊥x轴与OA交于点H，如图1，
则H（m，12m），∴CH=8m−12m，
∵S△ACO＝6，∴12(8m−12m)×4=6，解得，m＝﹣8（舍），或m＝2，∴C（2，4），
∵将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，∴设直线DE的解析式为：y=12x+c，
把C（2，4）代入y=12x+c中，得4＝1+c，解得，c＝3，∴直线DE的解析式为：y=12x+3；
（3）令x＝0，得y=12x+3＝3，
令y＝0，得y=12x+3＝0，解得x＝﹣6，∴D（﹣6，0），E（0，3），
①当∠EDF＝90°，DE＝DF时，如图2，过F作FG⊥x轴于点G，
∵∠ODE+∠FDG＝∠ODE+∠OED＝90°，∴∠OED＝∠GDF，
∵∠DOE＝∠FGD＝90°，DE＝FD，∴△ODE≌△GFD（AAS），
∴DG＝0E＝3，FG＝DO＝6，∴F（﹣9，6）；
②当∠DEF＝90°，DE＝EF时，如图3，过F作FG⊥y轴于点G，
∵∠ODE+∠DEO＝∠GEF+∠OED＝90°，∴∠ODE＝∠GEF，
∵∠DOE＝∠FGE＝90°，DE＝EF，∴△ODE≌△GEF（AAS），
∴EG＝DO＝6，FG＝EO＝3，∴F（﹣3，9）；
③当∠DFE＝90°，DF＝EF时，如图4，过点F作FG⊥x轴于点G，作FH⊥y轴于点H，
∴∠DFE＝∠GFH＝90°，∴∠DFG＝∠EFH，
∵∠DGF＝∠EHF＝90°，DF＝EF，∴△DGF≌△EHF（AAS），∴GF＝HF，DG＝EH，
∵∠FGO＝∠GOH＝∠OHF＝90°，∴四边形OGFH为正方形，
∴OG＝OH，即6﹣DG＝3+EH，∴DG＝EH=32，∴OG＝OH=92，∴F(92，92)；
综上，第二象限内存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，其F点的坐标为（﹣9，6）或（﹣3，9）或（92，92）．
【小结】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积，平移的性质，一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，第（3）题的关键在于构造全等三角形和分情况讨论．
必考点8： 反比例函数存在性问题（四边形）
例题8 已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为（2，4），反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，顺次连接O，D，E．
（1）求线段DE的长；
（2）在线段OD上存在一点M，当△MOE的面积等于34时，求点M的坐标；
（3）平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出DE的长；
（2）根据D坐标确定出直线OD与直线OE解析式，过点M作MN∥y轴交OE于点N，设M（t，4t），N（t，t），三角形MOE面积＝三角形NOM面积+三角形MNE面积，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标；
（3）根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出N的坐标即可．
【解析】（1）∵点B的坐标为（2，4），D为AB中点，∴D（1，4），∴反比例函数解析式为y=4x，
把x＝2代入得：y＝2，即E（2，2），则DE=(2−1)2+(2−4)2=5；
（2）由D（1，4），得到直线OD解析式为y＝4x，由E（2，2），得到直线OE解析式为y＝x，
过点M作MN∥y轴交OE于点N，
设M（t，4t），则N（t，t），
S△MOE＝S△OMN+S△MNE=12t（4t﹣t）+12（2﹣t）（4t﹣t）=12×2•3t＝3t，∴3t=34，
解得：t=14，则点M坐标为（14，1）；
（3）由题意得：O（0，0），D（1，4），E（2，2），设N（x，y），
分三种情况考虑：当四边形ON1ED为平行四边形时，可得0+2＝1+x，0+2＝4+y，
解得：x＝1，y＝﹣2，即N1（1，﹣2）；
当四边形OEDN2为平行四边形时，可得0+1＝2+x，0+4＝2+y，解得：x＝﹣1，y＝2，即N2（﹣1，2）；
当四边形OEN3D为平行四边形时，可得1+2＝0+x，4+2＝0+y，解得：x＝3，y＝6，即N3（3，6），
综上，N的坐标为（1，﹣2），（﹣1，2），（3，6）．
【小结】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，以及三角形，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
变式23 如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y=kx（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO=38S矩形OABC．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m（m＞0），根据S△PCO=38S矩形OABC，构建方程即可解决问题；
（2）过点（3，0），作直线l⊥x轴．由（1）知，点P的横坐标为3，推出点P在直线l上，作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝6，连接CO′交直线l于点P，此时PO+PC的值最小；
（3）分两种情形：当四边形CBQP是菱形时；当四边形CBPQ是菱形时．分别求解即可解决问题．
【解析】（1）∵四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，∴点B的坐标为（4，3），
∵点B在反比例函数y=kx（k≠0）的第一象限内的图象上，∴k＝12，，∴y=12x，
设点P的纵坐标为m（m＞0），
∵S△PCO=38S矩形OABC．∴12•OC•m=38OA•OC，∴m＝3，
当点，P在这个反比例函数图象上时，则P点的纵坐标为y=123=4，∴点P的坐标为（3，4）；
（2）过点（3，0），作直线l⊥x轴．
由（1）知，点P的横坐标为3，∴点P在直线l上，作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝6，
连接CO′交直线l于点P，此时PO+PC的值最小，则PO+PC的最小值＝PO′+PC＝O′C=32+62=35．
（3）分两种情况：
①如图2中，当四边形CBQP是菱形时，易知BC＝CP＝PQ＝BQ＝4，P1（3，3−7），P2（3，3+7），
∴Q1（7，3−7），Q2（7，3+7）；
．
②如图3中，当四边形CBPQ是菱形时，P3（3，3−15），P4（3，3+15），
∴Q3（﹣1，3−15），Q4（﹣1，3+15）．
综上所述，点Q的坐标为Q1（7，3−7），Q2（7，3+7），P3（3，3−15），P4（3，3+15）．
【小结】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题等知识，解题关键是灵活运用所学知识，学会理由轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题．
变式24 如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数y=kx的图象过点A．
（1）求k的值．
（2）点P为反比例图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．
（3）点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A坐标，代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由正方形的性质可求解；
（3）由平行四边形的面积为14，可求点Q坐标，再分AB为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
【解析】（1）∵OC＝2，OB＝6，∴点C（2，0），点B（0，6），点A（2，6），
∵反比例函数y=kx的图象过点A，∴k＝2×6＝12；
（2）∵k＝12，∴反比例函数解析式为：y=12x，
设点P（a，12a），
∵四边形PDCE是正方形，∴PD＝PE，
当点P在第一象限时，∴12a=a﹣2，∴a1=13+1，a2＝1−13（舍去）∴点P（13+1，13−1）；
当点P在第三象限，∴−12a=2﹣a，∴a1=13+1（舍去），a2＝1−13，∴点P（1−13，﹣1−13）；
综上所述：点P坐标为（13+1，13−1）或（1−13，﹣1−13）；
（2）设点Q坐标为（b，12b），
若AB为边，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14，∴2×|6−12b|＝14，∴b1＝﹣12，b2=1213，
∴点Q（﹣12，﹣1）或（1213，13），
