人教版数学八年级下册期末专题复习二　勾股定理第2课时 勾股定理中判定直角的常用方法

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(1)请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若此正方形的面积为16，求DF的长．
2．如图是一块地的平面图，已知AD＝8 m，CD＝6 m，∠D＝90°，AB＝26 m，BC＝24 m，求这块地的面积．
3．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，
AC＝13.求证AB⊥AD.
4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD.
(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数；
(2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．
5．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.
求证：AB2＝2(CM＋CN)2.
参考答案
1．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F在AB上，且AF : FB＝3 : 1.
(1)请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由；
解：EF⊥DE.理由如下：
设正方形的边长为a，则AD＝DC＝BC＝
AB＝a，BF＝eq \f(1,4)a，AF＝eq \f(3,4)a，BE＝EC＝eq \f(1,2)a.
在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝eq \f(25,16)a2.
在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝eq \f(5,4)a2.
在Rt△EFB中，EF2＝FB2＋BE2＝eq \f(5,16)a2.
∵DE2＋EF2＝eq \f(5,4)a2＋eq \f(5,16)a2＝eq \f(25,16)a2＝DF2，
∴△DFE为直角三角形，且∠DEF＝90°.∴EF⊥DE.
(2)若此正方形的面积为16，求DF的长．
解：∵正方形的面积为16，
∴a2＝16.
∵DF2＝eq \f(25,16)a2＝eq \f(25,16)×16＝25，
∴DF＝5.
2．如图是一块地的平面图，已知AD＝8 m，CD＝6 m，∠D＝90°，AB＝26 m，BC＝24 m，求这块地的面积．
解：如图，连接AC.
∠D＝90°，
∴AC2＝CD2＋AD2.
∵AD＝8 m，CD＝6 m，
∴AC＝10 m.
在△ABC中，AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.
∴这块地的面积为S△ABC－S△ACD＝eq \f(1,2)AC·BC－eq \f(1,2)AD·CD＝eq \f(1,2)×10×
24－eq \f(1,2)×8×6＝96(m2)．
答：这块地的面积为96 m2.
3．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，
AC＝13.求证AB⊥AD.
【点拨】本题运用eq \a\vs4\al(倍长中线法)构造全等三角形来说明线段相等，再利用勾股定理的逆定理说明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．
证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
∵D为BC的中点，∴CD＝BD.
又∵AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB.
∴BE＝AC＝13.
在△ABE中，AE＝2AD＝12，
∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.
又∵BE2＝132＝169，
∴AE2＋AB2＝BE2.
∴△ABE是直角三角形，
且∠BAE＝90°，即AB⊥AD.
4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD.
(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数；
解：连接DP.
由题意知CD＝CP＝8，∠PCD＝60°，
∴△DCP为等边三角形．∴∠CDP＝60°，DP＝DC＝8.
易得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝6.
∴AD2＋DP2＝AP2. ∴∠ADP＝90°.
∴∠ADC＝150°. ∴∠BPC＝150°.
(2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．
解：连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形．
∴∠CDP＝45°.
易得△CPB≌△CDA，
∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝1.
∴AD2＋DP2＝AD2＋(CD2＋CP2)＝9.
∵AP2＝9，∴AD2＋DP2＝AP2.
∴∠ADP＝90°.
∴∠ADC＝135°.
∴∠BPC＝135°.
5．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.
求证：AB2＝2(CM＋CN)2.
证明：如图，连接CD，过点D作
DE⊥BC于点E.
∵DM⊥DN，
∴∠MDC＋∠CDN＝90°.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°.
∴∠CDN＋∠NDB＝90°.
∴∠MDC＝∠NDB.
∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.
在△CMD和△BND中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠MDC＝∠NDB，,CD＝BD，,∠MCD＝∠NBD＝45°，))
∴△CMD≌△BND(ASA)．
∴CM＝BN.
∴CM＋CN＝BN＋CN＝BC.
又∵AB2＝AC2＋BC2＝2BC2，∴AB2＝2(CM＋CN)2.