数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试精练

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姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2020·全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ）
A．且B．且
C．且D．
【答案】C
【解析】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，
解得且.故选：C.
2．（2020·全国高一课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（ ）
A．(－1，5)B．(－1，4)C．(0，4)D．(4，0)
【答案】A
【解析】当，即时，，为常数，
此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.
3．（2020·全国高一课时练习）lg5＋lg53等于（ ）
A．0B．1C．－1D．lg5
【答案】A
【解析】因为.故选：A.
4．（2020·浙江高一课时练习）函数的定义域为（ ）
A．（，1） B．（，∞） C．（1，+∞） D．（，1）∪（1，+∞）
【答案】A
【解析】由解得，所以原函数的定义域为．故选：A
5．（2020·天津南开高二学业考试）已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，.故选:.
6．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题得函数定义域为，
函数或）的增区间为，
函数在定义域内是减函数，在定义域内是减函数，
由复合函数的单调性得的单调递增区间为.故选A
7．（2019·浙江高一期中）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是 ( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数单调递增，所以排除AC选项；
当时，与轴交点纵坐标大于1，函数单调递增，B选项错误；
当时，与轴交点纵坐标大于0小于1，函数单调递减；D选项正确.
故选D
8．（2018·四川高三其他（理））中国高速铁路技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快而且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
【答案】B
【解析】由题意，，，
则，即，
所以，即普通列车的声强是高速列车声强的倍.故选B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．（2019·全国高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】对于选项A,因为，而，即A错误；
对于选项B，因为，即B错误；
对于选项C， ，即C正确；
对于选项D， ，即D正确，
故选：CD．
10．（2019·九龙坡�重庆市育才中学高一期中）(多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:
由图像可知函数为增函数，所以.当时，，故选AD.
11．（2020·海南高三其他）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】由，，得，，则
，，
，
故正确的有：故选：.
12．（2019·山东滕州市第一中学新校高一月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若，则D．若，则.
【答案】ACD
【解析】由题,故.
对A,函数为增函数正确.
对B, 不为偶函数.
对C,当时, 成立.
对D,因为往上凸,故若，则成立.
故选：ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．（2020·安徽蚌埠�高三其他（文））已知函数，则_______.
【答案】
【解析】．故答案为：－1
14．（2020·全国高一课时练习）函数f(x)＝x3－的零点有______个．
【答案】1
【解析】函数的零点个数等价于解的个数等价于函数与函数的交点个数;画出函数与函数：
由图知函数与函数有1个交点.故函数有1个零点.故答案为：1.
15．（2020·全国高一课时练习）函数的值域为__________________．
【答案】
【解析】函数定义域为R，，函数是增函数，所以值域为
16．（2020·台州市书生中学高二期末）设函数则_______；若方程有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是_______．
【答案】 或
【解析】（1），；
（2）方程有且仅有1个实数根，即与的图象有1个交点，
当时，，，
画出函数的图象，由图可知当与只有1个交点时，或
故答案为：；或
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分）（2020·全国高一课时练习）设，且，求证：
【解析】设，，则，，.
因为，所以，
即.
所以，即.
18．（本小题满分12分）（2020·浙江高一课时练习）已知函数，满足.
（1）求常数的值.
（2）解关于的不等式.
【解析】（1）由，得，解得.
（2）由（1）得.
由得，当时，，
解得；
当时，，解得.
综上，不等式的解集为.
19．（本小题满分12分）（2019·陕西临渭�高一期末）已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明在其定义域上的单调性.
【解析】（1）的定义域为实数集，
，
所以是奇函数；
（2），设，
，
，
所以在实数集上增函数.
20．（本小题满分12分）（2020·北京房山�高一期末）已知函数，其中且.
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点；
（3）比较与的大小.
【解析】（1）由，得，
所以函数的定义域为；
（2）令，即，
则，所以，
所以函数的零点为2；
（3），
，
当时，函数是增函数，所以，即
当时，函数是减函数，所以，即
21．（本小题满分12分）（2019·天水市第一中学高一期中）候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blg3 (其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
【解析】解:(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blg3＝0，
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blg3＝1，
整理得a＋2b＝1.
解方程组得,
(2)由(1)知，v＝－1＋lg3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，
则有v≥2，即－1＋lg3≥2，即lg3≥3，解得Q≥270,
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.
22．（本小题满分12分）（2020·浙江高三专题练习）已知函数f(x)=x2−x＋k，且lg2f(a)=2，f(lg2a)=k，a＞0，且a≠1.
（1）求a，k的值；
（2）当x为何值时，f(lgax)有最小值？求出该最小值．
【解析】
（1）因为，所以，
又a＞0，且a≠1，所以.
（2）f(lgax)=f(lg2x)=(lg2x)2−lg2x＋2=(lg2x−)2＋.
所以当lg2x=，即时，f(lgax)有最小值.