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，∴AB＝QG＝2，AB∥QG，
∴点G（﹣10，﹣1）或（﹣14，﹣1）或（3813，13）或（−1413，13）；
若AB为对角线，
设点G（x，y），
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，∴AB与QG互相平分，
∴2+02=−12+x2，6+62=−1+y2 或2+02=1213+x2，6+62=13+y2，
∴x1＝14，y1＝13，或x2=1413，y2＝﹣1，∴点G（14，13）或（1413，﹣1），
综上：点G坐标为（﹣10，﹣1）或（﹣14，﹣1）或（3813，13）或（−1413，13）或（14，13）或（1413，﹣1）．
【小结】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
变式25 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），点B、C在第三象限内．
（1）点B的坐标 ；
（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点B作BE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，证明△ADF≌△BAE得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；
（2）先用t表示B′和D′点的坐标，再根据“B'、D'正好落在某反比例函数的图象上”得B′和D′点的的横、纵坐标的积相等，列出t的方程求得t，进而求得反比例函数的解析式；
（3）分各种情况：BD为平行四边形的边，BD为平行四边形的对角线．分别解答问题．
【解析】（1）过点B作BE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，如图1，则∠AFD＝∠AEB＝90°，
∵点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），∴DF＝3，AF＝1，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠DAF+∠BAE＝∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠BAE，∴△ADF≌△BAE（AAS），
∴DF＝AE＝3，AF＝BE＝1，∴OE＝OA﹣AE＝6﹣3＝3，∴B（﹣1，﹣3），
（2）根据题意得，B′（﹣1，﹣3+2t），D′（﹣3，﹣7+2t），
设经过B'、D'的反比例函数解析式为：y=kx(k≠0)，
∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝﹣3（﹣7+2t），解得，t=92，∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝3﹣9＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为：y=−6x；
（3）设P（n，0），由（2）知B′（﹣1，6），D′（﹣3，2），
①当B'D'为平行四边形的边时，则B′D′∥QP，B′D′＝QP，∴Q（n+2，4）或（n﹣2，﹣4），
把Q（n+2，4）代入y=−6x中，得，4（n+2）＝﹣6，解得，n=−72，∴Q（−32，4），
把Q（n﹣2，﹣4），代入y=−6x中，得，﹣4（n﹣2）＝﹣6，解得，n=72，∴Q（32，﹣4）；
②当B'D'为对角线时，则B'D'的中点坐标为（﹣2，4），∴PQ的中点坐标为（﹣2，4），∴Q（﹣4﹣n，8），
把Q点坐标代入y=−6x中，得，8（﹣n﹣4）＝﹣6，解得，n=−134，∴Q（−34，8），
综上，存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为（−32，4）或（32，﹣4）或（−34，8）．
【小结】本题是反比例函数与正方形结合的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，关键是证明全等三角形和分情况讨论．
如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上一点，B是y轴正半轴上一点，以OA、AB为邻边作▱ABCO．若点C及BC中点D都在反比例函数y=−4x（x＜0）图象上，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】设点C坐标为（a，−4a），点A（x，y），由中点坐标公式可求点D，点B坐标，由平行四边形的性质可得AC与BO互相平分，由中点坐标公式可求点A坐标，即可求解．
【解析】设点C坐标为（a，−4a），点A（x，y），
∵点D是BC的中点，∴点D的横坐标为a2，∴点D坐标为（a2，−8a），∴点B的坐标为（0，−12a），
∵四边形ABCO是平行四边形，∴AC与BO互相平分，
∴0+02=a+x2，−4a+y2=−12a+02，∴x＝﹣a，y=−8a，
∴点A（﹣a，−8a），∴k＝（﹣a）×（−8a）＝8，选B．
【小结】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，中点坐标计算公式，解题的关键是利用参数表示点的坐标
变式1 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AB∥x轴，CD与y轴交于点E，反比例函数y=kx（x＞0）图象经过顶点B、C，已知点B的横坐标为5，AE＝2CE，则点C的坐标为（ ）
A．（2，203） B．（2，83） C．（3，203） D．（3，83）
【分析】如图，过点C作CF⊥AB于点F，根据菱形的性质得到AB＝BC，CD∥AB，根据矩形的性质得到AE＝CF，CE＝AF，求得AB＝BC＝5，CF＝2CE，BF＝5﹣CE，根据勾股定理得到CF＝AE＝4，设点B（5，m），点C（2，m+4），列方程即可得到结论．
【解析】如图，过点C作CF⊥AB于点F，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，CD∥AB，
∵∠CEA＝90°，∴∠EAB＝90°，且∠CEA＝90°，CF⊥AB，
∴四边形CEAF是矩形，∴AE＝CF，CE＝AF，
∵点B的横坐标为5，AE＝2CE，∴AB＝BC＝5，CF＝2CE，BF＝5﹣CE，
∵BC2＝CF2+BF2，∴25＝4CE2+（5﹣CE）2，∴CE＝2，∴CF＝AE＝4，
设点B（5，m），点C（2，m+4），
∵反比例函数y=kx图象过点C，B，∴5m＝2×（m+4），∴m=83，∴点C（2，203），选A．
【小结】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出CE的长度是本题的关键．
变式2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣42 C．42 D．﹣21
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
【解析】∵当x＝0时，y＝0+4＝4，∴A（0，4），∴OA＝4；
∵当y＝0时，0=43x+4，∴x＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴OB＝3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．
在△AOB和△BEC中，∠CBE=∠BAO∠BEC=∠AOBBC=AB，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝3+4＝7，∴C点坐标为（﹣7，3），
∵点A在反比例函数y=kx(x＜0)的图象上，∴k＝﹣7×3＝﹣21．选D．
【小结】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
必考点1： 反比例函数系数k的几何意义（面积）
反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
例题1 如图，两个反比例函数y=4x和y=2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【分析】根据反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA=12×4＝2，S△BOA=12×2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．
【解析】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA=12×4＝2，S△BOA=12×2＝1，∴S△POB＝2﹣1＝1．选A
【小结】本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
