2021年河南省中考数学解答题专练9

2021年河南省中考数学解答题专练9

1. 点A、B、C、D在数轴上的位置如图1所示，已知，，．
   若点C为原点，则点A表示的数是______；
   若点A、B、C、D分别表示有理数a，b，c，d，则______；
   如图2，点P、Q分别从A、D两点同时出发，点P沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向右运动，到达B点后立即按原速折返；点Q沿线段CD以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达C点后立即按原速折返．当P、Q中的某点回到出发点时，两点同时停止运动．
   当点停止运动时，求点P、Q之间的距离；
   设运动时间为单位：秒，则t为何值时，？

2. 已知a为大于2的整数，若关于x的不等式无解．

求a的值；

化简并求的值．






 

3. 若方程的两实数根的平方和等于9，求k的值．
   若不等式的解是或，解不等式．
   
   
   
   
   
   
    
4. 如图，在四边形OABC中，，轴于点C，，，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为设点P移动的时间为t秒，与四边形OABC重叠部分的面积为S．
   
   求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
   用含t的代数式表示点P、Q的坐标；
   如果将绕着点P按逆时针方向旋转，是否存在t，使得的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
   求出S与t的函数关系式．
   
   
   
   
   
   
    
5. 如图所示，是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知，将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上．
   在如图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长．
   线段AD上有一动点不与A、D重合自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒，过P点作交AE于M点，过点M作交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
   当为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标．
   
   
   
   
   
   
    
6. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．
   发现问题：代数式的最小值是多少？
   探究问题：如图，点A、B、P分别表示数、2、x，．
   
   的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
   当点P在线段AB上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．
   的最小值是3．
   解决问题：
   的最小值是______；
   利用上述思想方法解不等式：；
   
   当a为何值时，代数式的最小值是2．
   
   
   
   
   
   
    
7. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
   
   写出图2中所表示的数学等式______．
   根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
   利用中得到的结论，解决下面的问题：
   若，，则______．
   小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______．
   
   
   
   
   
   
    
8. 操作探究：已知在纸面上有一数轴如图所示
   折叠纸面，使表示的点1与重合，则表示的点与______表示的点重合；
   折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
   表示的点与数______表示的点重合；
   表示的点与数______表示的点重合；
   若数轴上A、B两点之间距离为在B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是______、点B表示的数是______
   已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值．

9. 定义：形如为用自变量表示的代数式的函数叫做绝对值函数．
   例如，函数，，都是绝对值函数．
   绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将写成分段函数的形式：
   
   探索并解决下列问题：
   将函数写成分段函数的形式；
   如图1，函数的图象与x轴交于点，与函数的图象交于B，C两点，过点B作x轴的平行线分别交函数，的图象于D，E两点．求证∽；
   已知函数的图象与y轴交于F点，与x轴交于M，N两点点M在点N的左边，点P在函数的图象上点P与点F不重合，轴，垂足为若与相似，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
   
   
   
   
   
   
    
10. 甲、乙两个长方形的边长如图所示为正整数，其面积分别为，．
    
    填空：______用含m的代数式表示；
    若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．
    设该正方形的边长为x，求x的值用含m的代数式表示；
    设该正方形的面积为，试探究：与的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由，
    若另一个正方形的边长为正整数n，并且满足条件的n有且只有4个，求m的值．
    
    
    
    
    
    
     
11. 在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中，如图所示，设点所对应数的和是p．
    

若以B为原点，写出点所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少

若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p．






 

12. 阅读理解，完成下列各题
    定义：已知A、B、C为数轴上任意三点，若点C到A的距离是它到点B的距离的2倍，则称点C是的2倍点．例如：如图1，点C是的2倍点，点D不是的2倍点，但点D是的2倍点，根据这个定义解决下面问题：
    在图1中，点A是______的2倍点，点B是______的2倍点；选用A、B、C、D表示，不能添加其他字母；
    如图2，M、N为数轴上两点，点M表示的数是，点N表示的数是4，若点E是的2倍点，则点E表示的数是______；
    若P、Q为数轴上两点，点P在点Q的左侧，且，一动点H从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒，求当t为何值时，点H恰好是P和Q两点的2倍点？用含m的代数式表示

1.【答案】解：；
；
由题意知点P回到起点需要6秒，点Q回到起点需要4秒，
当时，运动停止，
此时，，，
，
点P、Q之间的距离为7；
分以下两种情况：
1、当点Q未到达点C时，则，，
，
可得方程，
解得，
2、当点P由点B折返时，则，，
，
可得方程，
解得，
综上，当或时，．
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题主要考查绝对值的性质、两点间的距离公式和一元一次方程的应用，根据两点间的距离为5，分点Q未到达点C时和点P由点B折返两种情况列出方程是解题的关键．
根据，即可得；
由题意知，，，根据绝对值性质化简原式可得，结合可得答案；
由题意知点P回到起点需要6秒，点Q回到起点需要4秒知当时，运动停止，从而得出，，，继而可得PQ；
分以下两种情况：1、点Q未到达点C时；2、点P由点B折返时，根据列方程求解可得．
【解答】
解：若点C为原点，则点B表示，点A表示．
故答案为：；
由题意知，，，
则，，，
，
，
，
，
，即．
故答案为：2；
见答案；