如图直线y＝mx与双曲线y=kx交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM＝2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．
【解析】由题意得：S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM=12|k|＝1，
则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．选B．
【小结】本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
变式3 如图，点A与点B分别在函数y=k1x(k1＞0)与y=k2x(k2＜0)的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】设A（a，b），B（﹣a，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝﹣ad，根据三角形的面积公式求出ad+ad＝4，即可得出答案．
【解析】作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，∴AC∥BD∥y轴，
∵M是AB的中点，∴OC＝OD，
设A（a，b），B（﹣a，d），代入得：k1＝ab，k2＝﹣ad，
∵S△AOB＝2，∴12（b+d）•2a−12ab−12ad＝2，∴ab+ad＝4，∴k1﹣k2＝4，选C．
【小结】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出ab+ad＝4是解此题的关键．
变式4 如图，是反比例函数y=k1x和y=k2x（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为 ．
【分析】设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝cd，根据三角形的面积公式求出cd﹣ab＝4，即可得出答案．
【解析】设A（a，b），B（c，d），代入得：k1＝ab，k2＝cd，
∵S△AOB＝2，∴12cd−12ab＝2，∴cd﹣ab＝4，∴k2﹣k1＝4，
【小结】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd﹣ab＝4是解此题的关键．
必考点2： 反比例函数系数k的几何意义（规律题）
反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
例题2 如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…An，…作x轴的垂线交反比例函数y=1x（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn．则S1+S2+S3+…+S20＝ ．
【分析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A19A20＝1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…B20点的坐标为（20，y20），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…S20的值，故可得出结论．
【解析】∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn），
∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，∴y1＝1，y2=12，y3=13，…yn=1n，
∴S1=12×1×（y1﹣y2）=12×1×（1−12）=12（1−12）；
∴S2=12×1×（y2﹣y3）=12×（12−13）；
∴S3=12×1×（y3﹣y4）=12×（13−14），
…
∴S20=12×（y20﹣y21）=12×（120−121）=1840，
∴∴S1+S2+S3+…+S20=12（1−12+12−13+13−14+⋯+120−120+1）=202(1+20)=2042=1021，
【小结】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
变式5 【变式6-1】（2019•蜀山区一模）如图，点B在反比例函数y=2X（x＞0）的图象上，过点B分别与x轴和y轴的垂线，垂足分别是C0和A，点C0的坐标为（1，0），取x轴上一点C1（32，0），过点C1作x轴的垂线交反比例函数图象于点B1，过点B1作线段B1A1⊥BC0交于点A1，得到矩形A1B1C1C0，依次在x轴上取点C2 （2，0），C3（52，0）…，按此规律作矩形，则矩形AnBn∁nCn﹣1（n为正整数）的面积为 ．
【分析】第1个矩形的面积=43×(32−1)=23，第2个矩形的面积=(2−32)×1=12，…于是得到第n个矩形的面积=12×2+2n+2=2n+2．
【解析】第1个矩形的面积=43×(32−1)=23=21+2，
第2个矩形的面积=(2−32)×1=12=22+2，
…
第n个矩形的面积=12×2+2n+2=2n+2．
∴矩形AnBn∁nCn﹣1（n为正整数）的面积为2n+2
故答案为：2n+2
【小结】本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
变式6 如图，在反比例函数的图象y=4x（x＞0）上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+…+Sn＝ ．
【分析】易求得P1的坐标得到矩形P1AOB的面积；而把所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和就等于矩形P1ACB的面积，即可得到答案．
【解析】如图，过点P1、点Pn作y轴的垂线段，垂足分别是点B、点C，过点P1作x轴的垂线段，垂足是点E，P1E交CPn于点A，
则点A的纵坐标等于点Pn的纵坐标等于42n，AC＝2，AE=42n，
故S1+S2+S3+…+Sn＝S矩形P1EOB﹣S矩形AEOC＝2×42−2×42(n+1)=4−4n+1．
故答案为4−4n+1．
【小结】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，也考查了图形的平移以及矩形的性质，难度适中．
变式7 如图，已知反比例函数y=1x的图象，当x取1，2，3，…n时，对应在反比例图象上的点分别为M1、M2、M3…Mn，则S△P1M1M2+S△P2M2M3+…S△Pn﹣1Mn﹣1Mn＝ ．
【分析】先确定M1（1，1），M2（2，12），M3（3，13），…，Mn（n，1n），再根据三角形面积公式得到S△P1M1M2=12×1×（1−12），S△P2M2M3=12×1×（12−13），…，S△Pn﹣1Mn﹣1Mn=12×1×（1n+1−1n），然后把它们相加
【解析】∵M1（1，1），M2（2，12），M3（3，13），…，Mn（n，1n），
∴S△P1M1M2=12×1×（1−12），S△P2M2M3=12×1×（12−13），…，S△Pn﹣1Mn﹣1Mn=12×1×（1n−1−1n），
∴S△P1M1M2+S△P2M2M3+⋯+S△Pn−1Mn−1Mn=12×1×（1−12）+12×1×（12−13）+⋯+12×1×（1n−1−1n）
=12（1−12+12−13+⋯+1n−1−1n）
=12•n−1n
=n−12n．
【小结】本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．
必考点3： 待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
例题3 已知反比例函数y=kx（k≠0），当x＝﹣3时，y=43．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当y＝﹣4时，求自变量x的值．
【分析】（1）将x＝﹣3，y=43代入y=kx（k≠0），即利用待定系数法求该函数的解析式；
（2）将y＝﹣4代入（1）中的反比例函数解析式，求x值即可．
【解析】（1）根据题意，得43=−k3，解得，k＝﹣4；∴该反比例函数的解析式是y=−4x；
（2）由（1）知，该反比例函数的解析式是y=−4x，
∴当y＝﹣4时，﹣4=−4x，即x＝1．
【小结】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．在解答该题时，还借用了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
变式8 已知y与x﹣1成反比例，且当x＝4时，y＝1．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）判断点（﹣2，﹣1）是否在该函数图象上．
【分析】（1）根据题意可以设出函数关系式，把x和y的对应值代入函数解析式，通过方程即可求得k的值；
（2）然后把x＝﹣2代入所求得的函数解析式，得到相应的y的值即可判断．
【解析】（1）设y=kx−1，把x＝4，y＝1代入y=kx−1得1=k4−1，解得k＝3，
∴y与x的函数关系式y=3x−1；
（2）把 x＝﹣2代入y=3x−1得，y＝﹣1，
∴点（﹣2，﹣1）在该函数的图象上．
【小结】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
变式9 已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1．
（1）y与x的函数表达式；
（2）当x＝﹣1时，求y的值．
【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求得比例系数即可求得其解析式；
（2）代入x的值即可求得函数值．
【解析】（1）设y1=ax，y2＝b（x﹣2），则y=ax−b（x﹣2），
根据题意得a3−b(3−2)=5a1−b(1−2)=−1，解得a=3b=−4，所以y关于x的函数关系式为y=3x+4（x﹣2）；
（2）把x＝﹣1代入y=3x+4（x﹣2）；
得y＝﹣3+4×（﹣1﹣2）＝﹣15．
【小结】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝xk（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．
变式10 已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x+1成反比例，当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝2．求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【分析】直接利用根据正比例函数和反比例函数的定义，假设出y与x之间的关系，进而把已知数据代入得出答案．
【解析】∵y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x+1成反比例，
∴设y1＝kx2，y2=ax+1，∴y＝kx2+ax+1，
∵当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝2，∴2=a2=k+a2，解得：a=2k=1，故y＝x2+2x+1（x≠﹣1）．
【小结】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出函数关系式是解题关键．
必考点4： 反比例函数与一次函数交点问题
例题4 如图，等腰直角△ABC位于第二象限，BC＝AC＝2，直角顶点C在直线y＝﹣x上，且点C的横坐标为﹣3，边BC，AC分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=kx与△ABC的边AB有2个公共点，则k的取值范围为 ．
【分析】由题意C（﹣3，3），A（﹣3，1），B（﹣1，3），直线OC与AB的交点坐标为E（﹣2，2），反比例函数图象经过A或B时，k＝﹣3，反比例函数图象经过点E时，k＝﹣4，观察图象即可解决问题．
【解析】由题意C（﹣3，3），A（﹣3，1），B（﹣1，3），
直线OC与AB的交点坐标为E（﹣2，2），
反比例函数图象经过A或B时，k＝﹣3，
反比例函数图象经过点E时，k＝﹣4，
观察图象可知，双曲线y=kx与△ABC的边AB有2个公共点，则k的取值范围为﹣4＜k≤﹣3．
【小结】本题考查反比例函数与一次函数的图象的交点问题、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
变式11 如图，直线y＝1与反比例函数y=kx（x＜0），y=2x（x＞0）的图象分别交于点A和点B，线段AB的长是8，若直线y＝n（x+2）（n≠0）与y=2x（x＞0）的图象有交点，与y=kx（x＜0）无交点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣6＜n＜0 B．0＜n＜6
C．﹣6＜n＜0或0＜n＜6 D．0＜n＜2
【分析】先确定B（2，1），再确定A点的坐标为（﹣6，1），接着求出反比例函数解析式为y=−6x，结合图象，当n＜0时，不合题意，当n＞0时，直线y＝nx+2n与y=2x（x＞0）有交点，要满足直线y＝nx+2n与y=kx（x＜0）无交点，方程nx+2n=−6x无解，方程化为nx2+2nx+6＝0，利用判别式的意义得到△＝4n2﹣4n×6＜0，解不等式得到n的范围．
【解析】当y＝1时，2x=1，解得x＝2，则B（2，1），
∵线段AB的长是8，∴A点的坐标为（﹣6，1），
∵A点（﹣6，1）在反比例函数y=kx的图象上，∴k＝﹣6×1＝﹣6，∴反比例函数解析式为y=−6x，
当n＜0时，直线y＝nx+2n与y=kx（x＜0）有交点，不合题意，
当n＞0时，直线y＝nx+2n与y=2x（x＞0）有交点，
此时当方程nx+2n=−6x无解时，直线y＝nx+2n与y=kx（x＜0）无交点，
方程整理得nx2+2nx+6＝0，
∴△＝4n2﹣4n×6＜0，解得n＜6，
∴满足条件的n的范围为0＜n＜6．选B．
【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
变式12 在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣5，0）作垂直于x轴的直线AB，直线y＝x+b与双曲线y=−4x相交于点P（x1，y1）、Q（x2，y2），与直线AB相交于点R（x3，y3）．若y1＞y2＞y3时，则b的取值范围是（ ）
A．b＞4 B．b＞4或b＜﹣4
C．−295＜b＜﹣4或b＞4 D．4＜b＜295或b＜﹣4
【分析】先利用直线y＝x+b与双曲线y=−4x有两个交点和判别式的意义得到b＞4或b＜﹣4，讨论：当反比例函数图象与直线y＝x+b在第二象限相交于P、Q时，直线AB与反比例函数y=−4x相交于C点，如图，C（﹣5，45），利用点R在C点下方得到﹣5+b＜45，此时b的范围为4＜b＜295，当反比例函数与直线y＝x+b在第四象限相交于P、Q时，b的范围为b＜﹣4满足y1＞y2＞y3．
【解析】∵直线y＝x+b与双曲线y=−4x有两个交点，∴x+b=−4x有两个实数解，整理得x2+bx+4＝0，
∵△＝b2﹣4×4＞0，∴b＞4或b＜﹣4，
当反比例函数图象与直线y＝x+b在第二象限相交于P、Q时，直线AB与反比例函数y=−4x相交于C点，如图，当x＝﹣5时，y=−4−5=45，则C（﹣5，45），
当点R在C点下方时，y1＞y2＞y3，即x＝﹣5时，y＜45，∴﹣5+b＜45，解得b＜295，∴b的范围为4＜b＜295，
当反比例函数与直线y＝x+b在第四象限相交于P、Q时，b的范围为b＜﹣4满足y1＞y2＞y3，
综上所述，b的范围为4＜b＜295或b＜﹣4．选D．
【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
变式13 平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）的图象G经过点A（4，1），与直线y=14x+b的图象交于点B，与y轴交于点C．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W．若W内恰有4个整点，结合函数图象，b的取值范围是（ ）
A．−54≤b＜1或74＜b≤114 B．−54≤b＜1或−74＜b≤114
C．−54≤b＜﹣1或−74＜b≤114 D．−54≤b＜﹣1或74＜b≤114
【分析】由于直线BC：y=14x+b与OA平行，分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图根据区域W内恰有4个整点，确定b的取值范围．
【解析】如图1，直线l在OA的下方时，
当直线l：y=14x+b过（0，﹣1）时，b＝﹣1，且经过（4，0）点，区域W内有三点整点，
当直线l：y=14x+b过（1，﹣1）时，b=−54，且经过（5，0），区域W内有三点整点，
∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是−54≤b＜﹣1．如图2，直线l在OA的上方时，
∵点（2，2）在函数y=kx（x＞0）的图象G，
当直线l：y=14x+b过（1，2）时，b=74，当直线l：y=14x+b过（1，3）时，b=114，
∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是74＜b≤114．
综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是−54≤b＜﹣1或74＜b≤114．选D．
【小结】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．
必考点5： 反比例与一次函数综合