2.【答案】解：解不等式得：，
不等式组无解，
则，
解得：，
又为大于2的整数，
；
原式

．
当时，原式．
 

【解析】本题考查的是一元一次不等式组的解以及分式的化简求值，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若较小的数、较大的数，那么解集为x介于两数之间．
首先解第一个不等式，然后根据不等式组无解即可得到关于a的不等式从而求解；
首先对括号内的式子进行通分相减，然后进行同分母的分式的加法计算即可，最后代入a的值计算即可．
3.【答案】解：设方程两个根为和，由于实数根的平方和等于9，
所以，即，
又因为，，
代入上式得，即，解得或．
当时，中，，方程无解，
故．
不等式的解集为或，
，3为方程的两个实数根，且．
，，
则，．
代入不等式可得，
．
，即，
解得，，
即不等式的解集是，．
 

【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得方程两根的和与两根的积，根据，即可得到关于k的方程，从而求得k的值．
由不等式的解集为或，可得2，3为方程的两根，利用根与系数的关系得到系数的比，变形后得到，由此求出方程的两根，则不等式的解集可求．
考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力．
4.【答案】解：设抛物线解析式为，
把点，代入得，

解得，
经过O，A，B三点的抛物线解析式为，
，
顶点M的坐标为
点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，
，
点P的坐标为，
，
，
点Q到x轴，y轴的距离都是，
点Q的坐标为；
绕着点P按逆时针方向旋转，
旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为，，

若顶点O在抛物线上，则，
解得舍去，
时，点在抛物线上，
若顶点Q在抛物线上，则，
解得舍去，
时，点在抛物线上．
点Q与点A重合时，，，
点P与点C重合时，，，
时，，，此时PQ经过点B，
所以，分三种情况讨论：

时，，
时，；
时，；
所以，S与t的关系式为．
 

【解析】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于随着运动时间的变化，根据重叠部分的形状的不同分情况讨论，作出图形更形象直观．
设抛物线解析式为，然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标；
根据点P的速度求出OP，即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可；
根据旋转的性质求出点O、Q的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可；
求出点Q与点A重合时的，点P与点C重合时的，时PQ经过点B，然后分时，重叠部分的面积等于的面积，时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积分别列式整理即可得解．
5.【答案】解：据题意，≌，
，，，
在中，，
设，在中，根据勾股定理得：，
即，解得，
在中，；

，，且，
四边形PMND是矩形，
，
，
∽，
，
，
，
或，
当时；

显然，故等腰三角形有以下二种情况：
当时，点P是AD中点，
，
秒
当时，A、D、M三点构成等腰三角形，
过点M作于F，
≌，
，，
，
；

当时，
∽，
，
，
，
秒
当秒时，A、D、M三点构成等腰三角形，
过点M作于F，
≌，
，，
，

 

【解析】由折叠可知≌，根据全等三角形的对应边相等，以及对应角相等得到，，，根据勾股定理求出AB的长，设出，在直角三角形BED中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而写出点E的坐标，再在直角三角形AOE中，根据勾股定理求出AE的长即可；
根据两组对边互相平行得到四边形MNDP为平行四边形，又为直角，所以MNDP为矩形，根据题意表示出AP的长，进而得到PD的长，又由平行得到两对同位角相等，进而得到∽，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，将各自的值代入表示出PM的长，由矩形的面积公式长乘以宽和表示出的长DP与宽PM，表示出矩形的面积，得到面积与t成二次函数关系，利用二次函数求最值的方法求出面积S的最大值及取得最大值时t的值即可；
根据题意发现有两种情况满足为等腰三角形，当时，P为AD中点，由AD求出AP，进而根据速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，根据“ASA”得到≌，求出，即为M的纵坐标，求出FA，进而求出OF的长，即为M的横坐标，写出M的坐标即可；当时，由平行的两对同位角相等，进而得到∽，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，求出AP的长，由速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，根据“ASA”得到≌，同理可得M的坐标．
此题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，考查了数形结合及分类讨论的数学思想，此题的综合性比较强，要求学生掌握知识要全面．
6.【答案】解：；
如图所示，满足的x范围为或；