例题5 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式kx+b≤mx的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为6，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A（1，4）代入y=mx可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式；
（2）根据图象得出不等式kx+b≤mx的解集即可；
（3）利用面积的和差关系可求解．
【解析】（1）把A（1，4）代入y=mx，得：m＝4，∴反比例函数的解析式为y=4x；
把B（4，n）代入y=4x，得：n＝1，∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，得：k+b=44k+b=1，解得：k=−1b=5，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）根据图象得：当0＜x≤1或x≥4时，kx+b≤mx；∴不等式kx+b≤mx的解集为0＜x≤1或x≥4；
（3）如图，设直线AB与x轴交于点C，
∵直线AB与x轴交于点C，∴点C坐标为（5，0），
∵△ABP的面积为6，∴12×PC×4−12PC×1＝6，∴PC＝4，∴点P的坐标为（1，0）或（9，0）．
【小结】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
变式14 如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．与x轴交于点 C．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点M在x轴上，且△AMC的面积为6，求点M的坐标．
（3）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出满足条件的点P的坐标是 ．
【分析】（1）把A（1，6）代入y=mx即可求出反比例函数的表达式，把B（3，n）代入y=6x即可求出B的坐标，把A、B的坐标代入y＝kx+b，求出a、b，即可求出一次函数的表达式；
（2）根据△AMC的面积为6，求得CM＝2，根据C的坐标即可求得M的坐标；
（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，此时点P是使得PA+PB的值最小的点，由A点的坐标找出点A′的坐标，由待定系数法可求出直线A′B的函数表达式，令x＝0即可得出P点坐标．
【解析】（1）把A（1，6）代入y=mx得：m＝6，即反比例函数的表达式为y=6x，
把B（3，n）代入y=6x得：n＝2，即B的坐标为（3，2），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得：k+b=63k+b=2，解得：k＝﹣2，b＝8，即一次函数的表达式为y＝﹣2x+8；
（2）∵一次函数y＝﹣2x+8与x轴交于点 C，∴C（4，0），
∵A（1，6），点M在x轴上，且△AMC的面积为6，∴CM＝2，∴M（6，0）或（2，0）；
（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，如图所示．
在y轴上任取一点P′（不同于点P），
∵A、A′关于y轴对称，∴AP＝A′P，AP′＝A′P′，
在△P′A′B中，有A′P′+BP′＝AP′+BP′＞A′B＝A′P+BP＝AP+BP，
∴当A′、P、B三点共线时，PA+PB最小．
∵点A的坐标为（1，6），∴点A′的坐标为（﹣1，6）．
设直线A′B的解析式为y＝ax+b，
将点A′（﹣1，6）、点B（3，2）代入到y＝ax+b中，得−a+b=63a+b=2，解得：a=−1b=5，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+5，
令x＝0，则有y＝5．即点P的坐标为（0，5），
【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次不等式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）算出B点的坐标；（2）求得CM＝2；（3）找到P点的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点坐标是关键．
变式15 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数
y2=mx（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；
（3）直接写出不等式kx+b＞mx的解集．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）求得直线y1与y轴的交点即为P点，此时，PB﹣PC＝BC最大，利用勾股定理即可求得最大值；
（3）根据图象即可求得．
【解析】（1）把A（3，5）代入y2=mx（m≠0），可得m＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y2=15x，
把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得3k+b=5−5k+b=3，得k=1b=2，∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，令y＝0，则x＝﹣2，∴C（﹣2，0），
过B点向x轴作垂线，由勾股定理可得：BC=(−5+2)2+32=32；
（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．
【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，根据点的坐标求线段长，熟练数形结合是解题的关键．
变式16 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx（x＞0）的图象在第一象限交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，D．已知A（4，1），CE＝4CD．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求一次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出mx＜kx+b时x的取值范围．
（4）若点M为一次函数图象上的动点，过点M作MN∥y轴，交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点N，连结ME，NE，当△MNE的面积为98时，直接写出点M的横坐标．
【分析】（1）先把A点坐标代入y=mx中求出m得到反比例函数解析式；
（2）证明△CEA∽△CDB，利用相似比求出BD＝1，则利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（3）根据图象即可求得；
（4）设M（x，﹣x+5），则N（x，4x），根据三角形面积公式即可得到12|﹣x+5−4x|•x=98，整理为|﹣x+5−4x|=94x，解得即可．
【解析】（1）把A（4，1）代入y=mx得m＝4×1＝4，∴反比例函数解析式为y=4x；
（2）∵BD⊥y轴，AD⊥y轴，∴AD∥BE，∴△CEA∽△CDB，∴BDAE=CDCE，即BD4=14，∴BE＝1，
当x＝1时，y=4x=4，∴B（1，4），
把A（4，1），B（1，4）代入y＝kx+b得4k+b=1k+b=4，解得k=−1b=5，∴一次函数解析式为y＝﹣x+5；
（3）由图象可知：mx＜kx+b时x的取值范围是1＜x＜4；
（4）设M（x，﹣x+5），则N（x，4x），
∵△MNE的面积为98，∴12|﹣x+5−4x|•x=98，∴|﹣x+5−4x|=94x，
当﹣x+5−5x=94x时，求得x=52，
当﹣x+5−5x=−94x时，求得x=5+322或x=5−322，
∴M的横坐标为52或5+322或5−322．
【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积．
必考点6： 反比例函数的应用
例题6 为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，则3x+2y=192x+y=11，即可求解；
（2）点A（5，10），则反比例函数表达式为y=50x，当x＝55时，y=5055＜1，即可求解．
【解析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，
则3x+2y=192x+y=11，解得x=3y=5，故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；
（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，
当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），
设反比例函数表达式为：y=kx，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，故反比例函数表达式为y=50x，
当x＝55时，y=5055＜1，
故一班学生能安全进入教室．
【小结】本题主要考查反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
变式17 学校的学生专用智能饮水机里水的温度y（℃）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段AB），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（BC为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式．
（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃～45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？
【分析】（1）由点A、B的坐标可以求出AB段的函数表达式，由点B的坐标可以求出BC段函数的表达式；
（2）对于反比例函数y=900x（x≥9），当y＝30时，x＝30，当y＝45时，x＝20，即可求解．
【解析】（1）设直线AB解析式为：y＝kx+b，则100=9k+bb=20，解得：k=809b=20，
∴温度上升段（AB）的解析式为：y=809x+20（x＜9）；
设反比例函数的表达式为：y=kx（x≥9），
将点B（9，100）的坐标代入上式得：100=k9，解得：k＝900，
故温度下降段（BC段）函数表达式：y=900x（x≥9）；
（2）对于反比例函数y=900x（x≥9），
当y＝30时，即y=900x=30，解得：x＝30，同理可得：当y＝45时，x＝20，
水温在30℃～45℃，此时x为20～30分．故大课间30分钟，可以盛到最佳温度水的时间为10分钟，
故有12×10＝120个同学可以盛到最佳温度的水．
【小结】本题主要考查的是反比例函数的运用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，进而求解实际问题．
变式18 实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百亳升）与时间x（时）变化的图象，如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
（1）求部分双曲线AB的函数解析式；
（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：30在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
【分析】（1）首先求得线段OA所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解；
（2）把x＝20代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．
【解析】（1）依题意，直线OA过（14，20），则直线OA的解析式为y＝80x，
当x=32时，y＝120，即A（32，120），
设双曲线的解析式为y=kx，将点A（32，120）代入得：k＝180，∴y=180x（x≥32）；
由y=180x得当y＝20时，x＝9，
从晚上22：30到第二天早上7：00时间间距为8.5小时，
∵8.5＜9，∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
【小结】本题为一次次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．本题难度不大，较易得分．
变式19 饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x＜8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式．
（2）求图中t的值；
（3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少℃？
【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；
（3）利用已知由x＝7代入求出饮水机内水的温度即可．
【解析】（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（0，20）、（8，100）代入y＝kx+b中，b=208k+b=100，解得：k=10b=20，
∴当0≤x≤8时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝10x+20．
（2）当8≤x≤t时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y=mx（m≠0），
将（8，100）代入y=mx中，100=m8，解得：m＝800，
∴当8≤x≤t时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y=800x．
当y=800x=20时，x＝40，∴图中t的值为40．
（3）∵42﹣40＝2≤8，
∴当x＝2时，y＝2×10+20＝40，
答：散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为40℃．
【小结】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．
必考点7： 反比例函数存在性问题（三角形）
例题7 如图，反比例函数y1=kx和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式中，求出点B坐标，最后将点A，B坐标代入直线解析式中，求出m，n，即可得出结论；
（2）分OA＝OP和OA＝AP两种情况：①当OA＝OP时，先求出OA，即可得出结论；
②当OA＝AP时，判断出点A在线段OP的垂直平分线上，利用对称性即可得出结论．
【解析】（1）∵点A（1，3）在反比例函数y1=kx的图象上，∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y1=3x，
∵点B（﹣3，a）在反比例函数y1=3x的图象上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴B（﹣3，﹣1），
∵点A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数y2＝mx+n的图象上，∴m+n=3−3m+n=−1，∴m=1n=2，
∴一次函数的解析式为y2＝x+2；
（2）如图，∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形，∴①当OA＝OP时，
∵A（1，3），∴OA=10，
∵OP=10，∵点P在x轴上，∴P（−10，0）或（10，0），
②当OA＝AP时，则点A是线段OP的垂直平分线上，
∵A（1，3），∴P（2，0），
即：在x轴上存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时，点P的坐标为（−10，0）或（2，0）或（10，0）．
【小结】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
变式20 如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解；
（2）设P（x，0），由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP，AB，BP的长，由勾股定理可求解．
【解析】（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数y=kx，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y=2x；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），设P（x，0），∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC=12|3﹣x|×2＝5，∴x＝﹣2或x＝8，∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；
（3）存在，理由如下：联立y=−x+3y=2x，解得：x1=1y1=2或x1=2y1=1，∴B点坐标为（2，1），
∵点P在y轴上，∴设P（0，m），
∴AB=(1−2)2+(2−1)2=2，AP=(1−0)2+(2−m)2，PB=(2−0)2+(1−m)2，
若BP为斜边，∴BP2＝AB2+AP2 ，