当a为1或5时，代数式的最小值是2．
 

【解析】

【分析】
此题考查了数轴，绝对值，以及数学常识，弄清题中的方法是解本题的关键．观察阅读材料中的和，总结出求最值方法；
原式变形和4距离x最小值为；
根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；
根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
【解答】
解：解决问题：
的最小值是6；
故答案为6；
见答案．
7.【答案】解：； 
证明：，
，
．
 ；

 

【解析】

【分析】依据正方形的面积；正方形的面积，可得等式；
运用多项式乘多项式进行计算即可；
依据，进行计算即可；
依据所拼图形的面积为：，而，即可得到x，y，z的值．
本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
解：正方形的面积；正方形的面积．
；
故答案为：．
见答案；
，
，
，
；
故答案为：30；
由题可知，所拼图形的面积为：，
，
，
，
，，．
．
故答案为：156．
8.【答案】2       
 

【解析】解：折叠纸面，使表示的点1与重合，折叠点对应的数为，设表示的点所对应点表示的数为x，于是有，解得，
故答案为2；
折叠纸面，使表示的点与3重合，折叠点对应的数为，
设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有，解得，
设表示的点所对应点表示的数为z，于是有，解得，
设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得：
且，解得：，，5，
故答案为：，，，；
往左移4个单位：解得：．
往右移4个单位：，解得：．
答：a的值为2或．
求出表示两个数的点的中点所对应的数，利用方程可以求出在此条件下，任意一个数所对应的数；
求出表示的点与3表示的点重合时中点表示的数，在利用方程或方程组求出在此条件下，任意一个数所对应的数；
分两种情况进行解答，向左移动4个单位，向右移动4个单位，列方程求解即可．
考查数轴表示数的意义和方法，数轴上两个数的中点所表示数的计算方法，示解决问题的关键．
9.【答案】解：；
函数与函数的图象交于B，C，过点B作x轴的平行线分别交函数，的图象于D，E两点．
当时，
，解得：或舍去，，
当时，，解得：或舍去，，
当时，，，，
当时，，，，．
，，，，
在和中，，，
∽；
的坐标为，，
当时，，．
当时，，，，，．
由题意得
设P的横坐标为x，
当时，由题意得，
若∽，，．
解得舍去，舍去．
若∽，，．
解得舍去，舍去．
当时，由题意得，
若∽，，．
解得舍去，．
的坐标为
若∽，，．
解得舍去，舍去 
当时，由题意，
若∽，，．
解得舍去，．
的坐标为．
若∽，，．
解得舍去，．
的坐标为
综上：P的坐标为，，
 

【解析】本题考查了二次函数综合题，两点间的距离公式，相似三角形的判定与性质，考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力，弄清绝对值函数的定义，进行分类讨论是解题的关键．
根据绝对值的性质即可得到函数分段函数的形式；
求出，，，，根据两点间的距离公式得到BE，DE，AE，CE，再根据相似三角形的判定即可求解；
由题意得，设P的横坐标为x，分当时，当时，当时，进行讨论可求点P的坐标．
10.【答案】
 

【解析】解：
．
故答案为．
根据题意，得

解得．
答；x的值为．
，


．
答：与的差是常数：19．
，
由题意，得
，解得．
是整数，．
答：m的值为3．
根据矩形的面积公式计算即可；
根据正方形和矩形的周长公式计算即可；
根据正方形的面积计算即可；
根据不等式组的整数解即可得结论．
本题考查了多项式乘以多项式、整式的加减、不等式组的整数解，解决本题的关键是求不等式组的整数解．
11.【答案】解：若以B为原点，则C表示1，A表示，
；
若以C为原点，则A表示，B表示，
；

若原点O在图中数轴上点C的右边，且，则C表示，B表示，A表示，
．
 

【解析】本题主要考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
根据以B为原点，则C表示1，A表示，进而得到p的值；根据以C为原点，则A表示，B表示，进而得到p的值；
根据原点O在图中数轴上点C的右边，且，可得C表示，B表示，A表示，据此可得p的值．
12.【答案】    2或10
 

【解析】解：，，
点A 是的2倍点
，，
点B是的2倍点．
      故答案为：
    
当点E在线段MN上
又点E是的2倍点

点E 表示的数是2
当点E在点N右侧



点E表示的数是10．
故答案为：2或10；
，，

又点H 恰好是P和Q两点的2倍点
点H是的2倍点或点H是的2倍点
 或
即：或或，
解得或或
所以，当或或时，点H恰好是P和Q两点的2倍点．
根据图形可直接解得；
     分点E在M，N之间，和N点右侧，又点E是的2倍点或点E 表示的数是2或10；
点H 恰好是P和Q两点的2倍点     可分为三种情况而定，解得t有3个值．
此题主要考查了对2倍点的理解和认识，解本题的关键是分清2倍点的两种不同的情况．