即 ((2−0)2+(1−m)2)2=2+((1−0)2+(2−m)2)2，解得：m＝1，∴P（0，1）；
若AP为斜边，∴AP2＝PB2+AB2 ，
即 ((1−0)2+(2−m)2)2=((2−0)2+(1−m)2)2+2，解得：m＝﹣1，∴P（0，﹣1）；
综上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）．
【小结】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
变式21 如图，关于x的一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A（﹣2，8），B（4，m）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）设一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴的交点分别为M，N，P是x轴上一动点，当以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．
【分析】（1）先把A点坐标代入y=k2x可求出k2的值，从而确定反比例函数解析式；再把B（4，m）代入反比例函数解析式求出m的值，可确定点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先根据一次函数的解析式确定M和N的坐标，根据以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况讨论：①NP＝NM；②MP＝MN；③PN＝PM；前两种直接根据线段的长得出点P的坐标，第三种根据两点的距离列方程可得结论．
【解析】（1）把A（﹣2，8），B（4，m）代入反比例函数y=k2x得：k2＝﹣2×8＝4m，
∴k2＝﹣16，m＝﹣4，所以反比例函数解析式为y=−16x，且B（4，﹣4），
把A（﹣2，8），B（4，﹣4）代入y＝k1x+b得：−2k1+b=84k1+b=−4，解得k1=−2b=4，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x+4；
（2）y＝﹣2x+4，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，﹣2x+4＝0，x＝2，∴N（0，4），ON＝4，M（﹣2，0），OM＝2，
①当NP＝NM时，如图1，
∵ON⊥PM，∴OP＝OM＝2，∴P（﹣2，0）；
②当MP＝MN时，如图2，
由勾股定理得：MN=22+42=25，∴P（2+25，0）或（2﹣25，0）；
③当PN＝PM时，如图3，
∵P是x轴上一动点，∴设P（x，0），
∵PM＝PN，∴x2+42＝（2﹣x）2，∴x＝3，∴P（﹣3，0），
综上，点P的坐标是（﹣2，0）或（2+25，0）或（2﹣25，0）或（﹣3，0）．
【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和等腰三角形的性质和判定，并注意等腰三角形在没确定腰和底边时要分情况讨论，注意利用数形结合的思想．
变式22 如图，函数y=kx（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（85，2n﹣3）两点．
（1）求n和k的值；
（2）将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y=kx（x＞0）于点C，若S△ACO＝6，求直线DE解析式；
（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A、B点坐标代入反比例函数解析式列出n、k的方程组便可求得n、k的值；
（2）由A点坐标求得直线OA的解析式，设C（m，8m），过C作CH⊥x轴与OA交于点H，根据S△ACO＝6，列出m的方程求得C点坐标，由平移性质设直线DE的解析式，再代入C点坐标便可求得结果；
（3）先求出D、E的坐标，再分三种情况：①当∠EDF＝90°，DE＝DF时，②当∠DEF＝90°，DE＝EF时，③当∠DFE＝90°，DF＝EF时，分别构造全等三角形求得F点坐标便可．
【解析】（1）∵函数y=kx（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（85，2n﹣3）两点．
∴2n=k85(2n−3)=k，解得，n=4k=8；
（2）由（1）知，A（4，2），
设直线OA的解析式为y＝ax（a≠0），则2＝4a，∴a=12，∴直线OA的解析式为：y=12x，
由（1）知反比例函数的解析式为：y=8x，
设C（m，8m），过C作CH⊥x轴与OA交于点H，如图1，
则H（m，12m），∴CH=8m−12m，
∵S△ACO＝6，∴12(8m−12m)×4=6，解得，m＝﹣8（舍），或m＝2，∴C（2，4），
∵将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，∴设直线DE的解析式为：y=12x+c，
把C（2，4）代入y=12x+c中，得4＝1+c，解得，c＝3，∴直线DE的解析式为：y=12x+3；
（3）令x＝0，得y=12x+3＝3，
令y＝0，得y=12x+3＝0，解得x＝﹣6，∴D（﹣6，0），E（0，3），
①当∠EDF＝90°，DE＝DF时，如图2，过F作FG⊥x轴于点G，
∵∠ODE+∠FDG＝∠ODE+∠OED＝90°，∴∠OED＝∠GDF，
∵∠DOE＝∠FGD＝90°，DE＝FD，∴△ODE≌△GFD（AAS），
∴DG＝0E＝3，FG＝DO＝6，∴F（﹣9，6）；
②当∠DEF＝90°，DE＝EF时，如图3，过F作FG⊥y轴于点G，
∵∠ODE+∠DEO＝∠GEF+∠OED＝90°，∴∠ODE＝∠GEF，
∵∠DOE＝∠FGE＝90°，DE＝EF，∴△ODE≌△GEF（AAS），
∴EG＝DO＝6，FG＝EO＝3，∴F（﹣3，9）；
③当∠DFE＝90°，DF＝EF时，如图4，过点F作FG⊥x轴于点G，作FH⊥y轴于点H，
∴∠DFE＝∠GFH＝90°，∴∠DFG＝∠EFH，
∵∠DGF＝∠EHF＝90°，DF＝EF，∴△DGF≌△EHF（AAS），∴GF＝HF，DG＝EH，
∵∠FGO＝∠GOH＝∠OHF＝90°，∴四边形OGFH为正方形，
∴OG＝OH，即6﹣DG＝3+EH，∴DG＝EH=32，∴OG＝OH=92，∴F(92，92)；
综上，第二象限内存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，其F点的坐标为（﹣9，6）或（﹣3，9）或（92，92）．
【小结】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积，平移的性质，一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，第（3）题的关键在于构造全等三角形和分情况讨论．
必考点8： 反比例函数存在性问题（四边形）
例题8 已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为（2，4），反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，顺次连接O，D，E．
（1）求线段DE的长；
（2）在线段OD上存在一点M，当△MOE的面积等于34时，求点M的坐标；
（3）平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出DE的长；
（2）根据D坐标确定出直线OD与直线OE解析式，过点M作MN∥y轴交OE于点N，设M（t，4t），N（t，t），三角形MOE面积＝三角形NOM面积+三角形MNE面积，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标；
（3）根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出N的坐标即可．
【解析】（1）∵点B的坐标为（2，4），D为AB中点，∴D（1，4），∴反比例函数解析式为y=4x，
把x＝2代入得：y＝2，即E（2，2），则DE=(2−1)2+(2−4)2=5；
（2）由D（1，4），得到直线OD解析式为y＝4x，由E（2，2），得到直线OE解析式为y＝x，
过点M作MN∥y轴交OE于点N，
设M（t，4t），则N（t，t），
S△MOE＝S△OMN+S△MNE=12t（4t﹣t）+12（2﹣t）（4t﹣t）=12×2•3t＝3t，∴3t=34，
解得：t=14，则点M坐标为（14，1）；
（3）由题意得：O（0，0），D（1，4），E（2，2），设N（x，y），
分三种情况考虑：当四边形ON1ED为平行四边形时，可得0+2＝1+x，0+2＝4+y，
解得：x＝1，y＝﹣2，即N1（1，﹣2）；
当四边形OEDN2为平行四边形时，可得0+1＝2+x，0+4＝2+y，解得：x＝﹣1，y＝2，即N2（﹣1，2）；
当四边形OEN3D为平行四边形时，可得1+2＝0+x，4+2＝0+y，解得：x＝3，y＝6，即N3（3，6），
综上，N的坐标为（1，﹣2），（﹣1，2），（3，6）．
【小结】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，以及三角形，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
变式23 如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y=kx（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO=38S矩形OABC．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m（m＞0），根据S△PCO=38S矩形OABC，构建方程即可解决问题；
（2）过点（3，0），作直线l⊥x轴．由（1）知，点P的横坐标为3，推出点P在直线l上，作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝6，连接CO′交直线l于点P，此时PO+PC的值最小；
（3）分两种情形：当四边形CBQP是菱形时；当四边形CBPQ是菱形时．分别求解即可解决问题．
【解析】（1）∵四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，∴点B的坐标为（4，3），
∵点B在反比例函数y=kx（k≠0）的第一象限内的图象上，∴k＝12，，∴y=12x，
设点P的纵坐标为m（m＞0），
∵S△PCO=38S矩形OABC．∴12•OC•m=38OA•OC，∴m＝3，
当点，P在这个反比例函数图象上时，则P点的纵坐标为y=123=4，∴点P的坐标为（3，4）；
（2）过点（3，0），作直线l⊥x轴．
由（1）知，点P的横坐标为3，∴点P在直线l上，作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝6，
连接CO′交直线l于点P，此时PO+PC的值最小，则PO+PC的最小值＝PO′+PC＝O′C=32+62=35．
（3）分两种情况：
①如图2中，当四边形CBQP是菱形时，易知BC＝CP＝PQ＝BQ＝4，P1（3，3−7），P2（3，3+7），
∴Q1（7，3−7），Q2（7，3+7）；
．
②如图3中，当四边形CBPQ是菱形时，P3（3，3−15），P4（3，3+15），
∴Q3（﹣1，3−15），Q4（﹣1，3+15）．
综上所述，点Q的坐标为Q1（7，3−7），Q2（7，3+7），P3（3，3−15），P4（3，3+15）．
【小结】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题等知识，解题关键是灵活运用所学知识，学会理由轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题．
变式24 如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数y=kx的图象过点A．
（1）求k的值．
（2）点P为反比例图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．
（3）点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A坐标，代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由正方形的性质可求解；
（3）由平行四边形的面积为14，可求点Q坐标，再分AB为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
【解析】（1）∵OC＝2，OB＝6，∴点C（2，0），点B（0，6），点A（2，6），
∵反比例函数y=kx的图象过点A，∴k＝2×6＝12；
（2）∵k＝12，∴反比例函数解析式为：y=12x，
设点P（a，12a），
∵四边形PDCE是正方形，∴PD＝PE，
当点P在第一象限时，∴12a=a﹣2，∴a1=13+1，a2＝1−13（舍去）∴点P（13+1，13−1）；
当点P在第三象限，∴−12a=2﹣a，∴a1=13+1（舍去），a2＝1−13，∴点P（1−13，﹣1−13）；
综上所述：点P坐标为（13+1，13−1）或（1−13，﹣1−13）；
（2）设点Q坐标为（b，12b），
若AB为边，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14，∴2×|6−12b|＝14，∴b1＝﹣12，b2=1213，
∴点Q（﹣12，﹣1）或（1213，13），
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，∴AB＝QG＝2，AB∥QG，
∴点G（﹣10，﹣1）或（﹣14，﹣1）或（3813，13）或（−1413，13）；
若AB为对角线，
设点G（x，y），
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，∴AB与QG互相平分，
∴2+02=−12+x2，6+62=−1+y2 或2+02=1213+x2，6+62=13+y2，
∴x1＝14，y1＝13，或x2=1413，y2＝﹣1，∴点G（14，13）或（1413，﹣1），
综上：点G坐标为（﹣10，﹣1）或（﹣14，﹣1）或（3813，13）或（−1413，13）或（14，13）或（1413，﹣1）．
【小结】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
变式25 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），点B、C在第三象限内．
（1）点B的坐标 ；
（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点B作BE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，证明△ADF≌△BAE得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；
（2）先用t表示B′和D′点的坐标，再根据“B'、D'正好落在某反比例函数的图象上”得B′和D′点的的横、纵坐标的积相等，列出t的方程求得t，进而求得反比例函数的解析式；
（3）分各种情况：BD为平行四边形的边，BD为平行四边形的对角线．分别解答问题．
【解析】（1）过点B作BE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，如图1，则∠AFD＝∠AEB＝90°，
∵点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），∴DF＝3，AF＝1，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠DAF+∠BAE＝∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠BAE，∴△ADF≌△BAE（AAS），
∴DF＝AE＝3，AF＝BE＝1，∴OE＝OA﹣AE＝6﹣3＝3，∴B（﹣1，﹣3），
（2）根据题意得，B′（﹣1，﹣3+2t），D′（﹣3，﹣7+2t），
设经过B'、D'的反比例函数解析式为：y=kx(k≠0)，
∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝﹣3（﹣7+2t），解得，t=92，∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝3﹣9＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为：y=−6x；
（3）设P（n，0），由（2）知B′（﹣1，6），D′（﹣3，2），
①当B'D'为平行四边形的边时，则B′D′∥QP，B′D′＝QP，∴Q（n+2，4）或（n﹣2，﹣4），
把Q（n+2，4）代入y=−6x中，得，4（n+2）＝﹣6，解得，n=−72，∴Q（−32，4），
把Q（n﹣2，﹣4），代入y=−6x中，得，﹣4（n﹣2）＝﹣6，解得，n=72，∴Q（32，﹣4）；
②当B'D'为对角线时，则B'D'的中点坐标为（﹣2，4），∴PQ的中点坐标为（﹣2，4），∴Q（﹣4﹣n，8），
把Q点坐标代入y=−6x中，得，8（﹣n﹣4）＝﹣6，解得，n=−134，∴Q（−34，8），
综上，存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为（−32，4）或（32，﹣4）或（−34，8）．
【小结】本题是反比例函数与正方形结合的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，关键是证明全等三角形和分情况讨论．
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